天津市2024年中考数学试卷
1．（2024·天津）计算 的结果是（ ）
A．6 B．3 C．0 D．－6
【答案】A
【知识点】去括号法则及应用；有理数的减法法则
【解析】【解答】根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数得：3-（-3）=3+3=6．
故答案为：A．
【分析】去括号时，当括号前面为负号时，括号内的符号要进行变号，所以3-（-3）=3+3=6。
2．（2024·天津） 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A：图A不是几何体的主视图，所以A不正确；
B：图B是几何体的主视图，所以B正确；
C：图C是几何体的俯视图，所以C不正确；
D：图D不是几何体的主视图，所以D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图，分别进行识别，即可得出答案。
3．（2024·天津） 估算 的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴在3和4之间。
故答案为：C.
【分析】根据实数的估算，即可得出答案。
4．（2024·天津） 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：“知”不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：“物”不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C：“由”是轴对称图形，所以C符合题意；
D：“学”不是轴对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图象的定义，分别进行识别，即可得出答案。
5．（2024·天津） 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 800000 =8×105.
故答案为：C.
【分析】根据＞10的科学记数法的规范写法a×10n，这里a=8，n=5，即可得出答案。
6．（2024·天津）的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：=.
故答案为：A.
【分析】首先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再进行实数的运算即可。
7．（2024·天津） 计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：=.
故答案为：A.
【分析】根据同分母分式的减法运算法则进行减法运算，然后再进行化简，即可得出答案。
8．（2024·天津） 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵5＞0，
∴反比例函数的图象的两个分支分居在一，三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵-1＜0，5＞1＞0，
∴A在第三象限，B，C在第一象限，
∴x1＜x3＜x2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
9．（2024·天津） 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
10．（2024·天津） 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 如图，中，，
∴∠BAC=50°，
又由作图知：AD平分∠BAC，
∴∠DAC=25°，
∴∠ADC=90°-25°=65°。
故答案为：B.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余，可求得∠BAC=50°，再根据基本作图得出AD平分∠BAC，进而得出∠DAC=25°，再根据直角三角形的性质可得出∠ADC的度数，即可得出答案。
11．（2024·天津） 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：A：由旋转性质知：∠ACB=∠DCE，所以A不正确；
B：因为AC∥DE，可得出∠ACE=∠E=∠B=30°，所以可得出∠DCE=30°，此时AC=AB，即只有当AC=AB时，DE∥AC。因为题中不知道AB=AC，故而B不正确；
C：由旋转性质知：AB=DE，故而C不正确；
D：设BF交CE于点O，由旋转性质知∠BCE是旋转角=60°，又知道∠B=30°，故而得出∠BOC=90°，即BF⊥CE，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据旋转性质，结合平行线的性质及三角形内角和定理，即可得出答案。
12．（2024·天津） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由自变量的取值范围可知①正确；②h的最大值为：，所以小球运动过程中的最大高度为45，所以②正确；③当t=2时，h=30×2-5×22=40，当t=5时，h=30×5-5×52=25，所以③不正确。综上正确结论有2个。
故答案为：C.
【分析】首先根据自变量的取值范围判定①正确；根据函数的最大值可得出②正确；分别求得当t=2和t=5时的h的值，即可得出③不正确。
13．（2024·天津） 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P=
故答案为：.
【分析】根据概率计算公式即可得出答案。
14．（2024·天津） 计算的结果为 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：=x8-6=x2。
故答案为：x2.
【分析】根据同底数幂的除法法则正确进行计算即可。
15．（2024·天津） 计算的结果为 ．
【答案】10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=
故答案为：10.
【分析】根据平方差公式进行简化运算即可得出答案。
16．（2024·天津）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】1（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】∵正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴k>0，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系判断出k>0，再求解即可.
17．（2024·天津） 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．
（1）线段的长为 ；
（2）若为的中点，则线段的长为 ．
【答案】（1）2
（2）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∵AB=，
∴OA=OB=3，
∵OE=5，
∴AE=OE-OA=5-3=2；
故答案为：2；
（2）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，
∵FG⊥AC，
∴∠EGF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴FG∥OD，
∵点F是为的中点，
∴点G是OE的中点，
∴OG=2.5，FG=
∴AG=3-2.5=0.5，
∴AF=
故答案为：.
【分析】（1）首先根据正方形的性质，得出△OAB是等腰直角三角形，然后根据勾股定理得出OA=3，进一步可得出AE的长度；
（2）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，可得出FG是△EOD的中位线，从而求得FG的长度和OG的长度，进而得出AG的长度，然后在直角△AFG中，根据勾股定理即可得出AF的长度。
18．（2024·天津） 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
【答案】（1）
（2）解：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB ，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：（1）AG2=12+12=2，
∴AG=；
故答案为：；
【分析】（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点M关于AB，AC的对称点M1和M2，连接M1M2，与ABAC相较于点NP，△PMN的周长=线段M1M2的长度，等腰三角形AM1M2的腰长为AM，当AM的值最小时，M1M2的值最小，此时M是切点，由此作图即可。
19．（2024·天津） 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）2x+1≤3，
2x≤2，
∴x≤1；
故答案为：x≤1；
（2）3x-1≥x-7，
3x-x≥-7+1，
∴2x≥-6，
∴x≥-3；
故答案为：x≥-3；
（4）由（3）可知原不等式组的解集为：-3≤x≤1．
【分析】（1）解不等式①即可得出答案；
（2）解不等式②即可得出答案；
（3）在同一数轴上分别正确表示①和②的解集；
（4）根据（3），找出公共部分，即可得出答案。
20．（2024·天津） 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
【答案】（1）50；34；8；8
（2）观察条形统计图，
这组数据的平均数是8.36.
（3）∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有500×30%=150．
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】（1）a=3+7+17+15+8=50；m=；众数为：8；中位数为：；
故第1空答案为：50；第2空答案为：34；第3空答案为：8；第4空答案为：8.
【分析】（1）根据各组数据即可得出a的值；根据频率的计算方法，即可得出m的值；根据众数，中位数的定义即可得出3空，4空的答案；
（2）根据平均数的定义即可得出答案；
（3）首先根据样本求得八年级学生每周参加科学教育的时间是 的频率为30%。然后用样本估计总体，用八年级总人数500×30%，即可得出答案。
21．（2024·天津） 已知中，为的弦，直线与相切于点．
（1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
（2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
【答案】（1）解：为的弦，
.得.
中，，
又，
.
直线MN与相切于点C，CE为的直径，
.即.又，
.
在Rt中，.
，
.
（2）如图，连接OC.
同(I)，得.
，得.
在Rt中，由，
得.
.
在Rt中，，
.
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可求得∠AOB=120°；再根据切线的性质定理得出，进而根据平行线的性质定理可得出∠CDB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余即可得出∠BOE=60°，进而根据圆周角定理求得∠BCE=30°；
（2）连接OC.同(I)，得.根据直角三角形两锐角互余可得出∠BFG=60°，进而得出∠CFO=60°，然后在直角三角形COF中，根据锐角三角函数的定义，即可得出tan60°=，即可得出OF的长度。
22．（2024·天津） 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
【答案】（1）解：设，由，得.
，垂足为，
.
在Rt中，，
.
在Rt中，，
.
.得.
答：线段$CD$的长约为54m.
（2）在Rt中，，
.
.
答：桥塔AB的高度约为59m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，由，得.首先在直角三角形BCD中得出BC=x，再在直角三角形BCE中，得出BC=（x+36）tan31°，即可得出方程x=（x+36）tan31°，解方程即可得出答案；
（2）在直角三角形ACD中，根据tan6°=，即可得出AC=CDtan6°，然后根据AB=BC+AC，即可得出答案。
23．（2024·天津） 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ▲ ；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】（1）①0.15，0.6，1.5；
②0.075；
③当0≤4时，y=0.15x；
当4＜x≤19时，y=0.6；
当19＜x≤25时，y=0.15x-2.25.
（2）爸爸步行的速度为：1.5÷20=0.075，张华的速度为：0.6÷4=0.15，设离家的距离为y，
则，解得：y=1.05.
答：两人相遇时离家的距离是 1.05km
【知识点】函数值；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①根据点（4，0.6）可得出当0≤x≤4时，y=，
∴当x=1时，y=；
由图象知当x=13时，y=0.6；当x=30时，y=1.5；
故①中表格答案依次为：0.15；0.6；1.5；
②由图象知：返回家所用时间为：51-31=20，
∴ 张华从文化广场返回家的速度为 ：1.5÷20=0.075（km/min）
故②的答案为：0.075；
③当0≤x≤4时，设y=kx，
把（4，0.6）代入y=kx中，可得：k=0.15，
即：0≤x≤4时，设y=0.15x；
当4＜x≤19时，y=0.6；
当19＜x≤25时，设y=k1x+b，
把（19，0.6）和（25，1.5）代入y=k1x+b中，可得：k1=0.15，b=-2.25，
所以当19＜x≤25时：y=0.15x-2.25；
【分析】（1）①根据表格数据首先可得出当0≤x≤4时，y=，然后可求得当x=1时的函数值Y=0.15；在结合函数图象知当X=13时，函数值为0.6，x=30时，函数值为1.5，即可完成填表；
②由图象知：返回家所用时间为：51-31=20，路程为1.5，即可计算得出张华从文化广场返回家的速度；
③分段函数：当0≤x≤4时，设y=kx，把（4，0.6）代入y=kx中，可得y=0.15x；当4＜x≤19时，y=0.6；当19＜x≤25时，设y=k1x+b，把（19，0.6）和（25，1.5）代入y=k1x+b中，可得y=0.15x-2.25；
（2）爸爸步行的速度为：1.5÷20=0.075，张华的速度为：0.6÷4=0.15，设离家的距离为y，根据相遇时张华比爸爸多用8min，即可得出方程，解方程即可得出答案。
24．（2024·天津） 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且．
（1）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1）；
（2）解：①t的取值范围是.
②.
【知识点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴OD=AE=1，CD=BE=，
∴OE=OA+AE=4，
∴点C的坐标为（1，），点D（4，）；
故第1空答案为（1，）；第2空答案为：D（4，）；
（2）①由折叠知，∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP=1，则OO'=2t.
∵点A(3，0)，得OA=3.
∴AO'=OO'-OA=2t-3.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB=OC=2，AB∥OC.得∠O'AB=∠AOC=60°.
∴△AO'E为等边三角形.有AE=AO'=2t-3.
∵BE=AB-AE，即BE=2-(2t-3)=5-2t，
∴BE=-2t+5，其中t的取值范围是.
②如图，过点C作CH⊥OA于点H，由（1）得：C(1，），∠COA=60°，
∴tan60°=，
∴，
∴MP=，
当时，S=，
∵＞0，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线t=0，
∴在时，S随着t的增大而增大，
∴；
当时，如图：
S=，
∴，S随着t的增大而增大，
∴在t=时，S=，
在t=1时，S=，
∴当时，；
当时，过点E作EN⊥x轴于点N，如图：
由（1）得：△EO'A是等边三角形，EN⊥AO，
∴AN=，
∴tan60°=，
∴EN=，
∴S=
=
=，
∵-＜0，
∴抛物线开口向下，在t=时，S有最大值，
S=，
∴在时，丨2-丨=丨2-丨，
∴S=，
∴当时，；
当时，如图：
S==，
∵-＜0，S随t的增大而减小，
∴当时，把t=和t=时，分别代入解析式S=，可得：S=，
S=，
∴当时，.
综上可得：.
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出答案；
（2）①（2）①由折叠知，∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP=t，则OO'=2t，结合平行四边形的性质，可得出△AO'E为等边三角形，从而得出AE=AO'=2t-3，进而根据BE=AB-AE，即可得出BE=5-2t，然后根据当点O'与点A重合和点O'与点B重合，分别求得OP的长度，即可得出t的取值范围；
②根据不同情况分别进行讨论：当时，S=，可得；当时，S，可得：；当时，S=，可得：；当时，S=，可得：。综上即可得出s的取值范围。
25．（2024·天津） 已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
【答案】（1）解：，得.又，
该抛物线的解析式为.
，
该抛物线顶点的坐标为.
（2）解：过点作轴，垂足为，则.
在Rt中，由，.解得(舍).
点的坐标为.
，即.
抛物线的对称轴为.
对称轴与轴相交于点，则.
在Rt中，由，
.解得.
由，得该抛物线顶点的坐标为.
该抛物线的解析式为.
点在该抛物线上，有.
.
（3）解：过点作轴，垂足为，则.
在Rt中，.
过点作轴，垂足为，则.
又
.得点的坐标为.
在Rt中，，，即.
根据题意，，得.
在的外部，作，且，连接GF，
得.
.有.
当满足条件的点落在线段GM上时，取得最小值，即.
在Rt中，，
.得.
.解得(舍).
点的坐标为，点的坐标为.
点都在抛物线上，
得.
.
【知识点】二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求得a，b的值，再配成顶点坐标，即可求解；
（2）过点作轴，垂足为H，在Rt中，根据勾股定理可求得m=，在Rt中，根据勾股定理可求得求得PD=，得出抛物线的顶点坐标为（1，-），再利用待定系数求解即可；
（3）过点作轴，过点作轴，垂足为，证，即可得出N为.在Rt中，根据勾股定理。可得出，在的外部，作，且，证，得到，当满足条件的点落在线段GM上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可.
1 / 1天津市2024年中考数学试卷
1．（2024·天津）计算 的结果是（ ）
A．6 B．3 C．0 D．－6
2．（2024·天津） 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·天津） 估算 的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2024·天津） 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·天津） 据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津）的值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·天津） 计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·天津） 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·天津） 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·天津） 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·天津） 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·天津） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（2024·天津） 不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
14．（2024·天津） 计算的结果为 ．
15．（2024·天津） 计算的结果为 ．
16．（2024·天津）若正比例函数（是常数，）的图象经过第一、第三象限，则的值可以是 （写出一个即可）．
17．（2024·天津） 如图，正方形的边长为，对角线相交于点，点在的延长线上，，连接．
（1）线段的长为 ；
（2）若为的中点，则线段的长为 ．
18．（2024·天津） 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）点在水平网格线上，过点作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使的周长最短，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）．
19．（2024·天津） 解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
20．（2024·天津） 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为 和 ；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
21．（2024·天津） 已知中，为的弦，直线与相切于点．
（1）如图①，若，直径与相交于点，求和的大小；
（2）如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长．
22．（2024·天津） 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．
（1）求线段的长（结果取整数）；
（2）求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：．
23．（2024·天津） 已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ▲ ；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
（2）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
24．（2024·天津） 将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且．
（1）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（2）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设．
①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
25．（2024·天津） 已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】去括号法则及应用；有理数的减法法则
【解析】【解答】根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数得：3-（-3）=3+3=6．
故答案为：A．
【分析】去括号时，当括号前面为负号时，括号内的符号要进行变号，所以3-（-3）=3+3=6。
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A：图A不是几何体的主视图，所以A不正确；
B：图B是几何体的主视图，所以B正确；
C：图C是几何体的俯视图，所以C不正确；
D：图D不是几何体的主视图，所以D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据几何体的三视图，分别进行识别，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
∴在3和4之间。
故答案为：C.
【分析】根据实数的估算，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A：“知”不是轴对称图形，所以A不符合题意；
B：“物”不是轴对称图形，所以B不符合题意；
C：“由”是轴对称图形，所以C符合题意；
D：“学”不是轴对称图形，所以D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图象的定义，分别进行识别，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 800000 =8×105.
故答案为：C.
【分析】根据＞10的科学记数法的规范写法a×10n，这里a=8，n=5，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：=.
故答案为：A.
【分析】首先把特殊角的三角函数值代入原式，然后再进行实数的运算即可。
7．【答案】A
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：=.
故答案为：A.
【分析】根据同分母分式的减法运算法则进行减法运算，然后再进行化简，即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵5＞0，
∴反比例函数的图象的两个分支分居在一，三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵-1＜0，5＞1＞0，
∴A在第三象限，B，C在第一象限，
∴x1＜x3＜x2.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数的性质，即可得出答案。
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
10．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 如图，中，，
∴∠BAC=50°，
又由作图知：AD平分∠BAC，
∴∠DAC=25°，
∴∠ADC=90°-25°=65°。
故答案为：B.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余，可求得∠BAC=50°，再根据基本作图得出AD平分∠BAC，进而得出∠DAC=25°，再根据直角三角形的性质可得出∠ADC的度数，即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：A：由旋转性质知：∠ACB=∠DCE，所以A不正确；
B：因为AC∥DE，可得出∠ACE=∠E=∠B=30°，所以可得出∠DCE=30°，此时AC=AB，即只有当AC=AB时，DE∥AC。因为题中不知道AB=AC，故而B不正确；
C：由旋转性质知：AB=DE，故而C不正确；
D：设BF交CE于点O，由旋转性质知∠BCE是旋转角=60°，又知道∠B=30°，故而得出∠BOC=90°，即BF⊥CE，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据旋转性质，结合平行线的性质及三角形内角和定理，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由自变量的取值范围可知①正确；②h的最大值为：，所以小球运动过程中的最大高度为45，所以②正确；③当t=2时，h=30×2-5×22=40，当t=5时，h=30×5-5×52=25，所以③不正确。综上正确结论有2个。
故答案为：C.
【分析】首先根据自变量的取值范围判定①正确；根据函数的最大值可得出②正确；分别求得当t=2和t=5时的h的值，即可得出③不正确。
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：P=
故答案为：.
【分析】根据概率计算公式即可得出答案。
14．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：=x8-6=x2。
故答案为：x2.
【分析】根据同底数幂的除法法则正确进行计算即可。
15．【答案】10
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：=
故答案为：10.
【分析】根据平方差公式进行简化运算即可得出答案。
16．【答案】1（答案不唯一）
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】∵正比例函数的图象经过第一、第三象限，
∴k>0，
故答案为：1（答案不唯一）.
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系判断出k>0，再求解即可.
17．【答案】（1）2
（2）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∵AB=，
∴OA=OB=3，
∵OE=5，
∴AE=OE-OA=5-3=2；
故答案为：2；
（2）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，
∵FG⊥AC，
∴∠EGF=90°，
∵∠AOB=90°，
∴FG∥OD，
∵点F是为的中点，
∴点G是OE的中点，
∴OG=2.5，FG=
∴AG=3-2.5=0.5，
∴AF=
故答案为：.
【分析】（1）首先根据正方形的性质，得出△OAB是等腰直角三角形，然后根据勾股定理得出OA=3，进一步可得出AE的长度；
（2）过点F作FG⊥AC，垂足为点G，可得出FG是△EOD的中位线，从而求得FG的长度和OG的长度，进而得出AG的长度，然后在直角△AFG中，根据勾股定理即可得出AF的长度。
18．【答案】（1）
（2）解：如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点M1；取圆与网格线的交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2；连接M1M2，分别与AB ，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所求．
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；线段最值问题
【解析】【解答】解：（1）AG2=12+12=2，
∴AG=；
故答案为：；
【分析】（1）根据勾股定理即可得出结论；
（2）作点M关于AB，AC的对称点M1和M2，连接M1M2，与ABAC相较于点NP，△PMN的周长=线段M1M2的长度，等腰三角形AM1M2的腰长为AM，当AM的值最小时，M1M2的值最小，此时M是切点，由此作图即可。
19．【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）2x+1≤3，
2x≤2，
∴x≤1；
故答案为：x≤1；
（2）3x-1≥x-7，
3x-x≥-7+1，
∴2x≥-6，
∴x≥-3；
故答案为：x≥-3；
（4）由（3）可知原不等式组的解集为：-3≤x≤1．
【分析】（1）解不等式①即可得出答案；
（2）解不等式②即可得出答案；
（3）在同一数轴上分别正确表示①和②的解集；
（4）根据（3），找出公共部分，即可得出答案。
20．【答案】（1）50；34；8；8
（2）观察条形统计图，
这组数据的平均数是8.36.
（3）∵在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，
∴根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有500×30%=150．
∴估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h的人数约为150．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算
【解析】【解答】（1）a=3+7+17+15+8=50；m=；众数为：8；中位数为：；
故第1空答案为：50；第2空答案为：34；第3空答案为：8；第4空答案为：8.
【分析】（1）根据各组数据即可得出a的值；根据频率的计算方法，即可得出m的值；根据众数，中位数的定义即可得出3空，4空的答案；
（2）根据平均数的定义即可得出答案；
（3）首先根据样本求得八年级学生每周参加科学教育的时间是 的频率为30%。然后用样本估计总体，用八年级总人数500×30%，即可得出答案。
21．【答案】（1）解：为的弦，
.得.
中，，
又，
.
直线MN与相切于点C，CE为的直径，
.即.又，
.
在Rt中，.
，
.
（2）如图，连接OC.
同(I)，得.
，得.
在Rt中，由，
得.
.
在Rt中，，
.
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可求得∠AOB=120°；再根据切线的性质定理得出，进而根据平行线的性质定理可得出∠CDB=90°，然后根据直角三角形两锐角互余即可得出∠BOE=60°，进而根据圆周角定理求得∠BCE=30°；
（2）连接OC.同(I)，得.根据直角三角形两锐角互余可得出∠BFG=60°，进而得出∠CFO=60°，然后在直角三角形COF中，根据锐角三角函数的定义，即可得出tan60°=，即可得出OF的长度。
22．【答案】（1）解：设，由，得.
，垂足为，
.
在Rt中，，
.
在Rt中，，
.
.得.
答：线段$CD$的长约为54m.
（2）在Rt中，，
.
.
答：桥塔AB的高度约为59m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设，由，得.首先在直角三角形BCD中得出BC=x，再在直角三角形BCE中，得出BC=（x+36）tan31°，即可得出方程x=（x+36）tan31°，解方程即可得出答案；
（2）在直角三角形ACD中，根据tan6°=，即可得出AC=CDtan6°，然后根据AB=BC+AC，即可得出答案。
23．【答案】（1）①0.15，0.6，1.5；
②0.075；
③当0≤4时，y=0.15x；
当4＜x≤19时，y=0.6；
当19＜x≤25时，y=0.15x-2.25.
（2）爸爸步行的速度为：1.5÷20=0.075，张华的速度为：0.6÷4=0.15，设离家的距离为y，
则，解得：y=1.05.
答：两人相遇时离家的距离是 1.05km
【知识点】函数值；分段函数；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）①根据点（4，0.6）可得出当0≤x≤4时，y=，
∴当x=1时，y=；
由图象知当x=13时，y=0.6；当x=30时，y=1.5；
故①中表格答案依次为：0.15；0.6；1.5；
②由图象知：返回家所用时间为：51-31=20，
∴ 张华从文化广场返回家的速度为 ：1.5÷20=0.075（km/min）
故②的答案为：0.075；
③当0≤x≤4时，设y=kx，
把（4，0.6）代入y=kx中，可得：k=0.15，
即：0≤x≤4时，设y=0.15x；
当4＜x≤19时，y=0.6；
当19＜x≤25时，设y=k1x+b，
把（19，0.6）和（25，1.5）代入y=k1x+b中，可得：k1=0.15，b=-2.25，
所以当19＜x≤25时：y=0.15x-2.25；
【分析】（1）①根据表格数据首先可得出当0≤x≤4时，y=，然后可求得当x=1时的函数值Y=0.15；在结合函数图象知当X=13时，函数值为0.6，x=30时，函数值为1.5，即可完成填表；
②由图象知：返回家所用时间为：51-31=20，路程为1.5，即可计算得出张华从文化广场返回家的速度；
③分段函数：当0≤x≤4时，设y=kx，把（4，0.6）代入y=kx中，可得y=0.15x；当4＜x≤19时，y=0.6；当19＜x≤25时，设y=k1x+b，把（19，0.6）和（25，1.5）代入y=k1x+b中，可得y=0.15x-2.25；
（2）爸爸步行的速度为：1.5÷20=0.075，张华的速度为：0.6÷4=0.15，设离家的距离为y，根据相遇时张华比爸爸多用8min，即可得出方程，解方程即可得出答案。
24．【答案】（1）；
（2）解：①t的取值范围是.
②.
【知识点】坐标与图形性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的综合；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，
∵，
∴OD=AE=1，CD=BE=，
∴OE=OA+AE=4，
∴点C的坐标为（1，），点D（4，）；
故第1空答案为（1，）；第2空答案为：D（4，）；
（2）①由折叠知，∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP=1，则OO'=2t.
∵点A(3，0)，得OA=3.
∴AO'=OO'-OA=2t-3.
∵四边形OABC为平行四边形，
∴AB=OC=2，AB∥OC.得∠O'AB=∠AOC=60°.
∴△AO'E为等边三角形.有AE=AO'=2t-3.
∵BE=AB-AE，即BE=2-(2t-3)=5-2t，
∴BE=-2t+5，其中t的取值范围是.
②如图，过点C作CH⊥OA于点H，由（1）得：C(1，），∠COA=60°，
∴tan60°=，
∴，
∴MP=，
当时，S=，
∵＞0，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线t=0，
∴在时，S随着t的增大而增大，
∴；
当时，如图：
S=，
∴，S随着t的增大而增大，
∴在t=时，S=，
在t=1时，S=，
∴当时，；
当时，过点E作EN⊥x轴于点N，如图：
由（1）得：△EO'A是等边三角形，EN⊥AO，
∴AN=，
∴tan60°=，
∴EN=，
∴S=
=
=，
∵-＜0，
∴抛物线开口向下，在t=时，S有最大值，
S=，
∴在时，丨2-丨=丨2-丨，
∴S=，
∴当时，；
当时，如图：
S==，
∵-＜0，S随t的增大而减小，
∴当时，把t=和t=时，分别代入解析式S=，可得：S=，
S=，
∴当时，.
综上可得：.
【分析】（1）过点C作CD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据含30°锐角的直角三角形的性质，即可得出答案；
（2）①（2）①由折叠知，∠OO'C'=∠AOC=60°，O'P=OP=t，则OO'=2t，结合平行四边形的性质，可得出△AO'E为等边三角形，从而得出AE=AO'=2t-3，进而根据BE=AB-AE，即可得出BE=5-2t，然后根据当点O'与点A重合和点O'与点B重合，分别求得OP的长度，即可得出t的取值范围；
②根据不同情况分别进行讨论：当时，S=，可得；当时，S，可得：；当时，S=，可得：；当时，S=，可得：。综上即可得出s的取值范围。
25．【答案】（1）解：，得.又，
该抛物线的解析式为.
，
该抛物线顶点的坐标为.
（2）解：过点作轴，垂足为，则.
在Rt中，由，.解得(舍).
点的坐标为.
，即.
抛物线的对称轴为.
对称轴与轴相交于点，则.
在Rt中，由，
.解得.
由，得该抛物线顶点的坐标为.
该抛物线的解析式为.
点在该抛物线上，有.
.
（3）解：过点作轴，垂足为，则.
在Rt中，.
过点作轴，垂足为，则.
又
.得点的坐标为.
在Rt中，，，即.
根据题意，，得.
在的外部，作，且，连接GF，
得.
.有.
当满足条件的点落在线段GM上时，取得最小值，即.
在Rt中，，
.得.
.解得(舍).
点的坐标为，点的坐标为.
点都在抛物线上，
得.
.
【知识点】二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先求得a，b的值，再配成顶点坐标，即可求解；
（2）过点作轴，垂足为H，在Rt中，根据勾股定理可求得m=，在Rt中，根据勾股定理可求得求得PD=，得出抛物线的顶点坐标为（1，-），再利用待定系数求解即可；
（3）过点作轴，过点作轴，垂足为，证，即可得出N为.在Rt中，根据勾股定理。可得出，在的外部，作，且，证，得到，当满足条件的点落在线段GM上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可.
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