黑龙江省绥化市?2024年中考数学试卷

黑龙江省绥化市 2024年中考数学试卷
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．（2024·绥化）实数 的相反数是（　　）
A．2025 B．-2025 C． D．
2．（2024·绥化）下列所述图形中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形
3．（2024·绥化）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成， 下图是这个几何体的三视图， 那么构成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
4．（2024·绥化）若式子 有意义， 则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·绥化）下列计昇中， 结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·绥化）小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·绥化）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋的销售量如下表：
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列织计量中是的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（2024·绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等， 则江水的流速为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·绥化） 如图， 矩形 各顶点的坐标分別头 ，以原点 为位似中心， 将这个矩形拨相似比 缩小， 则顶点 在第一象限对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·绥化） 下列叙述正确的是（　　）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦心距也相等
11．（2024·绥化） 如图， 四边形 是菱形， 于点 ， 则 的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
12．（2024·绥化） 二次函数 的部分图象如图所示， 对称轴为直线 . 则下列结论中：
①
② ( 为任意实数)
③
④若 是抛物线上不同的两个点， 则 . 其中正确的结论有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
13．（2024·绥化） 我国疆域辽阔，其中领水面积约为 ， 把 370000 这个数用科学记数法表示为　 　.
14．（2024·绥化） 分解因式： 　 　
15．（2024·绥化） 如图， . 则 　 　。
16．（2024·绥化） 如图， 用热气球的探测器测一校楼的高度， 从热气球上的点 测得该楼顶部点 的仰角为 ， 测得底部点 的俯角为 ， 点 与楼 的水平距离 ， 则这栋楼约富度为　 　 (结果保留根号).
17．（2024·绥化） 化简： 　 　.
18．（2024·绥化） 用一个圆心角为 ， 半径为 的扇形作一个圆锥的侧面， 这个圆锥的底面圆的半径为　 　
19．（2024·绥化） 如图， 已知点 ， 在平行四边形 中， 它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ， 且 ， 则 　 　 .
20．（2024·绥化）如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 　 　。
21．（2024·绥化）如图， 已知 ， ， 依此规律， 则点 的坐标为　 　.
22．（2024·绥化）在矩形 中， ， 点 在直线 上， 且 ， 则点 到矩形对角线所在直线的距离是　 　.
三、解答题 (本题共 6 个小题, 共 54 分)请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23．（2024·绥化）已知： .
（1）尺规作图： 画出 的重心 . (保留作图痕迹， 不要求写作法和证明)
（2）在 (1) 的条件下， 连接 . 已知 的面积等于 ， 则 的面积是　 　.
24．（2024·绥化）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、休操、诵读书法四项社团活动，为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了一部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选一项社团活动（且只能选择一项），根据调查结果，绘制成如下两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有　 　人.
（2）在扇形统计图中， 组所占的百分比是 ▲ ， 并补全条形统计图.
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这 4 个社团中随机抽取 2 个社团汇报展示. 请用树状图法或列表法， 求选中的 2 个社团恰好是 和 的概率.
25．（2024·绥化）为了响应国家提倡的 “节能环保” 号召， 某共学电动车公司准备投入资金购买 两种电动车. 若购买 种电动车 25 辆、 种电动车 80 辆， 需投入资金 30.5 万元： 若购买 种电动车 60 辆、 种电动车 120 辆， 需投入资金 48 万元. 已知这两种电动车的单价不变.
（1） 求 两种电动车的单价分别是多少元
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 两种电动车 200 辆， 其中 种电动车的数量不多于 种电动车数量的一半. 当购买 种电动车多少辆时， 所需的总费用最少， 最少渋用是多少元
（3）该公司将购买的 两种电动车投放到出行市场后， 发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间的对应关系如下图. 其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内， 起步价 6 元， 对应的函数为 . 请根据函数图象信息解决下列问题。
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班，已知两种电动车的平均速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），小刘家到公司件距离为 ， 那么小刘选择　 　种电动年更省钱(缜定 政 B).
②直接写出两利电动车支付带用相差4 元时，x的值　 　。
26．（2024·绥化） 如图 1， 是正方形 对角线上一点， 以 为四心， 长为半径的 与 相切于点 ， 与 相交于点 .
（1）求证： 与 相切.
（2）若正方形 的边长为 ， 求 的半径.
（3）如图 2， 在 (2) 的条件下， 若点 是半径 上的一个动点， 过点 作 交 于点 . 当 时， 求 的长.
27．（2024·绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片 和 .下面是创新小红的探究过程
（1） 【操作发现】如图 1， 取 的中点 ， 将两张纸片放置在同一平面内， 使点 与点 重合.当旋转 纸片交 边于点 、交 边于点 时， 设 ，请你探究出 与 的函数关系式，并写出解答过程.
（2）【问题解决】 如图 2， 在 (1) 的条件下连接 ， 发现 的周长是一个定值. 请你写出这个定值， 并说明理由.
（3）【拓展延伸】如图 3， 当点 在 边上运动（不包括端点 )， 且始终保持 .请你直接写出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值　 　（结果保留根号）。
28．（2024·绥化）综合与探究
如图，在平而直角坐标系中，已知抛物线 与当线相交于 两点， 其中点 .
（1）求该抛物线的函数解析式.
（2）过点 作 轴交抛物线于点 . 连接 ， 在拋物线上是否存在点 使 . 若存在， 请求出满足条件的所有点 的坐标： 落不存在， 请说明理由. (提示： 依题意补全图形， 并解答)
（3）将该抛物线向左平移 2 个单位长度得到 ， 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ， 点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点， 当以点 为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出点 的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数 的相反数是
故答案为D.
【分析】任意数a的相反数是-a.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A错误
CD即是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D错误
故答案选B.
【分析】本题主要考查的是中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可.
3．【答案】A
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：根据三视图，可以得到这个几何体：共有2层，底层有3个，第二层有2个，共有5个小正方体
故答案为：A.
【分析】先根据主视图可以确定该几何体共有2层，底层有3个，再结合左视图和俯视图可以确定第二层为2个，这样即可.
4．【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使式子 有意义，
则：2m-3≥0
∴
故答案为C.
【分析】要使二次根式有意义，必须满足被开方数大于等于0.
5．【答案】A
【知识点】负整数指数幂；完全平方式；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故A正确
B、，故B错误
C、，故C错误
D、，故D错误
故选A.
【分析】本题考查了负指数整数幂，完全平方公式，算术平方根以及积的乘方等知识点，分别依据各知识点依次判断即可.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
7．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：鞋厂最关心的是哪种鞋码出售的最多，即鞋码的众数，
故选C.
【分析】本题考查的是众数，众数是指一组数据中，出现次数最多的数据.
8．【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设江水流速为x km/h ，
解得x=8，
经检验：x=8是原方程的解
因此江水流速为8 km/h
故选D.
【分析】本题考查的分式方程的应用，根据等量关系：列出方程即可.
9．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：以原点 为位似中心， 将这个矩形按相似比 缩小，
∵
∴ 顶点 在第一象限对应点的坐标是
故选D.
【分析】以原点为位似中心，同向位似规律为：位似后的对应点坐标同时乘以相似比.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；中心投影；三角形的中位线定理
【解析】【解答】A、 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，故A错误
B、 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误
D、在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦心距也相等，故D错误
故选C.
【分析】根据平行四边形的判定定理及中位线定理，垂径定理，中心投影的性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理依次判定即可.
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是菱形，
∴AC⊥BD，CD=CB=5，DO=
∴
∴AC=2CO=6
AE=
故选A.
【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理计算出OC，再利用等积法，用两种不同的方式表示出菱形的面积即可.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图可知：a<0，b<0，c>0
∴，故① 错误
②由图可知：当x=-1时，y有最大值为a-b+c
当x=m时，y= ( 为任意实数)
∴≤a-b+c
∴
故②正确
③∵ 对称轴为直线
，b=2a
由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴
故③正确
④∵ 是抛物线上不同的两个点， 且两点的函数值相等
∴>-3
故④ 错误
故选B.
【分析】①根据开口方向，左同右异可以判定出a，b符合，再根据抛物线与y轴的交点，判定c的符合
②根据抛物线开口向下，可以判定当x=-1时，y有最大值即可
③根据对称轴得出：b=2a，再代入a+b+c<0即可
④根据两点纵坐标相等，可以得出即可.
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：370000=3.7×105
【分析】绝对值大于10的科学记数法，可以表示成：±a×10-n，其中，1≤a<10，n取原数的整数位数减1.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为.
【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式进行分解即可.
15．【答案】66°
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵
∴
∠DOE=∠C＋∠E=66°
∵
∴∠A=∠DOE=66°
故答案为66°.
【分析】先由，得出，再根据外角的性质得出：∠DOE=∠C＋∠E=66°，再利用两直线平行，同位角相等，得出
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵ 从热气球上的点 测得该楼顶部点 的仰角为
∴∠CAD=60°
∵ 点 的俯角为
∴∠BAD=45°
在Rt△ADC中，
CD=AD·tan∠CAD=50×tan60°=m
在Rt△ADB中，∠BAD=45°
∴AD=BD=50
∴BC=BD+CD=(50+)m
则这栋楼约高度为(50+)m
故答案为(50+)m
【分析】由已知条件得出：∠CAD=60°和∠BAD=45°，再由这两个角的正切分别求出CD和BD的长，
再计算BC即可.
17．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先把括号里的通分，再将除法转变成乘法，再约分即可.
18．【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】由题意可得： 这个圆雉的底面圆的半径为 rcm
解得：r=
故答案为.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程即可.
19．【答案】-15
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵
∴AO=7，BE=10，OF=-14
在平行四边形 中，BC=AO=7
∴x=-24，即EB=24
∵DG∥BE
∴
∵
∴OG=6，DG=2.5
∴D点的坐标为（-6，2.5）
∵点D在 反比例函数 的图象 上
∴k=-2.5×6=-15
故答案为-15.
【分析】
通过作垂线构造出A型相似，利用相似三角形对应边成比例，得出点D的坐标，再根据待定系数法求出k值.
20．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
21．【答案】
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据图形，可以得出：
由此可见，每七个是一个循环
∴2024÷7=289余1，而1+289x10=2891，
∴点 的坐标为
故答案为.
【分析】观察所给图形及点的坐标，列出各个点的坐标，发现规律：每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键.
22．【答案】 或 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=4cm，AC=BD∴cm
∵∠BAD=∠EFD=90°，∠ADB=∠ADB
∴△DEF≈△DBA
∴
∴EF=
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
AE=AD-DE=8cm-2cm=6cm
同理：△ADC≈△AME
∴
解得：EM=
如图3，过点E作EN⊥AC于点N
同理：△ADB≈△NDE
∴
∴
解得：EN=
如图4，过点E作EH⊥AC于点H
同理：△ADC≈△AHE
∴
∴
解得：HE=
故答案为 或 或.
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.先作出点E到矩形对角线所在直线的距离，根据四种情况分类讨论，再根据相似三角形的性质，对应边对应成比例，求出点到矩形对角线所在直线的距离即可.
23．【答案】（1）解：先作出AC，BC的垂直平分线，找出AC，BC的中点F，D连接AD，BF的交点即为点G
（2）15
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线；三角形的中线
【解析】【解答】解：（2）∵点G是的重心，
∴
∴
∴
∴
∴(cm2)
∵F为AC的中点
∴
故答案为15.
【分析】先根据重心的性质，得出，求出的面积，再根据中点的性质，从而求出的面积.
24．【答案】（1）60
（2）30%
（3）画树状图法如下图
列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有 12 种结果出现的可能性相等， 选中的 2 个社团恰好是 和 的情况有两种.
(选中的 2 个社团恰好是 和
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）12÷20%=60（人）
故答案为60人.
(2)60-20-10-12=18(人)
18÷60=30%
故答案为30%.
【分析】
（1）根据，计算出D组人数
（2）先计算出A组人数，再根据即可
（3）先画出树状图，由树状图可知12种结果出现的可能性相等， 选中的 2 个社团恰好是 和 的情况有两种，根据概率公式求出概率即可.
25．【答案】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别为x元，y元，由题意得
解得
答： 两种电动车的单价分别为 1000 元、 3500 元。
（2）解：设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 ( ) 辆，由选得得：
解得：
设所需购买总费用为 元. 则
随着 的增大而减小
取正整数 时， 最少
(元)
答： 当购买 种电动车 66 镉时所需的总费用最少， 最少顽用为 535000 元.
（3）B；5或40
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（3） ①小刘到校的时间为：÷300m/min=（分钟）>20
∴>
∴选择B种电动车
故答案为B.
②解设=kx，把（20，8）代入得：20K=8，解得k=
∴
当时，=6
当x>10时，设=kx+b
把（20，8）（10，6）得：
，解得
∴=x+4
∵两种电动车支付费用相差4 元
∴当时，-=4
∴6-x=4，解得x=5
当x>10时，-=4
∴x-x-4=4，解得x=40
故答案为5或40.
【分析】(1)本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意，即可列出方程组.
(2)设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 ( ) 辆，根据 种电动车的数量不多于 种电动车数量的一半 ，列出不等式，得出m的取值范围，设所需购买总费用为 元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围，即可求出W的最小值.
26．【答案】（1）证明： 连接 ， 过点 作 于点
与 相切于点
四边形 是正方形， 是正方形的对角线
为 的半径 为 的半径
与 相切
方法二：
证明： 连接 ， 过点 作 于点
与 相切于点
四边形 是正方形
又
为 的半径
为 的半径
与 相切
方法三：
证明：过点 作 于点 ， 连接
与 相切， 为 半径
又 四边形 为正方形
四边形 为矩形
又 为正方形的对角线
四边形 为正方形
又 为 的半径
为 的半径
又
与 相切
（2）解： 为正方形 的对角线
与 相切于点
由 (1) 可知 设 ， 在 中，
又 正方形 的边长为
在 中，
C
(或利用 列方程求 也可得分)
的半径为
（3）解：方法一：
解： 连接 ， 设
在 Rt 中， 由勾股定理得：
在 Rt 中， 由勾股定理得：
又
方法二：
解： 连接 为 的直径
∵MN⊥AC
∴∠NFM+∠FNM= 90°
∴∠NFM=∠CNM
∵∠NCM= ∠FCN
∴△CNM~△CFN
∴CN2= CM·CF
∵CM：FM= 1：4，CF= 5CM
∴CN= CM
方法三：
解： 连接 为 的直径
∴∠CNF= 90°∴∠FNM+∠CNM= 90°∵MN⊥AC∴ ∠NFM+∠FNM= 90°∴ ∠NFM=∠CNM∵∠NCM=∠FCN∴ △CNM~△CFN∵CM：FM= 1：4
议 ， 则
又

【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先过点 作 于点 ，根据正方形的性质：得出=r，或者证明，得出：=r，或者证明矩形 为正方形，得出=r，即可得出结论
（2）设圆的半径为R，得出，则AC=，由正方形的边长为，求出，因而得出，求出R
（3）方法一：根据，R=，求出CM.再利用OM=OC-CM，求出OM，利用勾股定理，求出MN，最后再利用勾股定理求出CN即可，
方法二或方法三：先证△CNM∽△CFN，得出：CN2=CM·CF求出CN.
27．【答案】（1）操作发现
解： ， 且
在 中，
是 的中点， 点 与点 巫合
（2）解：方法一：
解： 的周长定值为 2
理由如下，
在 中、
将（1）中 代入得：
又
的周长
的周长 .
方法二：
解： 的周长定值为 2
理由如下： 和 远等腰直角三角形
在 中，
为 的中点
又
过 作 交 于点 ， 作 交 于点 ， 作 父 于点
又
的周长
又
是 的中点
点 是 的中点， 同理点 是 的中点
的周长
方法三：
解： 的周长定值为 2
理由如下： 过 作 于点 ， 作 交 于点 ， 在 上截取一点 使 连接
平分
的周长
又
是 的中点
点 为 的中点. 同理点 是 的中点
的周长
（3） 或
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】(3)①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，
∵∠AFE=60°，∠A=45°
∴∠AFN=45°，∠HFN=∠AFH-∠AFN=60°-45°=15°，
∵FH的垂直平分线交FN
∴FM=MH，
∴∠NFH=∠MHF=15°
∠NMH是△FMH的外角
∴∠NMH=30°
设NH=1，则NM=，HM=FM=2
∴FN=FM+MN=+2
tan∠FHA==+2
如上图，过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
∵∠AFE=60°，∠A=∠B=45°
∴∠FGB=∠AFE-∠B=60°-45°=15°
∵作FG的垂直平分线交BG于点M
∴FM=GM
∴∠GFM=∠MGF=15°
∴∠FMB=∠GFM+∠MGF=30°
设FN=1，MN=，GM=FM=2
∴NG=GM+MN=+2
tan∠FGN==
故答案为 或.
【分析】
（1）根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，再根据对应边成比例，得出，代入数值，得出y 与x的关系式
（2）
方法一：设，表示出CH，CG，再根据勾股定理：和xy=2表示出GH，GH=
方法二：根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，得出：，又因为O为AB的中点，得出：，根据两边对应成比例且夹角相等，证明出，得出，再通过作垂直，构造出两对全等三角形，得出，把 的周长 转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可
(3) 过 作 于点 ， 作 交 于点 ， 在 上截取一点 使 连接 ，证明得出再证明，把 的周长 转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可.
(3)分两种情况讨论，两种情况都是通过作垂直和中垂线构造出含30°的直角三角形，设30°所对的直角边为单位1，通过30°，60°的直角三角形三边的关系，推出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的 对边与邻边的比值.
28．【答案】（1）解： 把点 代入 得
解得

（2）解：存在
理由： 轴且
(舍去)
过点 作 于点
在 中，
设直线 交 轴于点
连接 交抛物线于 ， 连接 交抛物线于
解得
或 解得
把 代 入 得
综上所述， 满足条件的点 坐标为
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的其他实际应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(3) ∵
∴设抛物线向左平移 2 个单位长度为：
令，解得：
∴D的坐标为（1，4），B(0，1)
则
设E（2，t），F(m，n)
当BF，DE为对角线时，
则DB=BE
∴=10，解得t=
根据中点坐标公式可得：
解得，当t =1-，m=3，n=4-
当t =1+，m=3，n=4+
∴F点坐标为：（3，4-）（3，4+）
当BE，DF为对角线时，DE=BD
DE2=(2-1)2+(4-t)2=t2-8t+17
∴t2-8t+17=10，解得t=1或7
根据中点坐标公式可得：
解得，当t =1，m=1，n=-2
当t =7，m=1，n=4
∴F点坐标为：（1，4）(舍去)或（1，-2）
∴F点坐标为：（1，-2）
当BD，EF为对角线时，DE=BE
∴t2-8t+17=t2-2t+5，解得t=2
根据中点坐标公式可得：
解得m=-1，n=3
∴F点坐标为：（-1，3）
故答案为：.

【分析】(1)利用待定系数法代入求解即可
（2）根据 轴且 ，得出点C 的坐标，再根据求出，求出两种情况下直线CP的解析式，再联立方程，求出点P的坐标即可.
(3)根据题意需要分三种情况讨论：当BF，DE为对角线时，当BD，EF为对角线时，当BE，DF为对角线时，每种情况要结合两点间坐标公式和中点坐标公式列出方程组即可.
1 / 1黑龙江省绥化市 2024年中考数学试卷
一、单项选择题（本题共 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分）
1．（2024·绥化）实数 的相反数是（　　）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】D
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数 的相反数是
故答案为D.
【分析】任意数a的相反数是-a.
2．（2024·绥化）下列所述图形中， 是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．等腰三角形 C．圆 D．菱形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A错误
CD即是轴对称图形，又是中心对称图形，故C，D错误
故答案选B.
【分析】本题主要考查的是中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可.
3．（2024·绥化）某几何体是由完全相同的小正方体组合而成， 下图是这个几何体的三视图， 那么构成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个
【答案】A
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：根据三视图，可以得到这个几何体：共有2层，底层有3个，第二层有2个，共有5个小正方体
故答案为：A.
【分析】先根据主视图可以确定该几何体共有2层，底层有3个，再结合左视图和俯视图可以确定第二层为2个，这样即可.
4．（2024·绥化）若式子 有意义， 则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：要使式子 有意义，
则：2m-3≥0
∴
故答案为C.
【分析】要使二次根式有意义，必须满足被开方数大于等于0.
5．（2024·绥化）下列计昇中， 结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】负整数指数幂；完全平方式；积的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、，故A正确
B、，故B错误
C、，故C错误
D、，故D错误
故选A.
【分析】本题考查了负指数整数幂，完全平方公式，算术平方根以及积的乘方等知识点，分别依据各知识点依次判断即可.
6．（2024·绥化）小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时， 小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数， 因而得到方程的两个根是 -2 和 -5 . 则原来的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设一元二次方程为
由题意知：6+1=-b，-2×(-5)=c
∴b=-7，c=10
∴方程为：
故选B.
【分析】本题考查的是韦达定理：，根据韦达定理即可解决问题.
7．（2024·绥化）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋的销售量如下表：
鞋码 36 37 38 39 40
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列织计量中是的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：鞋厂最关心的是哪种鞋码出售的最多，即鞋码的众数，
故选C.
【分析】本题考查的是众数，众数是指一组数据中，出现次数最多的数据.
8．（2024·绥化）一艘货轮在静水中的航速为40km/h，它以该航速沿江顺流航行120km所用时间，与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等， 则江水的流速为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设江水流速为x km/h ，
解得x=8，
经检验：x=8是原方程的解
因此江水流速为8 km/h
故选D.
【分析】本题考查的分式方程的应用，根据等量关系：列出方程即可.
9．（2024·绥化） 如图， 矩形 各顶点的坐标分別头 ，以原点 为位似中心， 将这个矩形拨相似比 缩小， 则顶点 在第一象限对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：以原点 为位似中心， 将这个矩形按相似比 缩小，
∵
∴ 顶点 在第一象限对应点的坐标是
故选D.
【分析】以原点为位似中心，同向位似规律为：位似后的对应点坐标同时乘以相似比.
10．（2024·绥化） 下列叙述正确的是（　　）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦心距也相等
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；中心投影；三角形的中位线定理
【解析】【解答】A、 顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个平行四边形，故A错误
B、 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误
D、在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等， 所对的弦心距也相等，故D错误
故选C.
【分析】根据平行四边形的判定定理及中位线定理，垂径定理，中心投影的性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理依次判定即可.
11．（2024·绥化） 如图， 四边形 是菱形， 于点 ， 则 的长是（　　）
A． B．6 C． D．12
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵ 四边形 是菱形，
∴AC⊥BD，CD=CB=5，DO=
∴
∴AC=2CO=6
AE=
故选A.
【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理计算出OC，再利用等积法，用两种不同的方式表示出菱形的面积即可.
12．（2024·绥化） 二次函数 的部分图象如图所示， 对称轴为直线 . 则下列结论中：
①
② ( 为任意实数)
③
④若 是抛物线上不同的两个点， 则 . 其中正确的结论有（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图可知：a<0，b<0，c>0
∴，故① 错误
②由图可知：当x=-1时，y有最大值为a-b+c
当x=m时，y= ( 为任意实数)
∴≤a-b+c
∴
故②正确
③∵ 对称轴为直线
，b=2a
由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴
故③正确
④∵ 是抛物线上不同的两个点， 且两点的函数值相等
∴>-3
故④ 错误
故选B.
【分析】①根据开口方向，左同右异可以判定出a，b符合，再根据抛物线与y轴的交点，判定c的符合
②根据抛物线开口向下，可以判定当x=-1时，y有最大值即可
③根据对称轴得出：b=2a，再代入a+b+c<0即可
④根据两点纵坐标相等，可以得出即可.
二、填空题（本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
13．（2024·绥化） 我国疆域辽阔，其中领水面积约为 ， 把 370000 这个数用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：370000=3.7×105
【分析】绝对值大于10的科学记数法，可以表示成：±a×10-n，其中，1≤a<10，n取原数的整数位数减1.
14．（2024·绥化） 分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为.
【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式进行分解即可.
15．（2024·绥化） 如图， . 则 　 　。
【答案】66°
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵
∴
∠DOE=∠C＋∠E=66°
∵
∴∠A=∠DOE=66°
故答案为66°.
【分析】先由，得出，再根据外角的性质得出：∠DOE=∠C＋∠E=66°，再利用两直线平行，同位角相等，得出
16．（2024·绥化） 如图， 用热气球的探测器测一校楼的高度， 从热气球上的点 测得该楼顶部点 的仰角为 ， 测得底部点 的俯角为 ， 点 与楼 的水平距离 ， 则这栋楼约富度为　 　 (结果保留根号).
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵ 从热气球上的点 测得该楼顶部点 的仰角为
∴∠CAD=60°
∵ 点 的俯角为
∴∠BAD=45°
在Rt△ADC中，
CD=AD·tan∠CAD=50×tan60°=m
在Rt△ADB中，∠BAD=45°
∴AD=BD=50
∴BC=BD+CD=(50+)m
则这栋楼约高度为(50+)m
故答案为(50+)m
【分析】由已知条件得出：∠CAD=60°和∠BAD=45°，再由这两个角的正切分别求出CD和BD的长，
再计算BC即可.
17．（2024·绥化） 化简： 　 　.
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先把括号里的通分，再将除法转变成乘法，再约分即可.
18．（2024·绥化） 用一个圆心角为 ， 半径为 的扇形作一个圆锥的侧面， 这个圆锥的底面圆的半径为　 　
【答案】
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】由题意可得： 这个圆雉的底面圆的半径为 rcm
解得：r=
故答案为.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，列出方程即可.
19．（2024·绥化） 如图， 已知点 ， 在平行四边形 中， 它的对角线 与反比例函数 的图象相交于点 ， 且 ， 则 　 　 .
【答案】-15
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】如图，作BE⊥x轴，DG⊥x轴，垂足分别为E、G，
∵
∴AO=7，BE=10，OF=-14
在平行四边形 中，BC=AO=7
∴x=-24，即EB=24
∵DG∥BE
∴
∵
∴OG=6，DG=2.5
∴D点的坐标为（-6，2.5）
∵点D在 反比例函数 的图象 上
∴k=-2.5×6=-15
故答案为-15.
【分析】
通过作垂线构造出A型相似，利用相似三角形对应边成比例，得出点D的坐标，再根据待定系数法求出k值.
20．（2024·绥化）如图， 已知 ， 点 为 内部一点， 点 为射线 、点 为射线 上的两个动点， 当 的周长最小时， 则 　 　。
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作P点关于OB的对称点E，连接EM，EP
则EM=EP，∠EOM=∠POM，OM=OM
∴△EOM≌△POM
∴∠OEM=∠OPM
P点关于OA的对称点F，连接NP，NF
同理：△PON≌△FON
∴∠OFN=∠OPN，PN=FN
∵的周长=PM+PN+MN=EM+NF+MN>EF
∴当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
∠EOF=∠OEM+∠POM+∠PON+∠NOF=2
∴∠OPN+∠OPM=∠OFN+∠OEM=180°-∠EOF=80°
故答案为.
【分析】作两次对称：作P点关于OB的对称点E，P点关于OA的对称点F， 的周长 =PM+PN+MN=EM+NF+MN，则当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，在根据对称性质，即可求出的度数.
21．（2024·绥化）如图， 已知 ， ， 依此规律， 则点 的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据图形，可以得出：
由此可见，每七个是一个循环
∴2024÷7=289余1，而1+289x10=2891，
∴点 的坐标为
故答案为.
【分析】观察所给图形及点的坐标，列出各个点的坐标，发现规律：每隔七个点，点An的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现是解题的关键.
22．（2024·绥化）在矩形 中， ， 点 在直线 上， 且 ， 则点 到矩形对角线所在直线的距离是　 　.
【答案】 或 或
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1，过点E作EF⊥BD于点F∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=8cm，CD=AB=4cm，AC=BD∴cm
∵∠BAD=∠EFD=90°，∠ADB=∠ADB
∴△DEF≈△DBA
∴
∴EF=
如图2，过点E作EM⊥AC于点M，
AE=AD-DE=8cm-2cm=6cm
同理：△ADC≈△AME
∴
解得：EM=
如图3，过点E作EN⊥AC于点N
同理：△ADB≈△NDE
∴
∴
解得：EN=
如图4，过点E作EH⊥AC于点H
同理：△ADC≈△AHE
∴
∴
解得：HE=
故答案为 或 或.
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.先作出点E到矩形对角线所在直线的距离，根据四种情况分类讨论，再根据相似三角形的性质，对应边对应成比例，求出点到矩形对角线所在直线的距离即可.
三、解答题 (本题共 6 个小题, 共 54 分)请在答题卡上把你的答案写在所对应的题号后的指定区域内
23．（2024·绥化）已知： .
（1）尺规作图： 画出 的重心 . (保留作图痕迹， 不要求写作法和证明)
（2）在 (1) 的条件下， 连接 . 已知 的面积等于 ， 则 的面积是　 　.
【答案】（1）解：先作出AC，BC的垂直平分线，找出AC，BC的中点F，D连接AD，BF的交点即为点G
（2）15
【知识点】三角形的重心及应用；尺规作图-垂直平分线；三角形的中线
【解析】【解答】解：（2）∵点G是的重心，
∴
∴
∴
∴
∴(cm2)
∵F为AC的中点
∴
故答案为15.
【分析】先根据重心的性质，得出，求出的面积，再根据中点的性质，从而求出的面积.
24．（2024·绥化）为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、休操、诵读书法四项社团活动，为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了一部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选一项社团活动（且只能选择一项），根据调查结果，绘制成如下两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
（1）参加本次问卷调查的学生共有　 　人.
（2）在扇形统计图中， 组所占的百分比是 ▲ ， 并补全条形统计图.
（3）端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这 4 个社团中随机抽取 2 个社团汇报展示. 请用树状图法或列表法， 求选中的 2 个社团恰好是 和 的概率.
【答案】（1）60
（2）30%
（3）画树状图法如下图
列表法如下图
由树状图法或列表法可以看出共有 12 种结果出现的可能性相等， 选中的 2 个社团恰好是 和 的情况有两种.
(选中的 2 个社团恰好是 和
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）12÷20%=60（人）
故答案为60人.
(2)60-20-10-12=18(人)
18÷60=30%
故答案为30%.
【分析】
（1）根据，计算出D组人数
（2）先计算出A组人数，再根据即可
（3）先画出树状图，由树状图可知12种结果出现的可能性相等， 选中的 2 个社团恰好是 和 的情况有两种，根据概率公式求出概率即可.
25．（2024·绥化）为了响应国家提倡的 “节能环保” 号召， 某共学电动车公司准备投入资金购买 两种电动车. 若购买 种电动车 25 辆、 种电动车 80 辆， 需投入资金 30.5 万元： 若购买 种电动车 60 辆、 种电动车 120 辆， 需投入资金 48 万元. 已知这两种电动车的单价不变.
（1） 求 两种电动车的单价分别是多少元
（2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 两种电动车 200 辆， 其中 种电动车的数量不多于 种电动车数量的一半. 当购买 种电动车多少辆时， 所需的总费用最少， 最少渋用是多少元
（3）该公司将购买的 两种电动车投放到出行市场后， 发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间的对应关系如下图. 其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内， 起步价 6 元， 对应的函数为 . 请根据函数图象信息解决下列问题。
①小刘每天早上需要骑行A种电动车或B种电动车去公司上班，已知两种电动车的平均速度均为300m/min（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计），小刘家到公司件距离为 ， 那么小刘选择　 　种电动年更省钱(缜定 政 B).
②直接写出两利电动车支付带用相差4 元时，x的值　 　。
【答案】（1）解：设A、B两种电动车的单价分别为x元，y元，由题意得
解得
答： 两种电动车的单价分别为 1000 元、 3500 元。
（2）解：设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 ( ) 辆，由选得得：
解得：
设所需购买总费用为 元. 则
随着 的增大而减小
取正整数 时， 最少
(元)
答： 当购买 种电动车 66 镉时所需的总费用最少， 最少顽用为 535000 元.
（3）B；5或40
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【解答】解：（3） ①小刘到校的时间为：÷300m/min=（分钟）>20
∴>
∴选择B种电动车
故答案为B.
②解设=kx，把（20，8）代入得：20K=8，解得k=
∴
当时，=6
当x>10时，设=kx+b
把（20，8）（10，6）得：
，解得
∴=x+4
∵两种电动车支付费用相差4 元
∴当时，-=4
∴6-x=4，解得x=5
当x>10时，-=4
∴x-x-4=4，解得x=40
故答案为5或40.
【分析】(1)本题考查的是二元一次方程组的应用，根据题意，即可列出方程组.
(2)设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 ( ) 辆，根据 种电动车的数量不多于 种电动车数量的一半 ，列出不等式，得出m的取值范围，设所需购买总费用为 元，根据题意列出一次函数，根据一次函数的增减性，结合m的取值范围，即可求出W的最小值.
26．（2024·绥化） 如图 1， 是正方形 对角线上一点， 以 为四心， 长为半径的 与 相切于点 ， 与 相交于点 .
（1）求证： 与 相切.
（2）若正方形 的边长为 ， 求 的半径.
（3）如图 2， 在 (2) 的条件下， 若点 是半径 上的一个动点， 过点 作 交 于点 . 当 时， 求 的长.
【答案】（1）证明： 连接 ， 过点 作 于点
与 相切于点
四边形 是正方形， 是正方形的对角线
为 的半径 为 的半径
与 相切
方法二：
证明： 连接 ， 过点 作 于点
与 相切于点
四边形 是正方形
又
为 的半径
为 的半径
与 相切
方法三：
证明：过点 作 于点 ， 连接
与 相切， 为 半径
又 四边形 为正方形
四边形 为矩形
又 为正方形的对角线
四边形 为正方形
又 为 的半径
为 的半径
又
与 相切
（2）解： 为正方形 的对角线
与 相切于点
由 (1) 可知 设 ， 在 中，
又 正方形 的边长为
在 中，
C
(或利用 列方程求 也可得分)
的半径为
（3）解：方法一：
解： 连接 ， 设
在 Rt 中， 由勾股定理得：
在 Rt 中， 由勾股定理得：
又
方法二：
解： 连接 为 的直径
∵MN⊥AC
∴∠NFM+∠FNM= 90°
∴∠NFM=∠CNM
∵∠NCM= ∠FCN
∴△CNM~△CFN
∴CN2= CM·CF
∵CM：FM= 1：4，CF= 5CM
∴CN= CM
方法三：
解： 连接 为 的直径
∴∠CNF= 90°∴∠FNM+∠CNM= 90°∵MN⊥AC∴ ∠NFM+∠FNM= 90°∴ ∠NFM=∠CNM∵∠NCM=∠FCN∴ △CNM~△CFN∵CM：FM= 1：4
议 ， 则
又

【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先过点 作 于点 ，根据正方形的性质：得出=r，或者证明，得出：=r，或者证明矩形 为正方形，得出=r，即可得出结论
（2）设圆的半径为R，得出，则AC=，由正方形的边长为，求出，因而得出，求出R
（3）方法一：根据，R=，求出CM.再利用OM=OC-CM，求出OM，利用勾股定理，求出MN，最后再利用勾股定理求出CN即可，
方法二或方法三：先证△CNM∽△CFN，得出：CN2=CM·CF求出CN.
27．（2024·绥化）综合与实践
问题情境
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形为操作对象，纸片 和 .下面是创新小红的探究过程
（1） 【操作发现】如图 1， 取 的中点 ， 将两张纸片放置在同一平面内， 使点 与点 重合.当旋转 纸片交 边于点 、交 边于点 时， 设 ，请你探究出 与 的函数关系式，并写出解答过程.
（2）【问题解决】 如图 2， 在 (1) 的条件下连接 ， 发现 的周长是一个定值. 请你写出这个定值， 并说明理由.
（3）【拓展延伸】如图 3， 当点 在 边上运动（不包括端点 )， 且始终保持 .请你直接写出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的正切值　 　（结果保留根号）。
【答案】（1）操作发现
解： ， 且
在 中，
是 的中点， 点 与点 巫合
（2）解：方法一：
解： 的周长定值为 2
理由如下，
在 中、
将（1）中 代入得：
又
的周长
的周长 .
方法二：
解： 的周长定值为 2
理由如下： 和 远等腰直角三角形
在 中，
为 的中点
又
过 作 交 于点 ， 作 交 于点 ， 作 父 于点
又
的周长
又
是 的中点
点 是 的中点， 同理点 是 的中点
的周长
方法三：
解： 的周长定值为 2
理由如下： 过 作 于点 ， 作 交 于点 ， 在 上截取一点 使 连接
平分
的周长
又
是 的中点
点 为 的中点. 同理点 是 的中点
的周长
（3） 或
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；三角形-动点问题；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】(3)①过点F作 FN⊥AC于点N，作FH的垂直平分线交FN于点M，连接MH，
∵∠AFE=60°，∠A=45°
∴∠AFN=45°，∠HFN=∠AFH-∠AFN=60°-45°=15°，
∵FH的垂直平分线交FN
∴FM=MH，
∴∠NFH=∠MHF=15°
∠NMH是△FMH的外角
∴∠NMH=30°
设NH=1，则NM=，HM=FM=2
∴FN=FM+MN=+2
tan∠FHA==+2
如上图，过点F作FN⊥BC于点N，作FG的垂直平分线交BG于点M，连接FM，
∵∠AFE=60°，∠A=∠B=45°
∴∠FGB=∠AFE-∠B=60°-45°=15°
∵作FG的垂直平分线交BG于点M
∴FM=GM
∴∠GFM=∠MGF=15°
∴∠FMB=∠GFM+∠MGF=30°
设FN=1，MN=，GM=FM=2
∴NG=GM+MN=+2
tan∠FGN==
故答案为 或.
【分析】
（1）根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，再根据对应边成比例，得出，代入数值，得出y 与x的关系式
（2）
方法一：设，表示出CH，CG，再根据勾股定理：和xy=2表示出GH，GH=
方法二：根据一线三等角模型，利用外角的性质，证明：，得出：，又因为O为AB的中点，得出：，根据两边对应成比例且夹角相等，证明出，得出，再通过作垂直，构造出两对全等三角形，得出，把 的周长 转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可
(3) 过 作 于点 ， 作 交 于点 ， 在 上截取一点 使 连接 ，证明得出再证明，把 的周长 转化成CM与CN的和，再证明，得出M，N为中点即可.
(3)分两种情况讨论，两种情况都是通过作垂直和中垂线构造出含30°的直角三角形，设30°所对的直角边为单位1，通过30°，60°的直角三角形三边的关系，推出 纸片的斜边 与 纸片的直角边所夹锐角的 对边与邻边的比值.
28．（2024·绥化）综合与探究
如图，在平而直角坐标系中，已知抛物线 与当线相交于 两点， 其中点 .
（1）求该抛物线的函数解析式.
（2）过点 作 轴交抛物线于点 . 连接 ， 在拋物线上是否存在点 使 . 若存在， 请求出满足条件的所有点 的坐标： 落不存在， 请说明理由. (提示： 依题意补全图形， 并解答)
（3）将该抛物线向左平移 2 个单位长度得到 ， 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ， 点 为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点， 当以点 为顶点的四边形是菱形时， 请直接写出点 的坐标.
【答案】（1）解： 把点 代入 得
解得

（2）解：存在
理由： 轴且
(舍去)
过点 作 于点
在 中，
设直线 交 轴于点
连接 交抛物线于 ， 连接 交抛物线于
解得
或 解得
把 代 入 得
综上所述， 满足条件的点 坐标为
（3）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形的其他实际应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(3) ∵
∴设抛物线向左平移 2 个单位长度为：
令，解得：
∴D的坐标为（1，4），B(0，1)
则
设E（2，t），F(m，n)
当BF，DE为对角线时，
则DB=BE
∴=10，解得t=
根据中点坐标公式可得：
解得，当t =1-，m=3，n=4-
当t =1+，m=3，n=4+
∴F点坐标为：（3，4-）（3，4+）
当BE，DF为对角线时，DE=BD
DE2=(2-1)2+(4-t)2=t2-8t+17
∴t2-8t+17=10，解得t=1或7
根据中点坐标公式可得：
解得，当t =1，m=1，n=-2
当t =7，m=1，n=4
∴F点坐标为：（1，4）(舍去)或（1，-2）
∴F点坐标为：（1，-2）
当BD，EF为对角线时，DE=BE
∴t2-8t+17=t2-2t+5，解得t=2
根据中点坐标公式可得：
解得m=-1，n=3
∴F点坐标为：（-1，3）
故答案为：.

【分析】(1)利用待定系数法代入求解即可
（2）根据 轴且 ，得出点C 的坐标，再根据求出，求出两种情况下直线CP的解析式，再联立方程，求出点P的坐标即可.
(3)根据题意需要分三种情况讨论：当BF，DE为对角线时，当BD，EF为对角线时，当BE，DF为对角线时，每种情况要结合两点间坐标公式和中点坐标公式列出方程组即可.
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