四川省乐山市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（2024·乐山）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·乐山）下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎
3．（2024·乐山）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·乐山）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它
人数（人） 30 5 15 8 2
A．100 B．200 C．300 D．400
6．（2024·乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024·乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
8．（2024·乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
9．（2024·乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·乐山）如图2，在菱形ABCD中，，，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2024·乐山）计算： ．
12．（2024·乐山）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 ．
13．（2024·乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么 ．
14．（2024·乐山）已知，，则 ．
15．（2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则 ．
16．（2024·乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．
例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024·乐山）计算：．
18．（2024·乐山）解方程组：
19．（2024·乐山）如图，AB是的平分线，，求证：．
20．（2024·乐山）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式．
（1）小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
21．（2024·乐山）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用
画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
22．（2024·乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点．
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
23．（2024·乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
24．（2024·乐山）如图，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积．
25．（2024·乐山）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
26．（2024·乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
（1）【问题情境】
如图10.1，在中，，，点D、E在边BC上，且，，，求DE的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∵，∴，即．∴．
在和中，，，，
∴① ▲ ．
∴．
又∵，
∴在中，② ▲ ．
∵，，
∴③ ▲ ．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ；“②”处应填： ；“③”处应填： ．
（2）刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
（3）【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的数量关系： （直接写出结论，不必证明）．
（4）【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边AC上，且．设，，求y与x的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
∴x＜2.
故答案为：A.
【分析】直接解一元一次不等式即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A： 带盖玉柱形器的俯视图是圆，所以A不符合题意；
B： 白衣彩陶的俯视图是圆，所B不符合题意；
C： 镂空人面覆盆陶器的俯视图是圆，所C不符合题意；
D： 青铜大方鼎的俯视图是四边形，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】分别判断各图案的俯视图，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 40000000000=4×1010
故答案为：C.
【分析】大于10的科学记数法规范写法为a×10n，其中1≤a＜10，n为比原整数位少1的整数，故而得出答案即可。
4．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：四个选项中，A的边数最少，所以A的内角和最小。
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和定理可知，边数越少，内角和越小，即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：800×=400.
故答案为：D.
【分析】用样本频率估计总体频率，即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；
B：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；
C：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；
D：如图，
，，但它不是平行四边形，所以不能判定ABCD为平行四边形；
故答案为：D.
【分析】分别根据平行四边形的判定进行判断即可得出答案。
7．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1＞0，x-2＜0，
∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.
故答案为：B.
【分析】首先根据得出x-1＞0，x-2＜0，然后化简即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程两根为、，
∴x1+x2=-2，x1x2=p，
∴，
∵，
∴，
∴p=
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1x2=p，从而得出，即可得出p=，即可得出答案。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，
∵1＞0，
∴当x=1时，y有最小值是-1，
当x=-1时，y=（-1-1）2-1=3，即函数的最大值为3，
由图象知图象上的点（-1，3）关于对称轴x=1的对称点为：（3，3），
∴1≤t-1≤3，
∴2≤t≤4.
故答案为：C.
【分析】首先得出函数的顶点式，从而得出函数的对称轴，然后根据函数的性质，即可得出图象上的点（-1，3）关于对称轴x=1的对称点为：（3，3），从而得出1≤t-1≤3，解得2≤t≤4，即可得出答案。
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥BC，做点B关于点C的对称点Q'，连接BD交AQ于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵P，Q 关于点C对称，
∴点M在CG上，
∴点M的运动轨迹就是线段CH，
∵AB=CD=1，
∴CG=1×sin60°=，
∵△AHD∽△Q'BH，
∴，
CH=。
故答案为：B.
【分析】菱形内角为60°必有等边三角形，又因为P，Q关于点C对称，所以点M一定在CG上运动，再把B点对称点找出来，则M运动路径就是CH这一段，再进行求解即可。
11．【答案】3a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a+2a=3a.
故答案为：3a.
【分析】直接合并同类项即可得出答案。
12．【答案】66
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为： 57， 58， 66， 69， 71，
∴ 这5辆车的速度的 中位数是66。
故答案为：66.
【分析】首先把这一组数据按照从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义即可得出答案。
13．【答案】120°
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°。
故答案为：120°.
首先根据平行线的性质得出∠3=60°，再根据邻补角定义得出∠2的度数即可。
14．【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案为：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵，
，
∴（）2= 19
故答案为：.
【分析】首先根据等高三角形的性质，得出，再根据相似三角形的性质，即可求解.
16．【答案】（1）③
（2）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，直线y=-x+3与两坐标轴的交点分别为（0，3）和（3，0），所以①上不存在 “近轴点” ；②因为2＞0，所以y随 x的增大而减小，x=1时，y=2，x=2时y=1，所以图像上不存在“近轴点” ；③当x=1时，y=0，所以图象上有“近轴点” 。
故答案为：③；
（2） 一次函数 经过（3，0），
分两种情况：当m＜0时，如图1，
当x=1时，y=m-3m=-2m，
∵ 一次函数图象上存在“近轴点”，
∴-1≤-2m＜0，
∴0＜m≤；
当m＞0时，如图2，
可得：0≤-2m＜1，
∴
故答案为：0＜m≤或。
【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点与增减性结合，即可得出答案；
（2）分两种的情况：m＞0或m＜0，分别画图，计算边界点即可解答。
17．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值的性质，零整数指数幂的性质和算术平方根进行化简，然后再进行加减运算即可。
18．【答案】解：
①+②，得，解得．
将代入①，得．
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.
19．【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．
∴在和中，，，，
∴（SAS）
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．
20．【答案】（1）③
（2）解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）第三步出现了错误，正确的应该是：…③
故答案为：③；
【分析】（1）根据分式的运算法则，逐步检查即可得出答案；
（2）根据异分母分式的加减法，首先进行化简，然后再代入求值即可。
21．【答案】（1）240；35
（2）解：如下图所示．
（3）解：记A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭．
由题可得树状图：
P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 本次抽取的游客总人数为 ：72÷30%=240；
钵钵鸡所占的比例为：，所以m=35，；
故第1空答案为：240；第2空答案为：35；
（2）240-(48+72+84)=36，补全条形统计图，如图所示；
【分析】（1）跷脚牛肉的人数除以它对应的百分数，即可得出抽取的游客总人数；用钵钵鸡人数除以总人数，再乘100%，即可得出钵钵鸡所占的百分比，即可得出m的值；
（2）从总人数里边减去喜好其他三种美食人数，即可得出喜好甜皮鸭的人数，补全条形统计图即可；
（3）首先用树状图分析所有机会均等的结果，然后分析得出所关注事件的结果，再根据概率计算公式，求得关注事件概率即可。
22．【答案】（1）解：∵点、在反比例函数图象上，
∴，．
又∵一次函数过点，，
∴解得
∴一次函数表达式为．
（2）解：如图，连结BC．
过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．
∵，，∴轴，．
∴点，，．
在中，．
又∵，
即，
∴，即点C到线段AB的距离为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数解析式，可求得m，n的值；然后再根据点A，C的坐标用待定系数法求得 一次函数的表达式；
（2）如图，连结BC，过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．首先根据点，，可得出轴，，进一步即可得出点，在中，根据勾股定理得出．然后根据面积法，即可求出 点C到线段AB的距离．
23．【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为14.5尺
（2）解：能．
由题可知，，．
在中，
同理，．
∵，∴．
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
24．【答案】（1）解：如图，连结OC．
∵CD为的切线，点C在上，
∴，即．
又∵AB为直径，∴，即．
∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴．∴．
（2）解：连结OE、BE．
∵EF垂直平分OB，∴．
又∵，∴为等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵，∴为等边三角形．
∴，．∴．
∴．∴．
∴．∴．
又∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
25．【答案】（1）解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）解：由题可知．
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）解：易知抛物线的顶点坐标为，过点，，．
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）把a=1代入中，并转化成顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）由解析式得出抛物线与Y轴的交点A（0，2a），根据线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即可得出“完美点”的个数为4个或5个，分别得出“完美点”的坐标，即可得出．解得a的取值范围是；
（3）首先分类讨论得出完美点的坐标，①当抛物线经过时，解得；②当抛物线经过时，解得，可得a的取值范围是．
26．【答案】（1）；；5
（2）解：
证明：如图，将绕点A逆时针旋转90°，得到．
过点D作交边于点H，连结NH．
由旋转的特征得，，．
由题意得，
∴．
在和中，，，，
∴（SSS）．
∴．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，，，
∴（ASA）．
∴，．
在和中，，，，
∴（SAS）．
∴．
在中，，∴．
（3）
（4）解：如图，将绕点B逆时针旋转90°，得到，连结．
过点E作，垂足为点G，过点作，垂足为．
过点作，过点D作交AB于点H，、DF交于点F．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∴，，即．
在和中，，，，
∴（SAS）．
∵，，，∴．
又∵，，∴．
∵，∴，．
∴．
∴，即，．
∴．
同理可得，．
∴，．
∵，，∴．
又∵，，
∴四边形为矩形．
∴，，，
．
在中，．
∴．
解得．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∵，∴，即．∴．
在和中，，，，
∴①≌
∴．
又∵，
∴在中，② ．
∵，，
∴③ 5 ．
故第1空答案为：≌；第2空答案为： ；第3空答案为：5.
（3）如图4所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM、HE，过点H作HO⊥BC于点O，
由旋转性质得出△ADF≌△AGH，
∴DF=HG，AD=AG，
∵∠CEF=45°=∠BEM，∠MBC=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=BM，
由【知识迁移】得：△AEH≌△AEF，则：AH=AF，EH=EF，
则由勾股定理可得：（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BN-GM）2=EH2，
又∵EH=EF，DF=GH=GM，BE=BM，
∴（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，
即2(GH+BE)2=EF2，
∴2(DF+BE)2=EF2，
即2BE2+2DF2=EF2.
故答案为：2BE2+2DF2=EF2
【分析】（1） 如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结． 首先根据SAS证明，可得出． 再根据勾股定理求得D'E=5，即可得出DE=5；
（2）由SSS可证，可得．由ASA可证得，可得出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）由旋转性质和全等三角形的性质知EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，由勾股定理得（GH+BE）2+BG2=EH2，即可求解；
（4）利用全等三角形的性质和相似三角形的性质分别求出E'F和DF的长度，再由勾股定理求解即可。
1 / 1四川省乐山市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．（2024·乐山）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
∴x＜2.
故答案为：A.
【分析】直接解一元一次不等式即可得出答案。
2．（2024·乐山）下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A．带盖玉柱形器 B．白衣彩陶钵
C．镂空人面覆盆陶器 D．青铜大方鼎
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A： 带盖玉柱形器的俯视图是圆，所以A不符合题意；
B： 白衣彩陶的俯视图是圆，所B不符合题意；
C： 镂空人面覆盆陶器的俯视图是圆，所C不符合题意；
D： 青铜大方鼎的俯视图是四边形，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】分别判断各图案的俯视图，即可得出答案。
3．（2024·乐山）2023年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破400亿元，居全省地级市第一．将40000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 40000000000=4×1010
故答案为：C.
【分析】大于10的科学记数法规范写法为a×10n，其中1≤a＜10，n为比原整数位少1的整数，故而得出答案即可。
4．（2024·乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：四个选项中，A的边数最少，所以A的内角和最小。
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和定理可知，边数越少，内角和越小，即可得出答案。
5．（2024·乐山）为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
交通方式 公交车 自行车 步行 私家车 其它
人数（人） 30 5 15 8 2
A．100 B．200 C．300 D．400
【答案】D
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：800×=400.
故答案为：D.
【分析】用样本频率估计总体频率，即可得出答案。
6．（2024·乐山）如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；
B：根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；
C：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判断得出四边形ABCD为平行四边形；
D：如图，
，，但它不是平行四边形，所以不能判定ABCD为平行四边形；
故答案为：D.
【分析】分别根据平行四边形的判定进行判断即可得出答案。
7．（2024·乐山）已知，化简的结果为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴x-1＞0，x-2＜0，
∴=x-1-(x-2)=x-1-x+2=1.
故答案为：B.
【分析】首先根据得出x-1＞0，x-2＜0，然后化简即可得出答案。
8．（2024·乐山）若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程两根为、，
∴x1+x2=-2，x1x2=p，
∴，
∵，
∴，
∴p=
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-2，x1x2=p，从而得出，即可得出p=，即可得出答案。
9．（2024·乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：y=x2-2x=（x-1）2-1，
∵1＞0，
∴当x=1时，y有最小值是-1，
当x=-1时，y=（-1-1）2-1=3，即函数的最大值为3，
由图象知图象上的点（-1，3）关于对称轴x=1的对称点为：（3，3），
∴1≤t-1≤3，
∴2≤t≤4.
故答案为：C.
【分析】首先得出函数的顶点式，从而得出函数的对称轴，然后根据函数的性质，即可得出图象上的点（-1，3）关于对称轴x=1的对称点为：（3，3），从而得出1≤t-1≤3，解得2≤t≤4，即可得出答案。
10．（2024·乐山）如图2，在菱形ABCD中，，，点P是BC边上一个动点，在BC延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连结DP、AQ交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥BC，做点B关于点C的对称点Q'，连接BD交AQ于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵P，Q 关于点C对称，
∴点M在CG上，
∴点M的运动轨迹就是线段CH，
∵AB=CD=1，
∴CG=1×sin60°=，
∵△AHD∽△Q'BH，
∴，
CH=。
故答案为：B.
【分析】菱形内角为60°必有等边三角形，又因为P，Q关于点C对称，所以点M一定在CG上运动，再把B点对称点找出来，则M运动路径就是CH这一段，再进行求解即可。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2024·乐山）计算： ．
【答案】3a
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：a+2a=3a.
故答案为：3a.
【分析】直接合并同类项即可得出答案。
12．（2024·乐山）一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是 ．
【答案】66
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：这组数据从小到大排列为： 57， 58， 66， 69， 71，
∴ 这5辆车的速度的 中位数是66。
故答案为：66.
【分析】首先把这一组数据按照从小到大的顺序排序，然后根据中位数的定义即可得出答案。
13．（2024·乐山）如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么 ．
【答案】120°
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图
∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=180°-∠3=180°-60°=120°。
故答案为：120°.
首先根据平行线的性质得出∠3=60°，再根据邻补角定义得出∠2的度数即可。
14．（2024·乐山）已知，，则 ．
【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴（a-b）2=9，2ab=20，
∴a2-2ab+b2=9，
∴a2+b2=2ab+9=20+9=29
故答案为：29.
【分析】首先得出（a-b）2=9，2ab=20，然后根据平方差公式变形得：a2+b2=2ab+9，即可得出答案。
15．（2024·乐山）如图，在梯形ABCD中，，对角线AC和BD交于点O，若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴△AOD∽△COB，
∴，
∵，
，
∴（）2= 19
故答案为：.
【分析】首先根据等高三角形的性质，得出，再根据相似三角形的性质，即可求解.
16．（2024·乐山）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．
例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【答案】（1）③
（2）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）①当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，直线y=-x+3与两坐标轴的交点分别为（0，3）和（3，0），所以①上不存在 “近轴点” ；②因为2＞0，所以y随 x的增大而减小，x=1时，y=2，x=2时y=1，所以图像上不存在“近轴点” ；③当x=1时，y=0，所以图象上有“近轴点” 。
故答案为：③；
（2） 一次函数 经过（3，0），
分两种情况：当m＜0时，如图1，
当x=1时，y=m-3m=-2m，
∵ 一次函数图象上存在“近轴点”，
∴-1≤-2m＜0，
∴0＜m≤；
当m＞0时，如图2，
可得：0≤-2m＜1，
∴
故答案为：0＜m≤或。
【分析】（1）分别计算各函数与两坐标轴的交点与增减性结合，即可得出答案；
（2）分两种的情况：m＞0或m＜0，分别画图，计算边界点即可解答。
三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（2024·乐山）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据绝对值的性质，零整数指数幂的性质和算术平方根进行化简，然后再进行加减运算即可。
18．（2024·乐山）解方程组：
【答案】解：
①+②，得，解得．
将代入①，得．
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组即可.
19．（2024·乐山）如图，AB是的平分线，，求证：．
【答案】证明：∵AB是的平分线，∴．
∴在和中，，，，
∴（SAS）
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】首先根据SAS证明，然后根据全等三角形的性质，即可得出．
20．（2024·乐山）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式．
（1）小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】（1）③
（2）解：
．
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：（1）第三步出现了错误，正确的应该是：…③
故答案为：③；
【分析】（1）根据分式的运算法则，逐步检查即可得出答案；
（2）根据异分母分式的加减法，首先进行化简，然后再代入求值即可。
21．（2024·乐山）乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为 人，扇形统计图中m的值为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用
画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
【答案】（1）240；35
（2）解：如下图所示．
（3）解：记A：麻辣烫，B：跷脚牛肉，C：钵钵鸡，D：甜皮鸭．
由题可得树状图：
P（选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 本次抽取的游客总人数为 ：72÷30%=240；
钵钵鸡所占的比例为：，所以m=35，；
故第1空答案为：240；第2空答案为：35；
（2）240-(48+72+84)=36，补全条形统计图，如图所示；
【分析】（1）跷脚牛肉的人数除以它对应的百分数，即可得出抽取的游客总人数；用钵钵鸡人数除以总人数，再乘100%，即可得出钵钵鸡所占的百分比，即可得出m的值；
（2）从总人数里边减去喜好其他三种美食人数，即可得出喜好甜皮鸭的人数，补全条形统计图即可；
（3）首先用树状图分析所有机会均等的结果，然后分析得出所关注事件的结果，再根据概率计算公式，求得关注事件概率即可。
22．（2024·乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点A的一次函数的图象与y轴交于点．
（1）求m、n的值和一次函数的表达式；
（2）连结AB，求点C到线段AB的距离．
【答案】（1）解：∵点、在反比例函数图象上，
∴，．
又∵一次函数过点，，
∴解得
∴一次函数表达式为．
（2）解：如图，连结BC．
过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．
∵，，∴轴，．
∴点，，．
在中，．
又∵，
即，
∴，即点C到线段AB的距离为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）首先根据反比例函数解析式，可求得m，n的值；然后再根据点A，C的坐标用待定系数法求得 一次函数的表达式；
（2）如图，连结BC，过点A作，垂足为点D，过点C作，垂足为点E．首先根据点，，可得出轴，，进一步即可得出点，在中，根据勾股定理得出．然后根据面积法，即可求出 点C到线段AB的距离．
23．（2024·乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为14.5尺
（2）解：能．
由题可知，，．
在中，
同理，．
∵，∴．
∴．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
24．（2024·乐山）如图，是的外接圆，AB为直径，过点C作的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若EF垂直平分OB，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图，连结OC．
∵CD为的切线，点C在上，
∴，即．
又∵AB为直径，∴，即．
∴．
∵，∴．
∵，∴．
∴．∴．
（2）解：连结OE、BE．
∵EF垂直平分OB，∴．
又∵，∴为等边三角形．
∴，．
∵，∴．
∵，∴．
又∵，∴．
∵，∴为等边三角形．
∴，．∴．
∴．∴．
∴．∴．
又∵，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
25．（2024·乐山）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段OA（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
（2）解：由题可知．
∵线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
（3）解：易知抛物线的顶点坐标为，过点，，．
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）把a=1代入中，并转化成顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标；
（2）由解析式得出抛物线与Y轴的交点A（0，2a），根据线段OA上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，即可得出“完美点”的个数为4个或5个，分别得出“完美点”的坐标，即可得出．解得a的取值范围是；
（3）首先分类讨论得出完美点的坐标，①当抛物线经过时，解得；②当抛物线经过时，解得，可得a的取值范围是．
26．（2024·乐山）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
（1）【问题情境】
如图10.1，在中，，，点D、E在边BC上，且，，，求DE的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∵，∴，即．∴．
在和中，，，，
∴① ▲ ．
∴．
又∵，
∴在中，② ▲ ．
∵，，
∴③ ▲ ．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ；“②”处应填： ；“③”处应填： ．
（2）刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．
（3）【拓展应用】
如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的数量关系： （直接写出结论，不必证明）．
（4）【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边AC上，且．设，，求y与x的函数关系式．
【答案】（1）；；5
（2）解：
证明：如图，将绕点A逆时针旋转90°，得到．
过点D作交边于点H，连结NH．
由旋转的特征得，，．
由题意得，
∴．
在和中，，，，
∴（SSS）．
∴．
又∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，，，
∴（ASA）．
∴，．
在和中，，，，
∴（SAS）．
∴．
在中，，∴．
（3）
（4）解：如图，将绕点B逆时针旋转90°，得到，连结．
过点E作，垂足为点G，过点作，垂足为．
过点作，过点D作交AB于点H，、DF交于点F．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∴，，即．
在和中，，，，
∴（SAS）．
∵，，，∴．
又∵，，∴．
∵，∴，．
∴．
∴，即，．
∴．
同理可得，．
∴，．
∵，，∴．
又∵，，
∴四边形为矩形．
∴，，，
．
在中，．
∴．
解得．
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
∵，，∴．
∵，∴，即．∴．
在和中，，，，
∴①≌
∴．
又∵，
∴在中，② ．
∵，，
∴③ 5 ．
故第1空答案为：≌；第2空答案为： ；第3空答案为：5.
（3）如图4所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连接HM、HE，过点H作HO⊥BC于点O，
由旋转性质得出△ADF≌△AGH，
∴DF=HG，AD=AG，
∵∠CEF=45°=∠BEM，∠MBC=90°，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BE=BM，
由【知识迁移】得：△AEH≌△AEF，则：AH=AF，EH=EF，
则由勾股定理可得：（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BN-GM）2=EH2，
又∵EH=EF，DF=GH=GM，BE=BM，
∴（GH+BE）2+（BE-GH）2=EF2，
即2(GH+BE)2=EF2，
∴2(DF+BE)2=EF2，
即2BE2+2DF2=EF2.
故答案为：2BE2+2DF2=EF2
【分析】（1） 如图2，将绕点A逆时针旋转90°得到，连结． 首先根据SAS证明，可得出． 再根据勾股定理求得D'E=5，即可得出DE=5；
（2）由SSS可证，可得．由ASA可证得，可得出，然后根据勾股定理求解即可；
（3）由旋转性质和全等三角形的性质知EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，由勾股定理得（GH+BE）2+BG2=EH2，即可求解；
（4）利用全等三角形的性质和相似三角形的性质分别求出E'F和DF的长度，再由勾股定理求解即可。
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