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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十五章 概率初步
专题25.2 用列举法求概率
课节学习目标
1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法” .
2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.
3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.
4.进一步理解等可能事件概率的意义.
5.学习运用树形图计算事件的概率.
6.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
课节知识点解读
知识点1. 用直接列举法求概率
1.直接列举法：. 即把事件可能出现的结果一 一列出.
2. 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
3. 随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
知识点2. 用列表法求概率
1. 列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2. 列表格方法
3.在何种情况下求解开率使用列表格法的归纳总结
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
知识点3. 利用画树状图法求概率
1.画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果. 通常采用画树状图来求事件发生的概率．
2. 树状图的画法
如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况.则其树形图如图。
3. 画树状图法求概率适用范围：
当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法；当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.
注意：计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数n和求出事件A发生的结果总数m,“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地得出n和m.
4.画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
课节知识点例题讲析
【例题1】有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．
∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，
∴摆出的三位数有共6种可能，其中是
∴摆出的三位数是5的倍数的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【例题2】 某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据列表法求概率即可求解．
设分别表示植树、种花、除草三个劳动项目，列表如下，
共有9种等可能结果，符合题意得出有1种，
∴这两个班级恰好都抽到种花的概率是，
故选：D．
【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
【例题3】某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为，画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有2种，
∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为，
故选：C
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键．
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】通过有理数和无理数概念判断，然后利用概率计算公式计算即可．
【详解】有理数有：，，；
无理数有：，5.06006000600006……；
则取到的卡片正面的数是无理数的概率是．
【点睛】本题主要考查了有理数、无理数的概念和简单概率计算，先判断后计算概率即可．
2．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．
画树状图如图：
共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，
∴这两名工人恰好都是男工人的概率为＝．
3．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为＝．
4. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．
【答案】##0.6
【解析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与随机摸出一红一白
的情况，再利用概率公式即可求得答案．
列表得：
红1 红2 红3 白1 白2
红1 （红1，红2） （红1，红3） （红1，白1） （红1，白2）
红2 （红2，红1） （红2，红3） （红2，白1） （红2，白2）
红3 （红3，红1） （红3，红2） （红3，白1） （红3，白2）
白1 （白1，红1） （白1，红2） （白1，红3） （白1，白2）
白2 （白2，红1） （白2，红2） （白2，红3） （白2，白1）
由列表可知：共有20种等可能的结果，其中随机摸出两个小球，恰好是一红一白的情况有12种，
∴恰好是一红一白的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5. 用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________．
【答案】
【解析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．
0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，
列表如下：
1 2 3
0 10 20 30
1 21 31
2 12 32
3 13 23
一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32，
∴是偶数的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．
6. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为，
故选：D．
【点睛】考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
7. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）利用概率计算公式求解即可；
（2）利用树状图或列表的方法，分析甲、乙至少一人选择的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可．
【详解】
（1）共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的，
甲选择景点的概率为．
（2）根据题意，列表如下：
由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙至少有一人选择景点共有种等可能的结果，
甲、乙至少有一人选择景点的概率为．
【点睛】考查简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键．
8. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
【答案】（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
【解析】【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3），
故答案为：；
（4）列表如下：
小明小丽 A B C D
A
B
C
D
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题）．
【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关键．
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第二十五章 概率初步
专题25.2 用列举法求概率
课节学习目标
1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法” .
2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.
3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.
4.进一步理解等可能事件概率的意义.
5.学习运用树形图计算事件的概率.
6.进一步学习分类思想方法，掌握有关数学技能.
课节知识点解读
知识点1. 用直接列举法求概率
1.直接列举法：. 即把事件可能出现的结果一 一列出.
2. 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
3. 随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
知识点2. 用列表法求概率
1. 列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，应不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法求事件发生的概率．
2. 列表格方法
3.在何种情况下求解开率使用列表格法的归纳总结
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
知识点3. 利用画树状图法求概率
1.画树状图法：当一次试验要涉及2个或更多的因素时，按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果. 通常采用画树状图来求事件发生的概率．
2. 树状图的画法
如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况.则其树形图如图。
3. 画树状图法求概率适用范围：
当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法；当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.
注意：计算等可能情形下概念的关键是确定所有可能性相等的结果总数n和求出事件A发生的结果总数m,“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地得出n和m.
4.画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
课节知识点例题讲析
【例题1】有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例题2】 某校在劳动课上，设置了植树、种花、除草三个劳动项目．九年一班和九年二班都通过抽签的方式从这三个项目中随机抽取一个项目，则这两个班级恰好都抽到种花的概率是（ ）
A. B. C. D.
【例题3】某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
深化对课节知识点理解的试题专炼
1. 五张不透明的卡片，正面分别写有实数，，，，5.06006000600006……（相邻两个6之间0的个数依次加1）．这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是（ ）
A. B. C. D.
2．工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率是（ ）
A． B． C． D．
4. 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出两个小球，恰好是一红一白的概率是__________．
5. 用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为__________．
6. 在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
8. 为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率．
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