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2024--2025学年度人教版数学九年级上册学讲练测讲义
第二十五章 概率初步
专题25.1 随机事件与概率
课节学习目标
1 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能辨别随机事件；
2 会简单分析事件发生的可能性；
3. 理解概率的意义.会在具体情境中求出一个事件的概率.
4. 会进行简单的概率计算及应用.
课节知识点解读
知识点1. 确定事件和随机事件
1. 确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：
（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．
（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．
2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3. 随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．
知识点2. 概率
1. 概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A) ．
2. 频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．
3. 确定事件和随机事件的概率之间的关系：
（1）确定事件概率：
①当A是必然发生的事件时，P(A)=1
②当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系：
4. 古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．
5. 概率的计算：
P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
课节知识点例题讲析
【例题1】掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【答案】B
【解析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【例题2】某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据概率公式可直接求解．
∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，
∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为；
故选：C．
【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．
【例题3】正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，求米粒落在阴影部分的概率。
【答案】
【解析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
如图，连接PA、PB、OP；
则S半圆O==，S△ABP=×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S半圆O﹣S△ABP）
=4（﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为=
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
【答案】B
【解析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可.
【详解】袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球，
故选项A、C、D都是可能事件，不符合题意，选项B是不可能事件，符合题意，
故选：B.
【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，把握相关概念，正确进行分析是解题的关键.
2. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
【答案】A
【解析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案．
A、地球绕着太阳转是必然事件，故A正确；
B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故B错误；
C、天空出现三个太阳是不可能事件，故C错误；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故D错误．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据概率的意义直接计算即可．
在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，共有7种可能，摸到红球的可能为2种，则摸出红球的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了概率的计算，解题关键是熟练运用概率公式．
4. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法判断
【答案】B
【解析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．
如图所示，连接交于O，
由题意得，分别是正方形四条边的中点，
∴点O为正方形的中心，
∴，
根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，
∴，
∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．
∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，
∴灰色区域的面积为,
∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
6．下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是_______（只填写序号即可）
【答案】②
【解析】根据随机事件的定义分析，即可得到答案．
通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件；
人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票，是不确定事件；
在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°，是不可能事件；
∴不确定事件的是②．
【点睛】本题考查了随机事件的知识；解题的关键是熟练掌握随机事件的分类，从而完成求解．
7．如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小．
【答案】B
【解析】根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大解答即可.
由图可以看出，正方形纸片被分成的三块区域，A面积＞C面积＞B面积，
根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大，
则任意抛掷一粒米落到区域B的可能性最小，
故答案为：B.
【点睛】本题考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法.
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第二十五章 概率初步
专题25.1 随机事件与概率
课节学习目标
1 理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，能辨别随机事件；
2 会简单分析事件发生的可能性；
3. 理解概率的意义.会在具体情境中求出一个事件的概率.
4. 会进行简单的概率计算及应用.
课节知识点解读
知识点1. 确定事件和随机事件
1. 确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：
（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．
（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．
2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
3. 随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．
知识点2. 概率
1. 概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A) ．
2. 频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．
3. 确定事件和随机事件的概率之间的关系：
（1）确定事件概率：
①当A是必然发生的事件时，P(A)=1
②当A是不可能发生的事件时，P(A)=0
（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系：
4. 古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．
5. 概率的计算：
P（A）=，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数．
课节知识点例题讲析
【例题1】掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【例题2】某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【例题3】正方形ABCD的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形ABCD内投一粒米，求米粒落在阴影部分的概率。
深化对课节知识点理解的试题专炼
1．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
2. 下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
3. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法判断
5. 如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是（ ）
A. B. C. D.
6．下列事件，①通常加热到100℃，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180°．其中是不确定事件的是_______（只填写序号即可）
7．如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小．
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