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22.1.6二次函数y=ax +bx+c的图象与性质 题型专练
题型一、把二次函数y=ax +bx+c化成顶点式
1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴．
【答案】二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线
【分析】本题考查二次函数的顶点式，掌握配方法是解题的关键．
【详解】解：配方，得：，
所以，二次函数的顶点坐标为，对称轴是直线．
2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与．
(1)求b，c的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值；
（2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标．
【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得：，
解得：；
（2）二次函数解析式为，
则顶点坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标；
【答案】(1)
(2)①；②；
【分析】（1）利用二次函数的对称轴为即可求解．
（2）①将点带入二次函数即可求解；②利用配方法即可得，进而可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
二次函数的对称轴为：．
（2）①将点带入二次函数得：，
解得：，
二次函数的表达式为：；
②变形得：，
顶点坐标为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、利用配方法将二次函数的一般式改写为顶点式、二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称轴公式及待定系数法求函数解析式是解题的关键．
题型二、画二次函数y=ax +bx+c的图象
4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．
(2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）采用“五点作图”法即可求解；
（2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】（1）解：列表如下：
图象如图所示：
（2）解：将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
可得：
即：
【点睛】本题考查二次函数的图象及平移．掌握二次函数的平移规律是关键．
5．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．
x … －3 －2 －1 0 1 …
… 0 ___ ___ ___ 0 …
【答案】、、，图象见解析．
【分析】将、、分别代入二次函数解析式中，求出对应的y值，再利用描点、连线画出函数图象即可．
【详解】解：填表如下：
x … －3 －2 －1 0 1 …
… 0 －3 －4 －3 0 …
描点、连线，如图所示：
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象，熟练掌握利用描点法画二次函数的图象是解题关键．
6．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．
(1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图；
(3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______．
【答案】(1)，，
(2)见解析
(3)①开口向上；②当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）
【分析】（1）令，即可得到A、B的坐标，令，即可得到C的坐标；
（2）根据二次函数图像特点描点连线即可；
（3）根据二次函数图像特点即可解答．
【详解】（1）（1）令，得 ，
又∵A在B左侧，
∴，，
令，得，
故答案为：，，．
（2）
描点连线得图像如图所示；
（3）根据二次函数图像特点，该函数图像开口向上，当时，y随x的增大而增大，
故答案为：①开口向上；②当时，y随x的增大而增大．
【点睛】本题考查了画二次函数的图像及判断函数图像具备的特征，解题的关键是熟练掌握二次函数及其函数图像．
题型三、利用二次函数y=ax +bx+c的性质比较大小
7．（2024·江苏盐城·三模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确二次函数的性质．求出抛物线的开口方向和对称轴，然后根据抛物线的对称性和增减性，即可求出答案．
【详解】解：，
二次函数的开口向下，对称轴是直线，
时，随的增大而减小，
，
，
故选：C
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x 0 1 3
y 6
该抛物线的图象上有三点，，，则、与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，比较二次函数的函数值，通过表格确定函数的对称轴和增减性，进行判断即可．
【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，且在对称轴的右侧函数值随的增大而增大，在对称轴的左侧，函数值随的增大而减小，
∴函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故选B．
9．（2024·广东佛山·模拟预测）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数值的大小，由函数解析式得出抛物线的开口向下，对称轴为直线，根据距离对称轴越远，函数值越小，进行比较即可得出答案．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，对称轴为直线，
，
，
故选：D．
题型四、二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
10．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）抛物线的图象与x轴一个交点，顶点．则下列说法不正确的是：（ ）
A．对称轴为 B．开口向下
C．抛物线与x轴另一交点 D．时，y最大值为3
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出函数解析式，然后根据性质逐一判断是解题的关键
【详解】解：设抛物线的解析式为：，
把，代入得：，解得，
∴，
∴抛物线的对称轴为，故开口向下， 当时，y有最大值是3，
故A、B、D正确；
∵抛物线与x轴的一个交点是，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点是，C错误；
故选C.
11．（23-24九年级上·广西防城港·期中）如图，下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．当时，y随着x的增大而增大 B．当时，y随着x的增大而减小
C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时，y随着x的增大而增大
【答案】C
【分析】根据图像直接写出对称轴为，开口向下，直接可以选出答案．
【详解】由题可知，抛物线开口向下，对称轴为，
A选项，时，y随着x的增大而增大，不正确，不符合题意；
B选项，时，y随着x的增大而减小，不正确，不符合题意；
C选项，时，y随着x的增大而增大，正确，符合题意；
D选项，时，y随着x的增大而增大，不正确，不符合题意；
故选．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握二次函数的图形和性质是解决本题的关键．
12．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
【答案】D
【分析】根据二次函数的开口方向，与坐标轴的交点，以及二次函数的增减性对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、∵抛物线的对称轴为直线，当时，随x的增大而增大；
抛物线开口向下，故本选项错误；
B、时，，
抛物线与轴交于正半轴，故本选项错误；
C、根据对称性，当时与时的函数值相同，
，故本选项错误．
D、由表可知，抛物线与轴的一个交点在与之间，
根据对称性另一个交点为与之间，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了增减性，对称性，以及二次函数与x轴的交点坐标的求解，熟记性质是解题的关键．
题型五、二次函数y=ax +bx+c的对称轴问题
13．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过和两点，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是关键．
【详解】解：由题可得，
解得，
故选B．
14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】B
【分析】本题考查二次函数交点式与对称轴．通过二次函数交点式可知函数与轴交点,因为交点关于对称轴对称,再利用中点公式求出中点,继而得到答案．
【详解】解:∵,
∴令,即,
∴与轴两个交点横坐标分别是,
∴对称轴为．
故选:B．
15．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，依据题意，由对称轴为直线，从而可得，，即可得出，把的坐标代入即可求得的值，表示出的值是解题的关键．
【详解】解：∵点和点均在二次函数图象上，
∴对称轴是直线．
∴．
∵二次函数的顶点在轴上，
∴．
∴．
∴．
∴．
把的坐标代入得，．
故选：D．
题型六、根据二次函数y=ax +bx+c的对称性求函数值
16．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量x取时的函数值与（ ）
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等
C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象性质，利用二次函数的对称性解决问题是关键．由题意可得以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，代入求出y，再分别把每项的函数值y，看看y值是否相等即可．
【详解】解：∵的对称轴为直线，
∵自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称，
∴，
代入二次函数的解析式得：，
A、当时，，故本选项不符合题意；
B、当时，，故本选项符合题意；
C、当时，，故本选项不符合题意；
D、当时，，故本选项不符合题意．
故选：B．
17．（2024九年级·全国·竞赛）对于二次函数，当自变量分别取和时，函数的值相等，那么当自变量的取值为时，其函数值与（ ）．
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等
C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
【答案】A
【分析】此题考查利用二次函数的对称性，可知以这两个自变量的值为横坐标的点，关于抛物线的对称轴对称．求出，根据对称性可知图象上横坐标为的点关于对称轴对称的点的横坐标为0，掌握二次函数的对称性是解决问题．
【详解】解：当自变量取两个不同的值、时，函数值相等，则以、为横坐标的两点关于直线对称，
∴有，则，
图象上横坐标为的点关于对称轴对称的点的横坐标为0．
故选：A．
18．（2023·江苏南通·一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征得出的取值范围．
【详解】解：抛物线顶点坐标为，
抛物线对称轴为，
抛物线经过点和，，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，准确找到对称轴，利用对称轴表示出是解答本题的关键．
题型七 、根据二次函数图象判断式子符号
19．（2023·四川广安·一模）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．以上说法都不对
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象与系数符号的关系是解题关键．由二次函数对称轴位置可知，、异号，即可得到答案．
【详解】解：由图像可知，二次函数对称轴l在轴右侧，
、异号，
，
故选：C．
20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数系数符号的确定以及第三象限点的坐标特点，由抛物线的开口向下知，由与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到，由对称轴在y轴的左侧为可以推出，然后根据象限的特点即可得出答案．
【详解】解：由图象可知
∴，
∴点在第三象限，
故选C．
21．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）如果二次函数的图像如图所示，那么下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】观察函数图像抛物线顶点坐标为在第四象限解题即可.
【详解】由图可知二次函数的顶点坐标在第四象限，
∴，
故选D.
【点睛】本题考查了依据二次函数图像分析函数解析式中各个系数的取值范围，注意此类问题一般通过开口方向、对称轴、顶点坐标等方面进行分析.
题型八、二次函数y=ax +bx+c的图象与各项系数的符号
22．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．能从函数图象中正确获取信息是解题的关键．观察图象易得，，所以，因此，由此可以判定①②④；当，由点在第二象限可以判定，可以判定③；当时，，由点在第一象限可以判定⑤．
【详解】解：∵抛物线开口方向向上，
∴，
∵与y轴交点在x轴的下方，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴①错误，②是正确，
∵对称轴，
∴，
∴，
∴④是错误的；
当，而点在第二象限，
∴
∴③是正确的；
当时，，
而点在第一象限，
∴
∴⑤是正确的．
故选：B．
23．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断的符号，根据抛物线与轴的交点即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线，得出最小值为，进而即可求解．
【详解】解：抛物线开口向上，则，
抛物线的对称轴为直线，则
∴，
抛物线与轴交于负半轴，则
∴，故A选项错误；
∵当时，，
∴
∴，故B正确
∵抛物线的对称轴为直线，和时，
∴，故C错误；
∵，对称轴为直线
∴若为任意实数，则，即，故D错误，
故选：B．
24．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.故①错误；
对称轴是直线，点和点都在抛物线上，
而，
.故②错误；
当时，，
当时，函数取最大值，
∴对于任意实数有：
，
∴，故③正确；
，
.
当时，，
.
，即，
故④正确.
综上所述，正确的有③④.
故选：B.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.
题型九、一次函数与二次函数图象的判断
25．（2024·宁夏石嘴山·二模）已知的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据二次函数的图象，判断出的符号，再判断一次函数图象所经过的象限即可．
【详解】解：抛物线的开口向下
，
抛物线的对称轴在轴右侧，即，
，
图象经过第二、三、四象限．
故选C．
26．（2024·山东聊城·三模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；
B、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，符合题意；
C、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；
D、由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，不符合题意；
故选B．
27．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可.
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，
∴，即，
∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点，
∴由图象可知，，即，
对于二次函数，其开口向上，
顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为，
∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴，
观察图象可知选D.
故选：D
题型十、两个二次函数图象的判断
28．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
29．（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解．
【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，
如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，
∴AM=BM，AN=CN，
∴，
∵BC=10，
∴MN=5，
∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
∴3＝（3-2）2＋k，解得： ，
∴，
∵BC∥x轴，
∴点A、C的纵坐标为3，
令，则，
解得：，
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入，得：
，解得： ，故①错误；
∵，且对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为，
∴p＜n＜m，故②正确；
∵，
∴，
∵y1≥y2，
∴，
整理得：，
解得：或，故③错误；
∵，，
当x=0时，，，
∴点，
∴，故④正确；
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
30．（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．
(1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标；
(2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】(1)对称轴，与轴的交点坐标
(2)
(3)①；②或
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式及其图象与轴的交点坐标求出结果即可；
（2）在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，把点代入抛物线G的解析式即可；
（3）①当时，在同一平面直角坐标系中画出图象可知；②结合抛物线图象分情况讨论求出其取值范围即可．
【详解】（1）解：抛物线G的对称轴为，
与轴的交点坐标；
（2）解：在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，
把点代入抛物线G的解析式得，
抛物线的表达式为；
（3）①当时，抛物线G的解析式为，
抛物线的解析式为，在同一平面直角坐标系中图象如图：
从图中可以得出区域W内的整点个数为3；
②当时，如图1，
抛物线经过点（1，－3）时，区域W内恰有5个整点，
∴．解得：，
结合①可得：；
当a＜0时，如图2，抛物线经过点（－1，0）和（1，2）时，区域W内恰有5个整点．
经过点（－1，0）时，，
解得：，
经过点（1，2）时，，
解得：，
∴，
故如果区域W内恰有5个整点，则或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴及顶点坐标，轴对称图形的概念，解题的关键是运用数形结合、分类讨论的思想方法．
题型十一、待定系数法求二次函数解析式
31．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，．
(1)求a，c的值．
(2)当时，求函数y的值．
【答案】(1)
(2)21
【分析】本题考查求二次函数解析式，求函数值；
（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）将代入解析式，求出函数y的值即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，解得：，
∴；
（2）由（1）知：，
∴，
∴当时，．
32．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质，根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．
（1）根据表格中的数据可以求得二次函数的解析式；
（2）写出关于x轴对称的顶点坐标，即可求二次函数的解析式．
【详解】（1）解：由表格可知，二次函数经过点，
所以该抛物线的对称轴为，
所以该抛物线的顶点坐标为，
设该二次函数表达式为
将代入得：；
即
将代入得：
（2）解：将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，
依据二次函数图像平移时“左加右减，上加下减”的规则，得
，
即．
33．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质：
（1）抛物线经过点，可得，求解即可得到答案；
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知当时，随的增大而减小，据此即可求得答案．
【详解】（1）解：抛物线经过点，可得
．
解得：．
所以，抛物线的解析式为．
（2）抛物线的对称轴：，开口向下，可知
当时，随的增大而减小．
当时，．
当时，．
所以，当时， 的取值范围为．
题型十二、二次函数的最值问题
34．（2024九年级下·江苏·专题练习）分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)时，；时，
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出抛物线的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解．
（1）先求出抛物线的顶点坐标，然后根据二次函数的性质进行求解即可；
（2）根据二次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 顶点坐标为，
∵在范围内，且，
∴ 当时y有最小值，，
∵是范围的中点，在两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值．
（2）解：∵ ，
∴ 顶点坐标为，
∵不在范围内（如图所示），又因为函数的图象是抛物线的一部分，且当时，y随x的增大而增大，
∴ 当时，；
当时，．
35．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数．
(1)若该二次函数的最大值为，求m的值；
(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题：
（1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可；
（2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则．
【详解】（1）解：∵二次函数解析式为，
∴当时，二次函数有最大值，
∵该二次函数的最大值为，
∴，
∴；
（2）解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为，
∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下，
∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，
∴．
36．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上．
(1)若时，求该二次函数的顶点坐标．
(2)若时，求a的值．
(3)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，最值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把代入，得，结合对称轴性质，把代入，即可作答．
（2）分别得出，再代入，进行计算化简，即可作答．
（3）因为，所以，根据二次函数的图象性质进行作答即可
【详解】（1）解：依题意，把代入
得出
则对称轴，
把代入，
得出，
∴该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：∵二次函数，点，点都在该函数图象上
∴，
，
∵，
∴，
则，
解得；
（3）解：由（2）知，
∴，
∵，
∴该函数的开口向上，
∴该函数的对称轴为，
则把代入，
得出，
∴的最小值为．
题型十三、二次函数与几何变换问题
37．（2023·河南许昌·二模）如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，且，已知点为抛物线的顶点，连接．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标．
(2)将抛物线沿着轴向左平移个单位长度得到一条新抛物线，若新抛物线与线段有唯一交点，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】
本题考查二次函数的图象和性质以及用待定系数法求解析式中的系数，抛物线的平移问题：
（1）先求出点C的坐标为，可得到点B的坐标，再把将点B的坐标代入解析式即可解题．
（2）抛物线平移的规律可得将抛物线向左平移个单位长度，等同于将线段向右平移个单位长度，再由线段与抛物线有唯一交点，可得的移动区间为平行四边形（不含，包含），即可．
【详解】（1）解：将代入，得：，
∴点C的坐标为，
∴，
∴点的坐标为，
将点代入，得：
，
解得：，
抛物线解析式为，
将抛物线解析式整理为：，
顶点的坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴点，
将抛物线向左平移个单位长度，等同于将线段向右平移个单位长度，如下图，
∵线段与抛物线有唯一交点，
∴的移动区间为平行四边形（不含，包含），
∵，
∴，
∴线段向右平移4个单位长度，
即的取值范围为：．
38．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象；
(2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
【答案】(1)，图见解析
(2)1
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移：
（1）待定系数法求出函数解析式，列表描点，连线画出函数图象即可；
（2）抛物线与x轴只有一个公共点时，此时公共点为顶点坐标，即新的抛物线的顶点的纵坐标为0，进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
∴，
∴；
列表如下：
1 2 3 4 5
7 1 1 7
描点，连线画出函数图象如图：
（2）∵抛物线的顶点坐标为，且平移后的抛物线与轴只有一个公共点，
∴只需向上平移1个单位，顶点变为，此时满足题意．
故答案为：1
39．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”．
(1)求m，n的值．
(2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解题意，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键．
（1）将配成顶点式为，可知抛物线的顶点坐标为，再根据“相关抛物线”定义即可求解；
（2）由（1）可知，由此得抛物线的表达式为，联立抛物线和抛物线，求得抛物线和抛物线与x轴的交点为和，再根据当直线经过点时，当直线与抛物线有一个交点时，求得临界值，即可求出a的取值范围．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为．
∵抛物线与抛物线为“相关抛物线”，
∴抛物线与抛物线的顶点坐标相同，
，，
∴，
（2）由（1）可知，
∵抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，
∴抛物线的表达式为，
联立抛物线和抛物线得：，解得：，
∴抛物线和抛物线与x轴的交点为和，
若直线 与图形M的边界有4个公共点，则直线需在如图所示的两条虚线之间．
当直线经过点时，
，解得：，
当直线与抛物线有一个交点时，
方程有两个相等的实数根，
方程化简为 ，
则，
，
综上，当直线 与图形 M 的边界有 4个公共点时，a的取值范围为 ．
题型十四、二次函数的性质综合计算与推理
40．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系；
(3)若，且当时，y有最小值为，求a的值．
【答案】(1)
(2)当时，；当时，
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可；
（2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可；
（3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题．
【详解】（1）解：把代入得，
解得：，
∴对称轴为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为，
把点和点代入得：
，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，则；
当时，，则；
（3）解：∵，
∴抛物线的解析式为，
当时，即时，有最小值，即，解得；
当时，即时，有最小值，即，解得；
综上所述，a的值为或．
41．（2024年北京市第二中学教育集团中考三模数学试题）已知抛物线．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若抛物线经过点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数与方程的关系：
（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）令，求出抛物线与x轴的交点坐标，分类讨论或，结合图象求解．
【详解】（1）解： ，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
令，
解得，
∴，
∵，
∴或，
分类讨论：
（a）如图，当时，
，
当时，取最小值为，
所以；
（b）如图，当时，
，
将代入得，
所以，
综上所述，或．
42．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值；
(3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．
（1）直接用待定系数法求即可；
（2）先求出其最大值和最小值，再根据其差值为9即可求；
（3）先画出该函数的大致图象，再根据只有一个公共点来确定的范围即可．
【详解】（1）解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
图象经过点
解得
该二次函数的解析式为；
（2）①当时，最小值为，最大值为
此时方程无实数解，
②当时，
的最小值为，当时，该二次函数最大值与最小值的差是9
当时，该二次函数最大值为
时，
时，
解得（舍去）或，
即当时，二次函数最大值与最小值的差是9；
（3）如图，此函数大致图象如下
由，当时，，此时点为
由图知时，交点只有一个，
当时，图中也符合只有一个交点．
该函数图象与线段只有一个公共点时，的取值范围为或．
题型十五、二次函数新定义问题
43．（2024·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”．
(1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值；
(2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由；
(3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)①当时，函数是上存在无数组“平行点”； ②当时，不存在“平行点”， 理由见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数的图像与性质，二次函数的图像和性质，一次函数与坐标轴交点．
（1）根据线段轴，得到，即，即可解题；
（2）根据函数分以下两种情况讨论，①当时，②当时，结合线段轴的坐标特点分析求解即可．
（3）由得到，由点P、R为该函数的一组“平行点”，结合抛物线对称性得到进而得到，表示出直线与轴、轴的交点情况，利用三角形面积公式得到，即可得到三角形面积的取值范围．
【详解】（1）解：由题意可知，，即，
，
，
；
（2）解：①当时，，
∴函数图象上任意两点的纵坐标都相等，函数图象是平行轴的直线，
∴函数是上存在无数组“平行点”；
②当时，不存在“平行点”；
理由如下：若存在，设这组“平行点”为、，
则有：，即：，
得：，与矛盾：
当时，函数是上存在无数组“平行点”；当时，不存在“平行点”．
（3）解：∵点、都在关于的函数为常数，且的图象上，
∴，，
又∵，
，
解得：，即：，
点P、R为该函数的一组“平行点”，纵坐标相等，
由抛物线对称性可：，即，
∴，
∴，，
令，得与轴交点为：，
令，得直线与轴交点为：，
直线与轴、轴围成的三角形面积，，
∴，
将看成关于的二次函数，开口向上，对称轴为：其上点横坐标都是1的竖线，
∴当时，随着的增大而减小，
当时，有上限值（不取此值），有下限值（不取此值），即；
当时，有下限值（不取此值），有上限值（不取此值），即；
直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围为：．
44．（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题．
(1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求 ，，的值 ．
(2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图象的对称轴．
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由．
【答案】(1)的值为，的值为，的值为；
(2)①函数的图像的对称轴为；②函数的图像过两个定点，，理由见解析；
【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用；
（1）根据题意得到即可解答；
（2）①求出的对称轴，得到，表示出的解析式即可求解；②，令求解即可；
【详解】（1）解：由题意可知：，
∴．
答：的值为，的值为，的值为．
（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴对称轴为．
答：函数的图像的对称轴为．
②，
令，
解得，
∴函数的图像过定点，．
45．（2024·江苏盐城·三模）新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”．
【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______；
【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______；
【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】为定值．
【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用．
初步理解：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论；
理解应用：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论；
知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求出E，F坐标，然后求出，再由，求出为定值．
【详解】解：初步理解：∵，
∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点，
∴一次函数的永固点的坐标是，
故答案为：；
理解应用：，
当或时，，
∴无论m值如何变化，恒过定点和，
∴，，
故答案为：，；
知识迁移：为定值．
∵，
∴顶点，，
作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，
则，，，
分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，则
A
∴，，
∴，
∴，
即．
一、单选题
1．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若抛物线与x轴交于，两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题．
【详解】解：由图知开口向下，
，
与交于正半轴，
，
图象关于直线对称，
，
，
，A选项错误；
若抛物线与x轴交于，两点，
，则，故B选项正确；
，
，
由图知，当时，，
不成立，故C选项错误；
当时，有，故D选项错误．
故选：B．
2．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围．
【详解】解：二次函数的图象经过点，
，
解得，
，
该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值，
当时，有最大值，最小值，当时，，
根据对称性可得时，，
，
故选：C．
3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．
本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
故选B．
4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．先判断二次函数图象开口向下，距离对称轴越远，其函数值越小，再根据二次函数的对称性求出对称轴，求出点、、到对称轴的距离即可判断．
【详解】解：∵二次函数中的，
∴抛物线开口向下，
∴距离对称轴越远，其函数值越小，
∵，，在的图象上，
∴对称轴为直线，
∵，，，
即点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∴，
故选：C．
5．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质，抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，得出，可以判断①②，再根据抛物线判断③④．
【详解】解：∵抛物线（a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
即，故②正确；
∵，
∴,
即，
∵当时，，
∴,
∴，故③错误；
∵对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，时，则y随x的增大而减小，
故④错误．
故选：B．
6．（2024·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当且时，都有，
∴且时，都有，
∴且，解得；
∴m的取值范围为，
故选：D．
二、填空题
7．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）．
【答案】①④
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，以及二次函数与一元二次方程之间的联系，结合二次函数的图形与性质，以及二次函数与一元二次方程之间的联系逐项分析即可．掌握二次函数的图像与性质和各项系数之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵抛物线经过，两点，
∴抛物线的对称轴为，，
∵，
∴，即：
∴，则，故①正确；
当时，，则，即：，
当时，，则，即：，
故②不正确；
当时，当时，y随x的增大而增大；
当时，当时，y随x的增大而减小；
故③不正确；
方程整理为：，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
∴方程必有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
9．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得．
【详解】解：令，解得：，
即抛物线与x轴的两个交点坐标为，
由于抛物线的对称轴是直线，即，
解得：
故答案为：．
10．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．
【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则，
，
中存在一点，有，解得，则，
抛物线“开口大小”为，
故答案为：．
11．（23-24八年级下·四川成都·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，则t的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的的关系，求二次函数的最值等；设方程的两个根为，，由根与系数得，由新定义得，由此可得，将此代入，由二次函数的性质即可求解；理解新定义，掌握根与系数的关系，熟练利用完全平方公式进行变形运算是解题的关键．
【详解】解：设方程的两个根为，，
，
关于x的方程是“邻近根方程”，
，
，
，
，
整理得：，
，
，
，
故答案：．
12．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
（1） ；
（2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ．
【答案】 4 8
【分析】本题主要考查二次函数的平移及性质，先得出抛物线的顶点坐标为：，结合顶点在线段上运动可得；当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出此时D点横坐标为5；当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，结合平移，可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，
∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和，
∴，，
当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处，
即对称轴为，
此时D点横坐标为5，
当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值，
此时顶点向右平移了与线段等长的距离，
∵，平移前D点横坐标为5，
∴平移后D点横坐标为：，
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：4，8．
三、解答题
13．（2024·河南·三模）已知二次函数．
(1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标：
(2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式；
(3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质；
（1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解；
（2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解．
【详解】（1）解：
∴对称轴为直线，
当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小，
∴时，最小为
∴
解得：
又∵
∴
∴
（3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点，
当抛物线经过时，
解得：
当抛物线经过时，
解得：
∴．
14．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … …
y … n 1 p …
(1)若时，求二次函数的表达式；
(2)若当时，y有最小值为，求a的值；
(3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)2
【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质、二次函数最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）直接运用待定系数法求二次函数表达式即可；
（2）设，由抛物线过可得，即，然后分和分两种情况分别运用二次函数的性质进行解答即可；
（3）分和分两种情况分别运用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：将代入，得：，解得：，
∴；
（2）解：设，
∵经过，
∴，
∴，
∴，
①若时，当时，，
，解得：，
②若时，当时，，
，解得，
∴综上所述：或；
（3）解：若时，当时，，
∴，
∴，
若时，当时，；当时，，
∵表格中当时，，
∴不符合题意；
∴综上所述：．
15．（2024·河北石家庄·三模）嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关．
(1)点A的坐标________；
(2)当时，求抛物线L的对称轴和y的最小值；
(3)设抛物线L的顶点为点E．
①求点E的坐标（用含p的式子表示）；
②当点E在矩形的边上时，求点E的坐标；
(4)当导电线缆（即抛物线L）接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值．
【答案】(1)
(2)对称轴
(3)①E的坐标为，②或
(4)或1
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，顶点坐标，一次函数的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合矩形的性质以及点B的坐标为，即可作答
（2）将代入解析式，求出函数解析式，转化为顶点式，进行求解即可．
（3）①将二次函数转化为顶点式，进行写出顶点坐标，令，等于横纵坐标，写出直线的解析式即可；
②结合点E的坐标的性质，令时，，或令时，，分别计算，即可作答．
（3）将，两点坐标代入求出的值即可得出结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点B的坐标为
∴
∴点A的坐标是；
（2）解：当时，
，
抛物线的对称轴为，的最小值为；
（3）解：①，
抛物线顶点E的坐标为，
令，，
顶点E所在直线的解析式为；
②∵四边形是矩形，点B的坐标为
∴
∵点E所在直线的解析式为；
当时，，解得，此时
当时，，解得，此时
∴或
（4）解：抛物线顶点始终在直线上，
当时，，，
在位置变化的过程中，会经过顶点，，不会经过顶点，，
当经过点时，把，代入解析式，得，解得或；
当经过点时，把，代入解析式，得，解得（舍去）；
∴直接写出通电时整数p的值为或1．中小学教育资源及组卷应用平台
22.1.6二次函数y=ax +bx+c的图象与性质 题型专练
题型一、把二次函数y=ax +bx+c化成顶点式
1．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）用配方法求二次函数的顶点坐标和对称轴．
2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知二次函数经过点与．
(1)求b，c的值．
(2)求该二次函数图象的顶点坐标．
3．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的对称轴；
(2)当时，①求此时二次函数的表达式；②把化为的形式，并写出顶点坐标；
题型二、画二次函数y=ax +bx+c的图象
4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知，抛物线．
(1)列表，描点，在平面直角坐标系中画出的图象．
(2)将的图象向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，求所得新抛物线的解析式．
5．（21-22九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知二次函数的解析式，补充下表，并根据表中的数据在如图所示的平面直角坐标系中，利用描点法画出这个二次函数的示意图．
x … －3 －2 －1 0 1 …
… 0 ___ ___ ___ 0 …
6．（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于C点．
(1)分别写出A、B、C三点坐标：A______，B______，C______；
(2)在所给的平面直角坐标系中画出该函数图像示意图；
(3)任写出两条该函数图像具备的特征：①______；②______．
题型三、利用二次函数y=ax +bx+c的性质比较大小
7．（2024·江苏盐城·三模）已知抛物线的图象上三个点的坐标分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x 0 1 3
y 6
该抛物线的图象上有三点，，，则、与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·广东佛山·模拟预测）已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型四、二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
10．（23-24九年级上·海南海口·阶段练习）抛物线的图象与x轴一个交点，顶点．则下列说法不正确的是：（ ）
A．对称轴为 B．开口向下
C．抛物线与x轴另一交点 D．时，y最大值为3
11．（23-24九年级上·广西防城港·期中）如图，下列关于抛物线的图象描述正确的是（ ）
A．当时，y随着x的增大而增大 B．当时，y随着x的增大而减小
C．当时，y随着x的增大而增大 D．当时，y随着x的增大而增大
12．（23-24九年级上·湖北黄冈·阶段练习）已知二次函数的与的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，
D．方程的正根在与之间
题型五、二次函数y=ax +bx+c的对称轴问题
13．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若二次函数的图象经过和两点，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．
14．（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）二次函数的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
15．（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点和点，其顶点在轴上，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
题型六、根据二次函数y=ax +bx+c的对称性求函数值
16．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数，当自变量x取两个不同的值、时，函数值相等，则当自变量x取时的函数值与（ ）
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等
C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
17．（2024九年级·全国·竞赛）对于二次函数，当自变量分别取和时，函数的值相等，那么当自变量的取值为时，其函数值与（ ）．
A．时的函数值相等 B．时的函数值相等
C．时的函数值相等 D．时的函数值相等
18．（2023·江苏南通·一模）抛物线经过点和，顶点坐标为，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七 、根据二次函数图象判断式子符号
19．（2023·四川广安·一模）如图，直线l为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．以上说法都不对
20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21．（23-24九年级上·辽宁大连·阶段练习）如果二次函数的图像如图所示，那么下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型八、二次函数y=ax +bx+c的图象与各项系数的符号
22．（2024·山东德州·二模）小红从图所示的二次函数的图象中．观察得出了下面五条信息：①；②；③；④；⑤，你认为其中正确信息的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
23．（2024·广西钦州·三模）在平面直角坐标系中，二次函数的图像如图所示，以下结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若为任意实数，则
24．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型九、一次函数与二次函数图象的判断
25．（2024·宁夏石嘴山·二模）已知的图象如图所示，则函数的图象一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
26．（2024·山东聊城·三模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
27．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
题型十、两个二次函数图象的判断
28．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B． C． D．
29．（2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
30．（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．
(1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标；
(2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围．
题型十一、待定系数法求二次函数解析式
31．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，，时，．
(1)求a，c的值．
(2)当时，求函数y的值．
32．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将该二次函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的图像所对应的函数表达式 ．
33．（2024·湖南长沙·三模）如图，已知抛物线经过点．
(1)求出此抛物线的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围．
题型十二、二次函数的最值问题
34．（2024九年级下·江苏·专题练习）分别在下列范围内求函数的最大值或最小值．
(1)；
(2)．
35．（2024·江苏常州·二模）已知二次函数．
(1)若该二次函数的最大值为，求m的值；
(2)若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围．
36．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数，点，点都在该函数图象上．
(1)若时，求该二次函数的顶点坐标．
(2)若时，求a的值．
(3)求的最小值．
题型十三、二次函数与几何变换问题
37．（2023·河南许昌·二模）如图，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与轴交于点，且，已知点为抛物线的顶点，连接．
(1)求抛物线解析式及顶点坐标．
(2)将抛物线沿着轴向左平移个单位长度得到一条新抛物线，若新抛物线与线段有唯一交点，求的取值范围．
38．（23-24八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的表达式，并用描点法画出函数图象；
(2)将该抛物线向上平移 个单位后，所得抛物线与x轴只有一个公共点．
39．（2024·河南周口·二模）定义：若两条抛物线的顶点坐标相同，则称它们为“相关抛物线”，已知抛物线 与抛物线为“相关抛物线”．
(1)求m，n的值．
(2)将抛物线向下平移3个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线组成一个封闭图形，记该图形为M．若直线与图形M的边界有4个公共点，求a的取值范围．
题型十四、二次函数的性质综合计算与推理
40．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系；
(3)若，且当时，y有最小值为，求a的值．
41．（2024年北京市第二中学教育集团中考三模数学试题）已知抛物线．
(1)求此抛物线的顶点的坐标；
(2)若抛物线经过点，求的取值范围．
42．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若当时，该二次函数最大值与最小值的差是9，求t的值；
(3)已知点，若该函数图象与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．
题型十五、二次函数新定义问题
43．（2024·湖南长沙·二模）我们不妨约定：若点，是同一函数图象上不同的两点，且线段轴，则称点A、B为这个函数的一对“平行点”．
(1)若点和点为函数图象上的一对“平行点”，求的值；
(2)关于的函数(m、n为常数)的图象上存在“平行点”吗？若存在，指出它有多少对“平行点”，若不存在，请说明理由；
(3)若点、、都在关于的函数为常数，且的图象上，点P，R为该函数图象上的一对“平行点”，且满足．求直线与轴、轴围成的三角形面积的取值范围．
44．（2024·云南·二模）我们约定：若关于的二次函数与同时满足，，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题．
(1)若关于的二次函数与互为“美美与共”函数，求 ，，的值 ．
(2)对于任意非零实数，，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图象的对称轴．
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐 标；否则，请说明理由．
45．（2024·江苏盐城·三模）新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”．
【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______；
【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______；
【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由．
一、单选题
1．（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若抛物线与x轴交于，两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
2．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是( )
A． B． C． D．
3．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024·广东广州·二模）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点．，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·湖北黄石·三模）已知抛物线 （a、b、c为常数）与x轴交于点、，其中，与y轴交于正半轴．有下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2024·福建莆田·一模）已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
8．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线经过，两点，且．下列四个结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）．
9．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
10．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ．
11．（23-24八年级下·四川成都·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，则t的最大值为 ．
12．（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），
（1） ；
（2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ．
三、解答题
13．（2024·河南·三模）已知二次函数．
(1)用含a的式子写出二次函数的对称轴和顶点坐标：
(2)当时，二次函数的最小值是，求此时二次函数的解析式；
(3)已知点，，线段与二次函数的图像有公共点，直接写出a的取值范围．
14．（2024·浙江宁波·三模）设二次函数（，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … …
y … n 1 p …
(1)若时，求二次函数的表达式；
(2)若当时，y有最小值为，求a的值；
(3)若是函数图象上的点，若当时，，求a的值．
15．（2024·河北石家庄·三模）嘉淇设计了一个程序，如图，抛物线为导电的线缆，第一象限内有一矩形区域，边分别在y轴，x轴上，点B的坐标为，其中矩形的顶点A，B，C，D处有四个通电开关．
(1)点A的坐标________；
(2)当时，求抛物线L的对称轴和y的最小值；
(3)设抛物线L的顶点为点E．
①求点E的坐标（用含p的式子表示）；
②当点E在矩形的边上时，求点E的坐标；
(4)当导电线缆（即抛物线L）接触开关时，即可通电，直接写出通电时整数p的值．
