四川省广元市2024年中考数学试卷

四川省广元市2024年中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（2024·广元） 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（　　）
A． B．1 C． D．3
2．（2024·广元） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·广元） 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·广元） 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94
5．（2024·广元） 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·广元） 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024·广元） 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2024·广元） 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·广元） 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（　　）
A．5 B．7 C． D．
10．（2024·广元） 如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．（2024·广元）分解因式： 　 　.
12．（2024·广元） 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为　 　秒．
13．（2024·广元） 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为　 　．
14．（2024·广元） 若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标　 　．
15．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为　 　．
16．（2024·广元） 如图，在中，，，则的最大值为　 　．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（2024·广元）计算：．
18．（2024·广元） 先化简，再求值：，其中a，b满足．
19．（2024·广元） 如图，已知矩形．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
20．（2024·广元） 广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 27 30 12 6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
（1）样本容量为　 　，　 　；
（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
21．（2024·广元） 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
22．（2024·广元） 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
23．（2024·广元） 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
24．（2024·广元） 如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
25．（2024·广元） 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点的边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
26．（2024·广元） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵-1+2=1，
∴-1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时点对应的数是1.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点“左移减，右移加”可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【解答】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的对角线实线．
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上面看得到的正投影，注意看见的轮廓线用实线表示，看不见但存在的轮廓线用虚线表示．
4．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，，，
故中位数是，故选项A说法正确，不符合题意；
平均数为，故选项D说法正确，不符合题意．
方差为，故选项B说法错误，符合题意；
众数是，故选项C说法正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解析】解：，
，
四边形ABCD是的内接四边形，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABC=64°，再根据圆内接四边形的对角互补求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．
6．【答案】D
【知识点】同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解析】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，，
解得，，
∴点所在的象限为第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可得两个单项式是同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此求出m，n的值，进而根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），得出点（m，n）所在象限．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解析】解：如图，连接BD，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，
，，，
又，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接BD，根据旋转的性质得出∠BCD=∠BAD=90°，AB=AD，再根据勾股定理求出BD的长，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的长即可．
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解析】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴A种绿植单价是3x元．
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量总价单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解析】解：当点P运动到C处时，△ABP的面积y=6，
即，
∴，
又由图象可知，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7s，
∴AC+BC=7
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】当点P由点A运动到C处过程中，△ABP面积逐渐增大，当点P运动到C处时，△ABP面积达到最大6，由面积公式可得AC×BC=12，由点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7s，可得AC+BC=7，再根据完全平方公式即可得出AC2+BC2的值，进而根据勾股定理得出答案．
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解析】解：①∵抛物线开口向上，，，
当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
函数的最小值，
有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根，故②符合题意；
③∵，，
抛物线的对称轴为直线，且，
∴，
又∵，
，
，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
，
时，，即，
当时，，
，
，
，故④符合题意；
⑤∵，，
，
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，故⑤符合题意；
综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．
故答案为：C．
【分析】由于抛物线的开口向上，且与x轴两个交点的横坐标满足-1＜x1＜0，2＜x2＜3，故可得当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此可判断①；由抛物线与y轴交点坐标为（0，-2），从而可得函数的最小值y＜-2，故抛物线与直线y=-2有两个不同的交点，从而可判断②；根据抛物线的对称性及对称轴直线公式可得，再结合a＞0，可判断③；由图象可得当x=-1时，y=a-b+c＞0，推出3a-3b+3c＞0，当x=3时，y=9a+3b+c＞0，将两式子相加并结合与y轴交点可求出a的取值范围，从而可判断④；将-1＜x1＜0与2＜x2＜3相减可得x2-x1＞2，由根与系数的关系可得：，，可判断⑤.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式将第一项展开，再合并同类项化简为最简形式，然后利用完全平方公式分解即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】 【解析】解：阿秒是10-18秒，
阿秒．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
13．【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解析】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，
，
是正五边形ABCDE的外角，
，
，
故答案为：18°.
【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】通分法解分式方程
【解析】【解析】解：根据题意得：，
∴，
当，时，“美好点”的坐标为答案不唯一，满足且，．
故答案为：答案不唯一，满足且，．
【分析】根据“美好点”的定义，把已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算后，得到x与y的关系式，写出一个即可．
15．【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
16．【答案】
【知识点】胡不归模型
【解析】【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：
，
在Rt△BDC中，设，则，由勾股定理可得，
，即，
，
延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图2所示：
，
，，
是等腰直角三角形，则，
在中，，，
由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图3所示：
由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图4所示：
是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：首先推导出；延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图2所示：得到；由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用零指数幂、负整数指数幂法则、绝对值的代数意义进行化简，同时代入特殊角的三角函数值，进而计算有理数的加减法和合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：原式
，
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将第二个分式的分子分母分别分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，进而计算同分母分数的减法得出最简结果；由已知等式可得b=2a，从而代入化简结果进行计算即可．
19．【答案】（1）解：如图1所示：EF就是AC的垂直平分线；
（2）证明：设EF与AC的交点为O，
由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
，，，，
又四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交，进而过两弧的交点作直线交CD于点E，交AB于点F，EF就是AC的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质得EA=EC，FA=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，由矩形的性质得CD∥AB，由二直线平行，内错角相等，得∠ECO=∠FAO，从而由ASA判断出△COE≌△AOF，由全等三角形的对应边相等，得EC=AF，从而根据四边相等的四边形是菱形得出结论.
20．【答案】（1）90；15
（2）解：1200×=200（名）
答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名；
（3）解：把七年级1人记为A，八年级2人分别记为B、C，九年级2人分别记为D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，即BC、CB、DE、ED，
这两人来自同一个年级的概率．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解析】解：（1）样本容量为：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C等级的人数除以所占比例得出样本容量，进而用样本容量分别减去B、C、D、E几个等级的人数，即可得出m的值；
（2）由全校学生人数乘以样本中A等级的人数所占的比例即可估算出全校A等级的人数；
（3）把七年级1人记为A，八年级2人分别记为B、C，九年级2人分别记为D、E，此题是抽取不放回类型，画树状图，由树状图可知共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，再由概率公式求解即可．
21．【答案】（1）解：，
如图，设，则，
由勾股定理得，，
，
又，
，
折射率为：；
（2）解：由题意可得，折射率为，
，
，
四边形是矩形，点是中点
，，
又，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
，
，
截面的面积为：．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据，求出，再计算出，直接按照折射率公式计算即可；
（2）首先根据，折射率为，算出，即，在中，设，，可算出，得到 ，又因为四边形是矩形，点是中点，故AD，直接算矩形面积即可．
22．【答案】（1）解：由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
．
．
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件；
（2）解：由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200-m）件长款服装，
．
．
又设利润为元，
则．
随的增大而减小．
当时，利润最大为：元．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，根据“ 长、短两款服装共50件 ”可列方程x+y=50，由“购进x件短款服装的费用+购进y件长款服装的费用=4300”可列出方程80x+90y=4300 ，计算即可得解；
（2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200-m）件长款服装，由由“购进m件短款服装的费用+购进(200-m)件长款服装的费用不高于16800元 ”列出不等式求出m的取值范围；又设利润为w元，根据单件利润×销售数量=总利润及销售m件短款服装的利润+销售(200-m)件长款服装的利润=总利润，建立出w关于m的函数解析式，再结合一次函数的性质，即可判断得解．
23．【答案】（1）解：∵反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点
，
，
点，，
，
，
把，，代入，
得，
解得，
；
（2）解： 当时 ，或
（3）解：若与轴相交于点，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；
【解析】（1）先根据反比例函数图象上任意两点横纵坐标的乘积都等于比例系数k可列出方程，求得a=3，进一步利用待定系数法求得两个函数的解析式；
（2）找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可；
（3）根据直线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，进而利用即可求得．
24．【答案】（1）证明：连接OD，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：过点作于点，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
故的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；等腰直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠COD=2∠CAB=90°，根据平行线的性质得到∠EDO=90°，根据切线的判定定理得到DE为的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，在Rt△CFH中根据∠CFD的正切函数得到，在Rt△CFH中，根据勾股定理得到，最后在Rt△ODF中，根据∠CFD的正切函数即可得到结论．
25．【答案】（1）证明：如图，，，
∽，
，
．
（2）解：如图，设，
点为中点，
，，
由得∽，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
，
的长是．
（3）解：如图，作交的延长线于点，则，
点为中点，
，
设，
，
，，
，
，
，，
，，
作交的延长线于点，则∽，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
解得，
，
的长是．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）设AD=m，由中点定义得AD=BD=m，AB=2m，根据相似三角形的对应边成比例并结合BC的长可求出CD的长；
（3）作BF⊥DC交DC的延长线于点F，设CE=DE=n，则CB=CD=2n，再证明∠FBC=90°，由含30°角直角三角形性质得，求得，，则，，作CH∥EB交AB的延长线于点H，由平行于三角形一边得直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△HDC∽△BDE，由相似三角形对应边成比例可得，，再证明△ACD∽△AHC，由相似三角形对应边成比例可得，，所以，则，求得．
26．【答案】（1）解：将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∽，
，
设的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，此时的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，
当时，解得舍或，
，
抛物线：的顶点坐标为，
抛物线的顶点坐标为，
设，
当为平行四边形的对角线时，，解得，
；
当为平行四边形对角线时，，
；
当为平行四边形的对角线时，时，解得，
；
综上所述：点坐标或或．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，由平行于三角形一边得直线截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDM∽△ODB，由相似三角形对应边成比例得，设，则，由两点间距离公式可得，当时，CM有最大值，此时的最大值为，从而即可求出点C的坐标；
（3）由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，求出，抛物线的顶点坐标为，设，当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形对角线时，；当为平行四边形的对角线时，．
1 / 1四川省广元市2024年中考数学试卷
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意．每小题3分，共30分）
1．（2024·广元） 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（　　）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵-1+2=1，
∴-1在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时点对应的数是1.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点“左移减，右移加”可得出答案.
2．（2024·广元） 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项不符合题意；
B、，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【解答】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断C选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
3．（2024·广元） 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有一条捺向的对角线实线．
故答案为：C.
【分析】俯视图就是从上面看得到的正投影，注意看见的轮廓线用实线表示，看不见但存在的轮廓线用虚线表示．
4．（2024·广元） 在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（　　）
A．中位数是95 B．方差是3 C．众数是95 D．平均数是94
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把这组数据从小到大排列为，，，，，，，
故中位数是，故选项A说法正确，不符合题意；
平均数为，故选项D说法正确，不符合题意．
方差为，故选项B说法错误，符合题意；
众数是，故选项C说法正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，据此分别计算后即可判断得出答案.
5．（2024·广元） 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；邻补角
【解析】【解析】解：，
，
四边形ABCD是的内接四边形，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠ABC=64°，再根据圆内接四边形的对角互补求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．
6．（2024·广元） 如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】同类项的概念；点的坐标与象限的关系
【解析】【解析】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，，
解得，，
∴点所在的象限为第四象限．
故答案为：D．
【分析】根据两个单项式的和仍是一个单项式，可得两个单项式是同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此求出m，n的值，进而根据点的坐标符号与象限的关系：第一象限的点（+，+），第二象限的点（-，+），第三象限的点（-，-），第四象限的点（+，-），得出点（m，n）所在象限．
7．（2024·广元） 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解析】解：如图，连接BD，
将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，
，，，
又，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接BD，根据旋转的性质得出∠BCD=∠BAD=90°，AB=AD，再根据勾股定理求出BD的长，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的长即可．
8．（2024·广元） 我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解析】解：∵A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，B种绿植单价是x元，
∴A种绿植单价是3x元．
根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据A，B两种绿植单价间的关系，可得出A种绿植单价是3x元，利用数量总价单价，结合用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
9．（2024·广元） 如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（　　）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象
【解析】【解析】解：当点P运动到C处时，△ABP的面积y=6，
即，
∴，
又由图象可知，点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7s，
∴AC+BC=7
，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】当点P由点A运动到C处过程中，△ABP面积逐渐增大，当点P运动到C处时，△ABP面积达到最大6，由面积公式可得AC×BC=12，由点P从点A出发沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动至点B的时间为7s，可得AC+BC=7，再根据完全平方公式即可得出AC2+BC2的值，进而根据勾股定理得出答案．
10．（2024·广元） 如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解析】解：①∵抛物线开口向上，，，
当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
函数的最小值，
有两个不相等的实数根，
方程有两个不相等的实数根，故②符合题意；
③∵，，
抛物线的对称轴为直线，且，
∴，
又∵，
，
，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
，
时，，即，
当时，，
，
，
，故④符合题意；
⑤∵，，
，
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，故⑤符合题意；
综上，②④⑤正确，符合题意，正确个数有三个．
故答案为：C．
【分析】由于抛物线的开口向上，且与x轴两个交点的横坐标满足-1＜x1＜0，2＜x2＜3，故可得当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，据此可判断①；由抛物线与y轴交点坐标为（0，-2），从而可得函数的最小值y＜-2，故抛物线与直线y=-2有两个不同的交点，从而可判断②；根据抛物线的对称性及对称轴直线公式可得，再结合a＞0，可判断③；由图象可得当x=-1时，y=a-b+c＞0，推出3a-3b+3c＞0，当x=3时，y=9a+3b+c＞0，将两式子相加并结合与y轴交点可求出a的取值范围，从而可判断④；将-1＜x1＜0与2＜x2＜3相减可得x2-x1＞2，由根与系数的关系可得：，，可判断⑤.
二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上，每小题4分，共24分）
11．（2024·广元）分解因式： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： .
故答案为： .
【分析】利用完全平方公式将第一项展开，再合并同类项化简为最简形式，然后利用完全平方公式分解即可.
12．（2024·广元） 2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为　 　秒．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】 【解析】解：阿秒是10-18秒，
阿秒．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，根据方法即可得出答案.
13．（2024·广元） 点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为　 　．
【答案】18°
【知识点】三角形内角和定理；正多边形的性质
【解析】【解析】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，
，
是正五边形ABCDE的外角，
，
，
故答案为：18°.
【分析】由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE，再求出正五边形的外角的度数，由三角形内角和定理即可得出答案．
14．（2024·广元） 若点满足，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】通分法解分式方程
【解析】【解析】解：根据题意得：，
∴，
当，时，“美好点”的坐标为答案不唯一，满足且，．
故答案为：答案不唯一，满足且，．
【分析】根据“美好点”的定义，把已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算后，得到x与y的关系式，写出一个即可．
15．（2024·广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为　 　．
【答案】（0，4）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质
【解析】【解析】解：将点A（2，m）代入得，
．
又A在反比例函数上，
．
反比例函数为．
由翻折的性质得，
可设为，
为．
设直线与直线的交点为，
．
．
又B与C关于直线OA对称，且，
．
又在反比例函数上，
．
或舍去．
．
故答案为：．
【分析】将点A（2，m）代入正比例函数，可得，从而求出点A的坐标，将点A的坐标代入反比例函数解析式可得，从而得到反比例函数的解析式；再由翻折的性质，得BC⊥OA，由互相垂直直线比例系数乘积等于-1，设为，则为，设直线与直线的交点为，联立直线OA与BC的解析式求出，由轴对称的性质，可得，从而将点C的坐标代入反比例函数解析式求出b可以得解．
16．（2024·广元） 如图，在中，，，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】胡不归模型
【解析】【解析】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：
，
在Rt△BDC中，设，则，由勾股定理可得，
，即，
，
延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图2所示：
，
，，
是等腰直角三角形，则，
在中，，，
由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图3所示：
由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图4所示：
是的直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，则由勾股定理可得，即的最大值为，
故答案为：．
【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示：首先推导出；延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图2所示：得到；由辅助圆定弦定角模型，作的外接圆，如图，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，最后由勾股定理可得．
三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程．共96分）
17．（2024·广元）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用零指数幂、负整数指数幂法则、绝对值的代数意义进行化简，同时代入特殊角的三角函数值，进而计算有理数的加减法和合并同类二次根式即可.
18．（2024·广元） 先化简，再求值：，其中a，b满足．
【答案】解：原式
，
，
，
原式．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将第二个分式的分子分母分别分解因式，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后计算分式乘法，约分化简，进而计算同分母分数的减法得出最简结果；由已知等式可得b=2a，从而代入化简结果进行计算即可．
19．（2024·广元） 如图，已知矩形．
（1）尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图1所示：EF就是AC的垂直平分线；
（2）证明：设EF与AC的交点为O，
由（1）可知，直线EF是线段AC的垂直平分线，
，，，，
又四边形是矩形，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-垂直平分线
【解析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC的长度为半径画弧，两弧在AC的两侧分别相交，进而过两弧的交点作直线交CD于点E，交AB于点F，EF就是AC的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质得EA=EC，FA=FC，∠COE=∠AOF=90°，OA=OC，由矩形的性质得CD∥AB，由二直线平行，内错角相等，得∠ECO=∠FAO，从而由ASA判断出△COE≌△AOF，由全等三角形的对应边相等，得EC=AF，从而根据四边相等的四边形是菱形得出结论.
20．（2024·广元） 广元市开展“蜀道少年”选拔活动，旨在让更多的青少年关注蜀道、了解蜀道、热爱蜀道、宣传蜀道，进一步挖掘和传承古蜀道文化、普及蜀道知识．为此某校开展了“蜀道文化知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：；B：；C：；D：；E：）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 27 30 12 6
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是．
（1）样本容量为　 　，　 　；
（2）全校1200名学生中，请估计A等级的人数；
（3）全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己与蜀道的故事，请你用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．
【答案】（1）90；15
（2）解：1200×=200（名）
答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名；
（3）解：把七年级1人记为A，八年级2人分别记为B、C，九年级2人分别记为D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，即BC、CB、DE、ED，
这两人来自同一个年级的概率．
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解析】解：（1）样本容量为：，
，
故答案为：，；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用C等级的人数除以所占比例得出样本容量，进而用样本容量分别减去B、C、D、E几个等级的人数，即可得出m的值；
（2）由全校学生人数乘以样本中A等级的人数所占的比例即可估算出全校A等级的人数；
（3）把七年级1人记为A，八年级2人分别记为B、C，九年级2人分别记为D、E，此题是抽取不放回类型，画树状图，由树状图可知共有20种等可能的结果，其中选择的两人来自同一个年级的结果有4种，再由概率公式求解即可．
21．（2024·广元） 小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．
（1）若光从真空射入某介质，入射角为，折射角为，且，，求该介质的折射率；
（2）现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知，，求截面的面积．
【答案】（1）解：，
如图，设，则，
由勾股定理得，，
，
又，
，
折射率为：；
（2）解：由题意可得，折射率为，
，
，
四边形是矩形，点是中点
，，
又，
，
在中，设，，由勾股定理得，，
，
，
，
截面的面积为：．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据，求出，再计算出，直接按照折射率公式计算即可；
（2）首先根据，折射率为，算出，即，在中，设，，可算出，得到 ，又因为四边形是矩形，点是中点，故AD，直接算矩形面积即可．
22．（2024·广元） 近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如下表：
价格/类别 短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
【答案】（1）解：由题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，
．
．
答：长款服装购进30件，短款服装购进20件；
（2）解：由题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200-m）件长款服装，
．
．
又设利润为元，
则．
随的增大而减小．
当时，利润最大为：元．
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）依据题意，设购进短款服装x件，购进长款服装y件，根据“ 长、短两款服装共50件 ”可列方程x+y=50，由“购进x件短款服装的费用+购进y件长款服装的费用=4300”可列出方程80x+90y=4300 ，计算即可得解；
（2）依据题意，设第二次购进m件短款服装，则购进（200-m）件长款服装，由由“购进m件短款服装的费用+购进(200-m)件长款服装的费用不高于16800元 ”列出不等式求出m的取值范围；又设利润为w元，根据单件利润×销售数量=总利润及销售m件短款服装的利润+销售(200-m)件长款服装的利润=总利润，建立出w关于m的函数解析式，再结合一次函数的性质，即可判断得解．
23．（2024·广元） 如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．
（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点
，
，
点，，
，
，
把，，代入，
得，
解得，
；
（2）解： 当时 ，或
（3）解：若与轴相交于点，
，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或；
【解析】（1）先根据反比例函数图象上任意两点横纵坐标的乘积都等于比例系数k可列出方程，求得a=3，进一步利用待定系数法求得两个函数的解析式；
（2）找出反比例函数图象在一次函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可；
（3）根据直线与y轴交点的坐标特点求出点C的坐标，进而利用即可求得．
24．（2024·广元） 如图，在中，，，经过A、C两点，交于点D，的延长线交于点F，交于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：过点作于点，
为等腰直角三角形，，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
．
故的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；等腰直角三角形；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到∠COD=2∠CAB=90°，根据平行线的性质得到∠EDO=90°，根据切线的判定定理得到DE为的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于点H，根据等腰直角三角形的性质得到，在Rt△CFH中根据∠CFD的正切函数得到，在Rt△CFH中，根据勾股定理得到，最后在Rt△ODF中，根据∠CFD的正切函数即可得到结论．
25．（2024·广元） 数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在中，点的边上一点，连接．
（1）初步探究
如图2，若，求证：；
（2）尝试应用
如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长；
（3）创新提升
如图4，点为中点，连接，若，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，，，
∽，
，
．
（2）解：如图，设，
点为中点，
，，
由得∽，
，
，
或不符合题意，舍去，
，
，
，
的长是．
（3）解：如图，作交的延长线于点，则，
点为中点，
，
设，
，
，，
，
，
，，
，，
作交的延长线于点，则∽，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
，
解得，
，
的长是．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由有两组角对应相等的两个三角形相似证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形对应边成比例可得结论；
（2）设AD=m，由中点定义得AD=BD=m，AB=2m，根据相似三角形的对应边成比例并结合BC的长可求出CD的长；
（3）作BF⊥DC交DC的延长线于点F，设CE=DE=n，则CB=CD=2n，再证明∠FBC=90°，由含30°角直角三角形性质得，求得，，则，，作CH∥EB交AB的延长线于点H，由平行于三角形一边得直线截其他两边，所截三角形与原三角形相似得△HDC∽△BDE，由相似三角形对应边成比例可得，，再证明△ACD∽△AHC，由相似三角形对应边成比例可得，，所以，则，求得．
26．（2024·广元） 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
（3）作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【答案】（1）解：将，代入，
得：，
解得：，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，
∽，
，
设的解析式为，
把，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，此时的最大值为，
此时点的坐标为；
（3）解：由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，
当时，解得舍或，
，
抛物线：的顶点坐标为，
抛物线的顶点坐标为，
设，
当为平行四边形的对角线时，，解得，
；
当为平行四边形对角线时，，
；
当为平行四边形的对角线时，时，解得，
；
综上所述：点坐标或或．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过点C作x轴的垂线交AB于点M，则CM∥y轴，由平行于三角形一边得直线截其他两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△CDM∽△ODB，由相似三角形对应边成比例得，设，则，由两点间距离公式可得，当时，CM有最大值，此时的最大值为，从而即可求出点C的坐标；
（3）由中心对称可知，抛物线与的公共点为直线与抛物线的右交点，求出，抛物线的顶点坐标为，设，当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形对角线时，；当为平行四边形的对角线时，．
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