2015-2016学年八年级数学（下）第18章 平行四边形检测题（附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2015-2016学年八年级数学（下）第18章 平行四边形检测题（附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 967.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-12-29 08:17:11 | ||
图片预览
文档简介
第18章 平行四边形检测题
（时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共27分）
1.（2015·广东广州中考）下列命题中，真命题的个数是( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形.
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
2.如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则△
的周长是（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
3.如图，已知□的周长是，△ABC的周长是，则的长为（ ）
A. B. C. D.
4.（2013·哈尔滨中考）如图，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，
且AE=3，则AB的长为（ ）
A.4 B.3 C. D.2
5.（2013·杭州中考）如图，在□ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）
A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180°
C.AB=AD D.∠A≠∠C
6.如图，由下面条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠B=∠D，∠A=∠C B．AB∥CD，AD∥BCC．AB∥CD，AB=CD D．∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
7.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，
F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
8.（2013·湖南益阳中考）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A.∠1=∠2 B.∠BAD=∠BCD C.AB=CD D.AC⊥BD
9.(2013·湖北荆门中考)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC，②AD＝BC，③OA＝OC，④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题（每小题4分，共24分）
10.（2015·四川成都中考）如图，在?ABCD中，AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_________.
11.如图，在□中，分别为边的中点，则图中共有 个平行四边形.
12.如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 .
13.如图，平行四边形的周长为36,对角线相交于点，点是的中点，=12,则△的周长为 .
14.顺次连接任意一个四边形四边的中点，得到的四边形是 .
15.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，∠=45°,=2,将△沿所在直线翻折90°与原平面垂直，若点的落点记为,则的长为 .
三、解答题（共49分）
16.（5分）已知□的周长为40 cm，，求和的长.
17.（6分）（2015·广东珠海中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC.
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝8，CD＝5，则CE＝ .
18.（6分）如图，四边形是平行四边形，，，求，及的长.
19.（6分）如图，在□中，是的中点，延长到点，使=，连接.
求证：四边形是平行四边形.
20.(8分)如图，在Rt△中，∠=90°，以为一边向外作等边三角形，点为的中点，连接.
（1）证明∥；
（2）探索与满足怎样的数量关系时，四边形是平行四边形.
21.（8分）（2015 山东泰安中考）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC.
求证:（1）DF=AE;
（2）DF⊥AC.
22.(10分) （2013·兰州中考）如图 (1)，在△中，∠=90°，∠=30°，=8.以为边，在△外作等边△，是的中点，连接并延长交于点.
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）如图（2），将图(1)中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长.
第18章 平行四边形检测题参考答案
1.B 解析：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①正确；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以③错误.故正确的是①②.
2.B 解析：在平行四边形中，
因为的垂直平分线交于点，所以
所以△的周长为
3.D 解析：因为□的周长是28 cm，所以 .
因为△的周长是，所以 .
4.B 解析:∵ CE平分∠BCD，∴ ∠BCE=∠DCE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.∴ ∠DEC=∠BCE.
∴ ∠DCE=∠DEC.∴ CD=DE. ∴ AD=2AB=2CD=2DE.
∴ DE=AE=3.∴ AB=CD=DE=3.
5.B 解析:平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；平行四边形的
邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；
平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误.
6.A 解析:对角相等不可以证明四边形是平行四边形，故A选项错误；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项正确；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；根据∠B +∠DAB=180°可以证明AD∥BC，根据∠B+∠BCD=180°可以证明AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项正确．
7.C 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴ ∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中， ∠EAO=∠FCO ,∠AEO =∠CFO, OA=OC ，
∴ △AOE≌△COF，∴ OF=OE=1.5，CF=AE.
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+EF+AD=12．故选C．
8.D 解析：根据平行四边形的性质可知D是错误的.
9.B 解析：从四个条件中任选两个，共有6种选法．若选②③或选②④，则不能使四边形ABCD是平行四边形．其他4种选法，即选①②或①③或①④或③④，则均能使四边形ABCD为平行四边形．故选B．
10.3 解析：点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据翻折的性质，得AE⊥BC,BE=CE=2.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE===3.
11.4 解析：因为在□ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，所以 .
又AB∥CD，所以四边形AEFD，CFEB，DFBE都是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4
个平行四边形，故答案为4．
12.25° 解析:因为□ABCD与□DCFE的周长相等，且DC为公共边，
所以AD=DE，所以∠DAE=∠DEA.
因为AB∥DC,DC∥EF,所以AB∥EF，所以∠BAE+∠FEA=180°，
即∠BAD+∠DAE+∠FED+∠DEA=180°.
因为DE∥CF,∠F=110°,所以∠FED+∠F=180°,则∠FED=70°.
因为∠BAD=60°,所以60°+70°+2∠DAE=180°，所以∠DAE=25°.
13.15 解析:本题综合考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理.
∵ 点分别是的中点，∴ 是△的一条中位线，∴ ，
∴ △的周长＝=6
=□的周长+6＝15.
14.平行四边形
15. 解析:∵ 四边形是平行四边形，
∴==1.由折叠知=1,∠=90°.
在Rt△中，=.
点拨:平行四边形的两条对角线互相平分.
16.解： 因为四边形是平行四边形，所以，.
设 cm， cm，
又因为平行四边形的周长为40 cm，
所以，解得，
所以 ， ．
17.分析：（1）由于点E到AB，AD的距离相等，所以点E在∠BAD的平分线上，因此
∠BAD的平分线与BC的交点即为所求的点E.
（2）∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE=∠DAE.
∵ AD∥BC,
∴ ∠DAE=∠BEA,∴ ∠BAE=∠BEA.
又∵ AB＝5，∴ BE＝AB＝5.
∴ CE＝BC-BE＝8-5＝3.
解：（1）如图：
（2）3
18.解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，，.
因为，所以，
所以.
19.分析:可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行判定.
证明:∵ 四边形是平行四边形，
∴ ∥, .
∵ 的中点，∴
∵ QUOTE QUOTE ,∴ .
∵ QUOTE ∥,∴ 四边形是平行四边形.
20.（1）证明:如图，连接,
∵为Rt△的斜边的中点，
∴ .
∵ △是等边三角形，
∴ .
在△和△中，
∴ △≌△(SSS).
∴ ∠ADE=∠CDE =30°.
∵ ∠DCB=∠ACB+ ∠ACD =90°+60°=150°,
∴ ∠EDC+∠DCB =180°,∴ QUOTE ∥.
(2)解:∵ ∠=150°,
若四边形是平行四边形，则DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°,∴∠B =30°.
在Rt△中，∵ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ .
∴ 当时，四边形是平行四边形.
点拨:(1)利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半进行转化,线段相等是证明两个三角形全等的关键.
(2)对于条件探索性问题常通过逆向思维的方式得到解决.
21. 证法一：（1）如图（1），延长DE交AB于点G，连接AD.
∵ ED∥BC，E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴ AG=BG，DG⊥AB，∴ AD=BD.
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=45°，∠BAD=45°，∠BDG=∠ADG=45°.
∵ 四边形BCDE是平行四边形，∴ ED=BC.
又∵ BF=BC，∴ BF=DE. ∴ △AED≌△DFB，
∴ AE=DF.
（2）∵ △AED≌△DFB，∴ ∠AED=∠DFB，
∴ ∠DFG=∠DEC.
∵ ∠DFG与∠FDG互余，∴ ∠DEC与∠FDG互余.
∴ DF⊥AC.
证法二：（1）∵ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，E为AC的中点，
∴ AE=BE.
∵ 四边形BCDE是平行四边形，∴ BE=DC.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠DBC.
又∵ BF=BC，BD=BD，
∴ △DFB≌△DCB.∴ DF=DC. ∴ DF=AE.
（2）由（1）得△DFB≌△DCB，
∴ ∠DFB=∠DCB.
延长DE交AB于点G，如图（2），
∵ 四边形BCDE是平行四边形，∴ ∠DCB=∠DEB.
而∠DEB+∠GEB=180°，∠AFD+∠DFB=180°,
∴ ∠AFD=∠GEB.
∵ ∠ABC=90°，DE∥BC，∴ DG⊥AB.
又AE=BE，∴ ∠DEC=∠AEG=∠GEB=∠AFD.
∵ ∠AFD+∠GDF=90°，∴ ∠DEC+∠GDF=90°.∴ DF⊥AC.
22.分析:（1）根据∠=30°，△为等边三角形，得∠=90°，
根据∠=90°，得∥.
由点为的中点,得，
所以∠DAO=∠DOA =30°，所以在Rt△中，
∠=60°，所以∠AEO =∠C ，所以∥，故四边形是平行四边形.
(2)设,由题意可知△≌△
在Rt△中运用勾股定理求出的长.
（1）证明:在Rt△中，
∵为的中点,∴ ,∴ ∠DAO=∠DOA =30°.
又∵ △为等边三角形,
∴ ∠BCO=∠BOC=60°,∴ ∠EOA =90°,∴ ∠AEO =60°.
∴ ∠BCO=∠AEO,∴ ∥.
∵ ∠BAO=∠COA=90°,
∴ ∥,∴ 四边形是平行四边形.
（2）解:设，由折叠可知,
在Rt△中,
∵ ∠OAB=90°，∠ =30°，=8,
∴ AB=4，OA=4 .
在Rt△中，,
∴,解得 =1,∴ =1.
第3题图
A
B
C
D
第2题图
Ａ
B
Ｃ
Ｄ
Ｅ
第10题图
第17题图
A
B
C
O
D
第18题图
第21题图
第21题图（1）
第21题图（2）
（时间：90分钟，满分：100分）
一、选择题（每小题3分，共27分）
1.（2015·广东广州中考）下列命题中，真命题的个数是( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形.
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
2.如图，在平行四边形中，，，的垂直平分线交于点，则△
的周长是（ ）
A.6 B.8 C.9 D.10
3.如图，已知□的周长是，△ABC的周长是，则的长为（ ）
A. B. C. D.
4.（2013·哈尔滨中考）如图，在□ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，
且AE=3，则AB的长为（ ）
A.4 B.3 C. D.2
5.（2013·杭州中考）如图，在□ABCD中，下列结论一定正确的是（ ）
A.AC⊥BD B.∠A+∠B=180°
C.AB=AD D.∠A≠∠C
6.如图，由下面条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠B=∠D，∠A=∠C B．AB∥CD，AD∥BCC．AB∥CD，AB=CD D．∠B+∠DAB=180°，∠B+∠BCD=180°
7.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于点E，
F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）
A.16 B.14 C.12 D.10
8.（2013·湖南益阳中考）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）
A.∠1=∠2 B.∠BAD=∠BCD C.AB=CD D.AC⊥BD
9.(2013·湖北荆门中考)四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：
①AD∥BC，②AD＝BC，③OA＝OC，④OB＝OD.
从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
二、填空题（每小题4分，共24分）
10.（2015·四川成都中考）如图，在?ABCD中，AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为_________.
11.如图，在□中，分别为边的中点，则图中共有 个平行四边形.
12.如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为 .
13.如图，平行四边形的周长为36,对角线相交于点，点是的中点，=12,则△的周长为 .
14.顺次连接任意一个四边形四边的中点，得到的四边形是 .
15.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，∠=45°,=2,将△沿所在直线翻折90°与原平面垂直，若点的落点记为,则的长为 .
三、解答题（共49分）
16.（5分）已知□的周长为40 cm，，求和的长.
17.（6分）（2015·广东珠海中考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜BC.
（1）利用尺规作图，在BC边上确定点E，使点E到边AB，AD的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BC＝8，CD＝5，则CE＝ .
18.（6分）如图，四边形是平行四边形，，，求，及的长.
19.（6分）如图，在□中，是的中点，延长到点，使=，连接.
求证：四边形是平行四边形.
20.(8分)如图，在Rt△中，∠=90°，以为一边向外作等边三角形，点为的中点，连接.
（1）证明∥；
（2）探索与满足怎样的数量关系时，四边形是平行四边形.
21.（8分）（2015 山东泰安中考）如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC.
求证:（1）DF=AE;
（2）DF⊥AC.
22.(10分) （2013·兰州中考）如图 (1)，在△中，∠=90°，∠=30°，=8.以为边，在△外作等边△，是的中点，连接并延长交于点.
（1）求证：四边形是平行四边形.
（2）如图（2），将图(1)中的四边形折叠，使点与点重合，折痕为，求的长.
第18章 平行四边形检测题参考答案
1.B 解析：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以①正确；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；因为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以③错误.故正确的是①②.
2.B 解析：在平行四边形中，
因为的垂直平分线交于点，所以
所以△的周长为
3.D 解析：因为□的周长是28 cm，所以 .
因为△的周长是，所以 .
4.B 解析:∵ CE平分∠BCD，∴ ∠BCE=∠DCE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.∴ ∠DEC=∠BCE.
∴ ∠DCE=∠DEC.∴ CD=DE. ∴ AD=2AB=2CD=2DE.
∴ DE=AE=3.∴ AB=CD=DE=3.
5.B 解析:平行四边形的对角线互相平分但不一定垂直，所以选项A错误；平行四边形的
邻角互补，所以选项B正确；平行四边形的对边相等但邻边不一定相等，所以选项C错误；
平行四边形的对角相等，所以∠A=∠C，所以选项D错误.
6.A 解析:对角相等不可以证明四边形是平行四边形，故A选项错误；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故B选项正确；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故C选项正确；根据∠B +∠DAB=180°可以证明AD∥BC，根据∠B+∠BCD=180°可以证明AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD为平行四边形，故D选项正确．
7.C 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，∴ ∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中， ∠EAO=∠FCO ,∠AEO =∠CFO, OA=OC ，
∴ △AOE≌△COF，∴ OF=OE=1.5，CF=AE.
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+EF+AD=12．故选C．
8.D 解析：根据平行四边形的性质可知D是错误的.
9.B 解析：从四个条件中任选两个，共有6种选法．若选②③或选②④，则不能使四边形ABCD是平行四边形．其他4种选法，即选①②或①③或①④或③④，则均能使四边形ABCD为平行四边形．故选B．
10.3 解析：点B恰好与点C重合，且四边形ABCD是平行四边形，根据翻折的性质，得AE⊥BC,BE=CE=2.在Rt△ABE中，由勾股定理得AE===3.
11.4 解析：因为在□ABCD中，E、F分别为边AB、DC的中点，所以 .
又AB∥CD，所以四边形AEFD，CFEB，DFBE都是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4
个平行四边形，故答案为4．
12.25° 解析:因为□ABCD与□DCFE的周长相等，且DC为公共边，
所以AD=DE，所以∠DAE=∠DEA.
因为AB∥DC,DC∥EF,所以AB∥EF，所以∠BAE+∠FEA=180°，
即∠BAD+∠DAE+∠FED+∠DEA=180°.
因为DE∥CF,∠F=110°,所以∠FED+∠F=180°,则∠FED=70°.
因为∠BAD=60°,所以60°+70°+2∠DAE=180°，所以∠DAE=25°.
13.15 解析:本题综合考查了平行四边形的性质以及三角形的中位线定理.
∵ 点分别是的中点，∴ 是△的一条中位线，∴ ，
∴ △的周长＝=6
=□的周长+6＝15.
14.平行四边形
15. 解析:∵ 四边形是平行四边形，
∴==1.由折叠知=1,∠=90°.
在Rt△中，=.
点拨:平行四边形的两条对角线互相平分.
16.解： 因为四边形是平行四边形，所以，.
设 cm， cm，
又因为平行四边形的周长为40 cm，
所以，解得，
所以 ， ．
17.分析：（1）由于点E到AB，AD的距离相等，所以点E在∠BAD的平分线上，因此
∠BAD的平分线与BC的交点即为所求的点E.
（2）∵ AE平分∠BAD，∴ ∠BAE=∠DAE.
∵ AD∥BC,
∴ ∠DAE=∠BEA,∴ ∠BAE=∠BEA.
又∵ AB＝5，∴ BE＝AB＝5.
∴ CE＝BC-BE＝8-5＝3.
解：（1）如图：
（2）3
18.解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以，，.
因为，所以，
所以.
19.分析:可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”进行判定.
证明:∵ 四边形是平行四边形，
∴ ∥, .
∵ 的中点，∴
∵ QUOTE QUOTE ,∴ .
∵ QUOTE ∥,∴ 四边形是平行四边形.
20.（1）证明:如图，连接,
∵为Rt△的斜边的中点，
∴ .
∵ △是等边三角形，
∴ .
在△和△中，
∴ △≌△(SSS).
∴ ∠ADE=∠CDE =30°.
∵ ∠DCB=∠ACB+ ∠ACD =90°+60°=150°,
∴ ∠EDC+∠DCB =180°,∴ QUOTE ∥.
(2)解:∵ ∠=150°,
若四边形是平行四边形，则DC∥BE, ∠DCB+∠B=180°,∴∠B =30°.
在Rt△中，∵ 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴ .
∴ 当时，四边形是平行四边形.
点拨:(1)利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半进行转化,线段相等是证明两个三角形全等的关键.
(2)对于条件探索性问题常通过逆向思维的方式得到解决.
21. 证法一：（1）如图（1），延长DE交AB于点G，连接AD.
∵ ED∥BC，E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴ AG=BG，DG⊥AB，∴ AD=BD.
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=45°，∠BAD=45°，∠BDG=∠ADG=45°.
∵ 四边形BCDE是平行四边形，∴ ED=BC.
又∵ BF=BC，∴ BF=DE. ∴ △AED≌△DFB，
∴ AE=DF.
（2）∵ △AED≌△DFB，∴ ∠AED=∠DFB，
∴ ∠DFG=∠DEC.
∵ ∠DFG与∠FDG互余，∴ ∠DEC与∠FDG互余.
∴ DF⊥AC.
证法二：（1）∵ △ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，E为AC的中点，
∴ AE=BE.
∵ 四边形BCDE是平行四边形，∴ BE=DC.
∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD=∠DBC.
又∵ BF=BC，BD=BD，
∴ △DFB≌△DCB.∴ DF=DC. ∴ DF=AE.
（2）由（1）得△DFB≌△DCB，
∴ ∠DFB=∠DCB.
延长DE交AB于点G，如图（2），
∵ 四边形BCDE是平行四边形，∴ ∠DCB=∠DEB.
而∠DEB+∠GEB=180°，∠AFD+∠DFB=180°,
∴ ∠AFD=∠GEB.
∵ ∠ABC=90°，DE∥BC，∴ DG⊥AB.
又AE=BE，∴ ∠DEC=∠AEG=∠GEB=∠AFD.
∵ ∠AFD+∠GDF=90°，∴ ∠DEC+∠GDF=90°.∴ DF⊥AC.
22.分析:（1）根据∠=30°，△为等边三角形，得∠=90°，
根据∠=90°，得∥.
由点为的中点,得，
所以∠DAO=∠DOA =30°，所以在Rt△中，
∠=60°，所以∠AEO =∠C ，所以∥，故四边形是平行四边形.
(2)设,由题意可知△≌△
在Rt△中运用勾股定理求出的长.
（1）证明:在Rt△中，
∵为的中点,∴ ,∴ ∠DAO=∠DOA =30°.
又∵ △为等边三角形,
∴ ∠BCO=∠BOC=60°,∴ ∠EOA =90°,∴ ∠AEO =60°.
∴ ∠BCO=∠AEO,∴ ∥.
∵ ∠BAO=∠COA=90°,
∴ ∥,∴ 四边形是平行四边形.
（2）解:设，由折叠可知,
在Rt△中,
∵ ∠OAB=90°，∠ =30°，=8,
∴ AB=4，OA=4 .
在Rt△中，,
∴,解得 =1,∴ =1.
第3题图
A
B
C
D
第2题图
Ａ
B
Ｃ
Ｄ
Ｅ
第10题图
第17题图
A
B
C
O
D
第18题图
第21题图
第21题图（1）
第21题图（2）