黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学试卷
1．（2024·齐齐哈尔）的相反数是（ ）
A．5 B．－5 C． D．
2．（2024·齐齐哈尔）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（2024·齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9·
6．（2024·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m<1
C．m>1 D．m<1且m≠－1
7．（2024·齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
9．（2024·齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0A． B．
C． D．
10．（2024·齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与x轴交于(－1，0)，，其中．结合图象给出下列结论：
①ab>0；②a－b＝－2；
③当x>1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程的另一个根是；
⑤b的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．（2024·齐齐哈尔）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 ．
12．（2024·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝ ．
13．（2024·齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2024·齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
15．（2024·齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，，则实数k的值为 ．
16．（2024·齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段CP的长为 ．
17．（2024·齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，OC与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
18．（2024·齐齐哈尔）（1）计算：
（2）分解因式：
19．（2024·齐齐哈尔）解方程： .
20．（2024·齐齐哈尔）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．
(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)如下表：
组别 A B C D
成绩(x/分) 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
人数(人) m 94 n 16
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 °；
（4）若竞赛成绩80分以上(含80分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
21．（2024·齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
22．（2024·齐齐哈尔）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 米/秒，t＝ 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
23．（2024·齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 ；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度．
24．（2024·齐齐哈尔）综合与探究(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小值为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义得，的相反数是.
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可解答.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，也是中心对称图形，故 符合题意；
故答案为：D
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、4a2+2a2=6a2，A错误；
B、，B错误；
C、a6÷a2=a4，C错误；
D、(-a2)2=a4，D正确.
故答案为：D.
【分析】逐项计算进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠3=50°，
∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.
5．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体左视图是由3个小正方形构成，俯视图是由4个小正方形构成，且小正方形的边长为1，
∴该几何体左视图与俯视图的面积和是7.
故答案为：B.
【分析】根据小正方体组合体的三视图判断出左视图和俯视图有几个小正方形，即可求解.
6．【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴x+1-mx=0，
解得，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴m-1＜0且m-1≠-1，
解得m＜1且m≠0.
故答案为：A.
【分析】先解分式方程得，再根据该分式方程的解是负数，考虑以下情况：所得解是负数，且所得解不是增根，进而列出关于m的不等式，解不等式即可求解.
7．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设篮球、足球、排球、羽毛球分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种类运动项目的结果有4种，
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种类运动项目的概率为.
故答案为：C.
【分析】设篮球、足球、排球、羽毛球分别为A、B、C、D，再用列表法求出所有的等可能结果数，从而得出符合条件的结果数，最后利用概率公式进行求解即可.
8．【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买单价为8元的笔记本x本，购买单价为10元的笔记本y本，
根据题意，得8x+10y=200，
整理得，
∵x、y都是正整数，
∴或或或，
∴购买方案有4种.
故答案为：B.
【分析】设购买单价为8元的笔记本x本，购买单价为10元的笔记本y本，根据题意列出关于x、y的二元一次方程，求出正整数解即可.
9．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在等腰内部时，可知y为正方形EFGH的面积，
∴随着E、F的运动，正方形EFGH的边长在增大，可知这一部分图像是开口向上的二次函数，CD不符合题意，
当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在正方形EFGH内部时，可知y为正方形EFGH面积的一部分，
∴随着E、F的运动，这一部分的长在增大，宽在减小，可知这一部分图像是开口向下的二次函数，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先分类讨论：y为正方形EFGH的面积或y为正方形EFGH面积的一部分，再根据面积公式得y与x之间的函数关系.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a<0，
∵根据函数图象可知对称轴在y轴右边，
∴，
∴b>0，
∴ab<0， ①错误；
∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，
∴a-b+2=0，
∴a-b=-2， ②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，(x1，0)，其中2∴，即，
∵二次函数图象开口向下，
∴当x>1时，y随x的增大而减小， ③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，(x1，0)，
∴关于x的方程ax2+bx+2=0(a≠0)的两个根分别为x=-1或x=x1，
∴，
∴， ④正确；
∵a-b=-2，
∴a=b-2，
∴y=(b-2)x2+bx+2，
根据二次函数图象可知，当x=2时，y>0，当x=3时，y＜0，
∴，
解得， ⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①根据二次函数图象开口方向、对称轴位置即可判断；②把点(-1，0)代入y=ax2+bx+2，进行整理即可判断；③根据二次函数与x轴的两个交点坐标(-1，0)，(x1，0)，利用中点坐标公式、不等式的基本性质得，进而有，根据二次函数图象的增减性即可判断；④利用一元二次方程根与系数的关系即可判断；⑤观察函数图象得关于b的不等式组，解不等式组即可判断.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7416.7万=74167000=7.4167×107.
故答案为：7.4167×107.
【分析】根据科学记数法的定义即可求解.
12．【答案】2
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意，得OH平分∠MON，
∵∠MON=90°，
∴∠MOH=45°，
∵H(2a-1，a+1)，
∴2a-1=a+1，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得ON平分∠MON，从而根据角平分线的定义得∠MON=45°，进而有2a-1=a+1，解方程求出a即可.
13．【答案】x>-3且x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得x＞-3且x≠-2.
故答案为：x>-3且x≠-2.
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不为零列出关于x的不等式组，解不等式组即可求解.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为xcm，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是直角，
∴侧面展开图扇形的弧长为，
∵圆锥的底面圆半径是1，
∴圆锥的底面圆周长为，
∴，
∴x=4，
根据勾股定理得圆锥的高为.
故答案为：.
【分析】设圆锥的母线长为xcm，由于圆锥侧面展开图所得扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，接下来根据扇形的面积公式、圆的面积公式得，解方程求出x的值，最后利用勾股定理进行求解.
15．【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
根据题意得AD垂直y轴，
∵B(-1，3)，
∴D(0，3)，
∴OD=3，
∵，
∴，
∴OC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=1，
∴A(-2，3)，
∵点A在反比例函数上，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形的面积以及性质得AB=OC=1，从而求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
16．【答案】或2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当∠BCB'=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠BCB'=90°，
∴点B'在CD上，
∵折叠的性质，
∴AB'=AB=5，BP=B'P，
∴根据勾股定理得，
∴B'C=CD-DB'=5-3=2，
设CP=x，则BP=B'P=4-x，
在中，根据勾股定理得B'C2+CP2=B'P2，即22+x2=(4-x)2，
解得，即；
如图，当∠BB'C=90°时，
∴∠BB'P+∠CB'P=90°，∠B'CP+∠B'BP=90°，
∵折叠的性质，
∴B'P=BP，
∴∠BB'P=∠B'BP，
∴∠CB'P=∠B'CP，
∴B'P=CP，
∴B'P=BP=CP，
∵BC=BP+CP=4，
∴2CP=4，
∴CP=2；
当∠B'BC=90°时，
∵∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角，
∴∠B'BC≠90°，
综上所述，线段CP的长为或2.
故答案为：或2.
【分析】根据 为直角三角形，可知要分类讨论：当∠BCB'=90°时，先根据矩形的性质得点B'在CD上，再根据折叠的性质得AB'=AB=5，BP=B'P，接下来利用勾股定理求出DB'的值，从而得B'C的值，设CP=x，则BP=B'P=4-x，再利用勾股定理得关于x的方程22+x2=(4-x)2，解方程求出x的值即可；
当∠BB'C=90°时，先证∠CB'P=∠B'CP，得B'P=BP=CP，进而有2CP=BC=4，即可求解；
当∠B'BC=90°时，由∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角说明∠B'BC≠90°.
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；线段垂直平分线的判定；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1B，
∵在等腰三角形OBC中，∠OBC=120°，
∴∠COB=∠O'C'B=30°，OB=C'B，
∴A1O=A1C'，
∴A1B垂直平分OC'，
∴∠A1BO=90°，
∵B(1，0)，
∴OB=1，
∵，
∴，
∴，
同理可得（n为正整数），
∵每滚动3次出现1个花心，
∴，
∴ △OBC 滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为A675，
∴.
故答案为：.
【分析】连接A1B，先根据等腰三角形的性质求出A1B垂直平分OC'，得∠A1BO=90°，再由点B的坐标得OB=1，接下来利用特殊角的三角函数值求出A1B的值，得点A1的坐标，同理求出点A2，A3，......An的坐标，根据题意得到每滚动3次出现1个花心，从而有滚动2024次停止后，最后一个花心对应的点为A675，将n=675代入即可求解.
18．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂进行化简，最后再进行加减运算即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.
19．【答案】解：
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解成两个因式的积的形式，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
20．【答案】（1）50；40
（2）解：如图所示；
（3）72
（4）解：∵94÷47%＝200（人），
∴（人），
∴该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数 为560人.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得随机抽取的学生总人数为94÷47%=200（人），
∴m=200×25%=50（人），
∴n=200-50-94-16=40（人），
故答案为：50，40；
（3），
故答案为：72.
【分析】（1）先根据B组人数及所占百分比求出随机抽取的学生总人数，再用总人数乘A组的百分比求出m的值，最后用总人数减去A、B、D组的人数得C组的人数；
（2）由（1）求出的m、n的值补全条形统计图即可；
（3）用360°乘C组人数所占的比率即可求解；
（4）用总人数2000乘样本中竞赛成绩80分以上（含80分）的人数所占的比率即可求解.
21．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB，
∴∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵OB，OC是⊙O的半径 ，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠EBC＝∠OCB，
∴，
∴∠FCO＝∠BEC＝90° ，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵ ，
∴∠CFB＝45°，
由(1)得∠FCO＝90° ，
∴∠FOC＝90°－∠CFB＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO＝90°，
∴∠OCD=45°，
∴∠FOC=∠OCD，
∴CD=DO，
∵AB＝8 ，
∴，
在Rt△COD中，，
∴2CD2=42，
∴CD2=8，
∴，
又∵OC=8，∠AOC=45°，
∴，
∴.
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得∠CDB＝90°，然后根据折叠的性质得∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OCB＝∠OBC，从而有∠EBC＝∠OCB，进而证出OC∥BE，根据“两直线平行，同位角相等”得∠FCO＝∠BEC＝90° ，最后根据切线的判定定理得证；
（2）根据特殊角的三角函数值得∠CFB＝45°，从而得∠FOC=45°，再根据垂直的定义得∠CDO=90°，从而得∠OCD=45°，进而有CD=DO.接下来先求出半径OC，利用勾股定理求出CD2，然后利用三角形面积公式得的值，再利用扇形面积公式求出S扇形AOC的值，即可求解.
22．【答案】（1）8；20
（2）解：由图象可知，N(19，96)，
∵甲无人机的速度为8米/秒，
∴甲无人机匀速上升从0米到96米所用时间为96÷8＝12(秒)，
∴甲无人机单独表演所用时间为19-12＝7(秒)，
∴6＋7＝13(秒)，
∴M(13，48)，
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将M(13，48)，N(19，96)代入得：，
解得：，
∴线段MN所在直线的函数解析式为：y＝8x-56；
（3）解：两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米.
【知识点】解一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得甲无人机的飞行速度为a=48÷6=8（米/秒），
t=39-19=20（秒），
故答案为：8，20；
（3）设点A（0，20），B（6，48），
∴同理可得线段OB所在直线的函数解析式为yOB=8x，yAN=4x+20，yBM=48，
∵线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x-56，
∴当0≤t≤6时，|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解得x=2或x=8（舍去），
当6当13∴两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米.
【分析】（1）观察函数图象进行计算即可求解；
（2）先求出甲无人机单独表演的时间，从而得点M的坐标，最后用待定系数法求线段MN所在直线的函数解析式即可；
（3）设点A（0，20），B（6，48），然后利用待定系数法先求线段OB、AN、BM所在直线的函数解析式，再通过观察函数图象可知要分三种情况讨论：当0≤t≤6时，有|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解方程求出x的值；当623．【答案】（1）AB＝DE
（2）解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB，
在和中，
，
∴，
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝2，AC＝6 ，
∴DE＝2，BE＝6，
∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8，
∵∠DEB＋∠A＝180°，
∴ ，
∴△DEF∽△CAF，
∴ ，
∴，
∴EF＝4 ，
∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10，
∴；
（3）
（4）解：线段AP的长度为或.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念
【解析】【解答】解：（1）∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠E=90°，
∴∠A=∠E，
在和中，
，
∴，
∴AB=DE，
故答案为：AB=DE；
（3）如图，过点N作NM⊥AE于M，
∴∠NME=∠NMB=90°，
∵∠A=90°，
∴∠NME=∠NMB=∠A，
∴AC∥NM，
∴，
∴，即，
∴，
由（2）有DE∥AC，BE=6，DE=2，∠ACB=∠DBE，
∴MN∥DE，
∴，
∴，即，
解得，
又∵∠NMB=∠A，∠ACB=∠DBE，
∴，
∴；
故答案为：
（4）如图，当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，
∴∠PQC=∠PQB=90°，
∵∠CAB=90°，AC=6，AB=2，
∴，，
∴PQ=3BQ，
设BQ=x，则PQ=3x，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
如图，当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，
∴∠BQ'P=90°，
∵∠ABC=∠Q'BP，
∴，
∴Q'P=3BQ'，
设BQ'=y，则Q'P=3y，
同理可得，，
∴BC+BQ'=CQ'，即，
解得，
∴，
∴，
综上所述，线段AP的长度为或.
【分析】（1）利用“一线三垂直”证，即可求解；
（2）利用“一线三垂直”证，得DE＝AB，BE＝AC，从而求出AE的长，再根据“同旁内角互补，两直线平行”证得DE∥AC，进而有△DEF∽△CAF，根据相似三角形的性质得，从而求出EF的长，接下来得BF的长，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点N作NM⊥AE于M，易证AC∥NM，得，再根据相似三角形的性质得，从而有，接下来再证MN∥DE，得，根据相似三角形的性质得，从而求出MN的长，然后利用“一线三垂直”相似模型易证，再次根据相似三角形的性质得，即可求解；
（4）根据题意，可知需分情况讨论：当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，利用三角函数的定义得，从而有PQ=3BQ，设BQ=x，则PQ=3x，再根据勾股定理求出PB的长，接下来利用三角函数的定义得，从而求出CQ的长，然后根据线段的和差关系列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解；当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，与第一种情况的解法类似，同理即可求解.
24．【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当y＝0时，x＝4 ，当x＝0时，y＝－2
∴A(4，0)，C(0，-2)，
又∵B(－1，0)，
∴设该抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)，
把C(0，－2)代入得：－2＝a(0＋1)(0－4)，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）或或D3(-4，0)；
（3）解：∵轴 ，
∴∠PEA＝∠OAC，
∵轴 ，
∴∠PFE＝∠OCA，
又∵EF＝AC，
∴△AOC≌△EPF(ASA)，
∴PF＝OC，
∵C(0，-2)，
∴OC=PF=2，
∵点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，
设点，则点，
∴，
∴，
解得m＝2，
当m＝2时，，
∴P(2，-3)；
（4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）设D(x，0)，
∵ △ACD是以AC为腰的等腰三角形，
∴AC=AD或CA=CD，
当AC=AD时，AC2=AD2，
∵A(4，0)，C(0，-2)，
∴(0-4)2+(-2-0)2=(x-4)2+(0-0)2，
解得，
∴或，
当CA=CD时，CA2=CD2，
∴(0-4)2+(-2-0)2=(0-x)2+(-2-0)2，
解得x1=-4，x2=4（舍去），
∴D3(-4，0)，
综上所述，点D的坐标为：或或D3(-4，0)；
（4）∵抛物线过点A(4，0)，B(-1，0)
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
如图，作点A关于y轴的对称点A'，将A'向右平移个单位长度至A"，连接A"P交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于N，连接A'N，
∴A'(-4，0)，，NA=A'N，
∵A'A"=MN，A'A"∥MN，
∴四边形A'NMA"是平行四边形，
∴A'N=A"M，
∴A'N=A"M=NA，
∴NA+MP=A"M+MP=A"P，此时NA+MP最小，
∵，P(2，-3)，
∴NA+MP的最小值为，
故答案为：.
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）根据题意先分类讨论：当AC=AD时，有AC2=AD2，接下来利用两点距离公式得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得点D的坐标；当CA=CD时，CA2=CD2，同理求出点D的坐标即可；
（3）根据平行线的性质得∠PEA＝∠OAC，∠PFE＝∠OCA，从而证得△AOC≌△EPF(ASA)，有PF=OC=2，接下来设点，则点，从而有，进而得关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解；
（4）先求出抛物线对称轴为直线，得，可知求NA+MP的最小值是典型的“造桥选址”问题，利用平移、轴对称的原理进行解题：作点A关于y轴的对称点A'，将A'向右平移个单位长度至A"，连接A"P交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于N，连接A'N，得点A'、A''的坐标，NA=A'N，接下来根据平行四边形的判定定理证四边形A'NMA"是平行四边形，从而有A'N=A"M=NA，进而得NA+MP=A"M+MP=A"P，此时NA+MP最小，最后利用两点距离公式进行求解即可.
1 / 1黑龙江省齐齐哈尔市2024年中考数学试卷
1．（2024·齐齐哈尔）的相反数是（ ）
A．5 B．－5 C． D．
【答案】C
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：根据相反数的定义得，的相反数是.
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可解答.
2．（2024·齐齐哈尔）下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，不是中心对称图形，故 不符合题意；
选项 是轴对称图形，也是中心对称图形，故 符合题意；
故答案为：D
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
3．（2024·齐齐哈尔）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、4a2+2a2=6a2，A错误；
B、，B错误；
C、a6÷a2=a4，C错误；
D、(-a2)2=a4，D正确.
故答案为：D.
【分析】逐项计算进行判断即可.
4．（2024·齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠3=50°，
∴∠4=∠2=180°-90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质得∠1=∠3，∠4=∠2，再由三角形内角和定理即可求解.
5．（2024·齐齐哈尔）如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9·
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体左视图是由3个小正方形构成，俯视图是由4个小正方形构成，且小正方形的边长为1，
∴该几何体左视图与俯视图的面积和是7.
故答案为：B.
【分析】根据小正方体组合体的三视图判断出左视图和俯视图有几个小正方形，即可求解.
6．（2024·齐齐哈尔）如果关于x的分式方程的解是负数，那么实数m的取值范围是（ ）
A．m<1且m≠0 B．m<1
C．m>1 D．m<1且m≠－1
【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵，
∴x+1-mx=0，
解得，
∵关于x的分式方程的解是负数，
∴m-1＜0且m-1≠-1，
解得m＜1且m≠0.
故答案为：A.
【分析】先解分式方程得，再根据该分式方程的解是负数，考虑以下情况：所得解是负数，且所得解不是增根，进而列出关于m的不等式，解不等式即可求解.
7．（2024·齐齐哈尔）六月份，在“阳光大课间”活动中，某校设计了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目，则甲、乙两名学生在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设篮球、足球、排球、羽毛球分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名学生在一个大课间参加同种类运动项目的结果有4种，
∴甲、乙两名学生在一个大课间参加同种类运动项目的概率为.
故答案为：C.
【分析】设篮球、足球、排球、羽毛球分别为A、B、C、D，再用列表法求出所有的等可能结果数，从而得出符合条件的结果数，最后利用概率公式进行求解即可.
8．（2024·齐齐哈尔）校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买单价为8元的笔记本x本，购买单价为10元的笔记本y本，
根据题意，得8x+10y=200，
整理得，
∵x、y都是正整数，
∴或或或，
∴购买方案有4种.
故答案为：B.
【分析】设购买单价为8元的笔记本x本，购买单价为10元的笔记本y本，根据题意列出关于x、y的二元一次方程，求出正整数解即可.
9．（2024·齐齐哈尔）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在等腰内部时，可知y为正方形EFGH的面积，
∴随着E、F的运动，正方形EFGH的边长在增大，可知这一部分图像是开口向上的二次函数，CD不符合题意，
当正方形EFGH和等腰重合部分的面积全部在正方形EFGH内部时，可知y为正方形EFGH面积的一部分，
∴随着E、F的运动，这一部分的长在增大，宽在减小，可知这一部分图像是开口向下的二次函数，B不符合题意.
故答案为：A.
【分析】先分类讨论：y为正方形EFGH的面积或y为正方形EFGH面积的一部分，再根据面积公式得y与x之间的函数关系.
10．（2024·齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与x轴交于(－1，0)，，其中．结合图象给出下列结论：
①ab>0；②a－b＝－2；
③当x>1时，y随x的增大而减小；
④关于x的一元二次方程的另一个根是；
⑤b的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a<0，
∵根据函数图象可知对称轴在y轴右边，
∴，
∴b>0，
∴ab<0， ①错误；
∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，
∴a-b+2=0，
∴a-b=-2， ②正确；
∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，(x1，0)，其中2∴，即，
∵二次函数图象开口向下，
∴当x>1时，y随x的增大而减小， ③正确；
∵二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于(-1，0)，(x1，0)，
∴关于x的方程ax2+bx+2=0(a≠0)的两个根分别为x=-1或x=x1，
∴，
∴， ④正确；
∵a-b=-2，
∴a=b-2，
∴y=(b-2)x2+bx+2，
根据二次函数图象可知，当x=2时，y>0，当x=3时，y＜0，
∴，
解得， ⑤正确.
故答案为：C.
【分析】①根据二次函数图象开口方向、对称轴位置即可判断；②把点(-1，0)代入y=ax2+bx+2，进行整理即可判断；③根据二次函数与x轴的两个交点坐标(-1，0)，(x1，0)，利用中点坐标公式、不等式的基本性质得，进而有，根据二次函数图象的增减性即可判断；④利用一元二次方程根与系数的关系即可判断；⑤观察函数图象得关于b的不等式组，解不等式组即可判断.
11．（2024·齐齐哈尔）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共青团员7416.7万名．将7416.7万用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7416.7万=74167000=7.4167×107.
故答案为：7.4167×107.
【分析】根据科学记数法的定义即可求解.
12．（2024·齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线OH，若H(2a－1，a＋1)，则a＝ ．
【答案】2
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据题意，得OH平分∠MON，
∵∠MON=90°，
∴∠MOH=45°，
∵H(2a-1，a+1)，
∴2a-1=a+1，
∴a=2.
故答案为：2.
【分析】根据题意得ON平分∠MON，从而根据角平分线的定义得∠MON=45°，进而有2a-1=a+1，解方程求出a即可.
13．（2024·齐齐哈尔）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x>-3且x≠-2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得x＞-3且x≠-2.
故答案为：x>-3且x≠-2.
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不为零列出关于x的不等式组，解不等式组即可求解.
14．（2024·齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的母线长为xcm，
∵圆锥的侧面展开图的圆心角是直角，
∴侧面展开图扇形的弧长为，
∵圆锥的底面圆半径是1，
∴圆锥的底面圆周长为，
∴，
∴x=4，
根据勾股定理得圆锥的高为.
故答案为：.
【分析】设圆锥的母线长为xcm，由于圆锥侧面展开图所得扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，接下来根据扇形的面积公式、圆的面积公式得，解方程求出x的值，最后利用勾股定理进行求解.
15．（2024·齐齐哈尔）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，，则实数k的值为 ．
【答案】-6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
根据题意得AD垂直y轴，
∵B(-1，3)，
∴D(0，3)，
∴OD=3，
∵，
∴，
∴OC=1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=1，
∴A(-2，3)，
∵点A在反比例函数上，
∴k=-6.
故答案为：-6.
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形的面积以及性质得AB=OC=1，从而求出点A的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
16．（2024·齐齐哈尔）已知矩形纸片ABCD，AB＝5，BC＝4，点P在边BC上，连接AP，将△ABP沿AP所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段CP的长为 ．
【答案】或2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，当∠BCB'=90°时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=5，BC=AD=4，∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠BCB'=90°，
∴点B'在CD上，
∵折叠的性质，
∴AB'=AB=5，BP=B'P，
∴根据勾股定理得，
∴B'C=CD-DB'=5-3=2，
设CP=x，则BP=B'P=4-x，
在中，根据勾股定理得B'C2+CP2=B'P2，即22+x2=(4-x)2，
解得，即；
如图，当∠BB'C=90°时，
∴∠BB'P+∠CB'P=90°，∠B'CP+∠B'BP=90°，
∵折叠的性质，
∴B'P=BP，
∴∠BB'P=∠B'BP，
∴∠CB'P=∠B'CP，
∴B'P=CP，
∴B'P=BP=CP，
∵BC=BP+CP=4，
∴2CP=4，
∴CP=2；
当∠B'BC=90°时，
∵∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角，
∴∠B'BC≠90°，
综上所述，线段CP的长为或2.
故答案为：或2.
【分析】根据 为直角三角形，可知要分类讨论：当∠BCB'=90°时，先根据矩形的性质得点B'在CD上，再根据折叠的性质得AB'=AB=5，BP=B'P，接下来利用勾股定理求出DB'的值，从而得B'C的值，设CP=x，则BP=B'P=4-x，再利用勾股定理得关于x的方程22+x2=(4-x)2，解方程求出x的值即可；
当∠BB'C=90°时，先证∠CB'P=∠B'CP，得B'P=BP=CP，进而有2CP=BC=4，即可求解；
当∠B'BC=90°时，由∠B'BC是等腰三角形B'BP的底角说明∠B'BC≠90°.
17．（2024·齐齐哈尔）如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O的坐标为(0，0)，点B的坐标为(1，0)，点C在第一象限，∠OBC＝120°．将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O的对应点为，点C的对应点为，OC与的交点为，称点为第一个“花朵”的花心，点为第二个“花朵”的花心；……；按此规律，△OBC滚动2024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；求特殊角的三角函数值；线段垂直平分线的判定；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1B，
∵在等腰三角形OBC中，∠OBC=120°，
∴∠COB=∠O'C'B=30°，OB=C'B，
∴A1O=A1C'，
∴A1B垂直平分OC'，
∴∠A1BO=90°，
∵B(1，0)，
∴OB=1，
∵，
∴，
∴，
同理可得（n为正整数），
∵每滚动3次出现1个花心，
∴，
∴ △OBC 滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心对应的点为A675，
∴.
故答案为：.
【分析】连接A1B，先根据等腰三角形的性质求出A1B垂直平分OC'，得∠A1BO=90°，再由点B的坐标得OB=1，接下来利用特殊角的三角函数值求出A1B的值，得点A1的坐标，同理求出点A2，A3，......An的坐标，根据题意得到每滚动3次出现1个花心，从而有滚动2024次停止后，最后一个花心对应的点为A675，将n=675代入即可求解.
18．（2024·齐齐哈尔）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式.
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂进行化简，最后再进行加减运算即可；
（2）先提公因式，再用平方差公式进行因式分解即可.
19．（2024·齐齐哈尔）解方程： .
【答案】解：
，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据公式“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”可将一元二次方程的左边分解成两个因式的积的形式，于是可得两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解.
20．（2024·齐齐哈尔）为提高学生的环保意识，某校举行了“爱护环境，人人有责”环保知识竞赛，对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理．
(满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分)如下表：
组别 A B C D
成绩(x/分) 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
人数(人) m 94 n 16
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）请补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是 °；
（4）若竞赛成绩80分以上(含80分)为优秀，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）50；40
（2）解：如图所示；
（3）72
（4）解：∵94÷47%＝200（人），
∴（人），
∴该校参加竞赛的2000名学生中成绩为优秀的人数 为560人.
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得随机抽取的学生总人数为94÷47%=200（人），
∴m=200×25%=50（人），
∴n=200-50-94-16=40（人），
故答案为：50，40；
（3），
故答案为：72.
【分析】（1）先根据B组人数及所占百分比求出随机抽取的学生总人数，再用总人数乘A组的百分比求出m的值，最后用总人数减去A、B、D组的人数得C组的人数；
（2）由（1）求出的m、n的值补全条形统计图即可；
（3）用360°乘C组人数所占的比率即可求解；
（4）用总人数2000乘样本中竞赛成绩80分以上（含80分）的人数所占的比率即可求解.
21．（2024·齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点F．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若，AB＝8，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵△CDB沿直线BC翻折得到△CEB，
∴∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，
∵OB，OC是⊙O的半径 ，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠EBC＝∠OCB，
∴，
∴∠FCO＝∠BEC＝90° ，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：∵ ，
∴∠CFB＝45°，
由(1)得∠FCO＝90° ，
∴∠FOC＝90°－∠CFB＝45°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDO＝90°，
∴∠OCD=45°，
∴∠FOC=∠OCD，
∴CD=DO，
∵AB＝8 ，
∴，
在Rt△COD中，，
∴2CD2=42，
∴CD2=8，
∴，
又∵OC=8，∠AOC=45°，
∴，
∴.
【知识点】切线的判定；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）连接OC，根据垂直的定义得∠CDB＝90°，然后根据折叠的性质得∠DBC＝∠EBC，∠BEC＝∠CDB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OCB＝∠OBC，从而有∠EBC＝∠OCB，进而证出OC∥BE，根据“两直线平行，同位角相等”得∠FCO＝∠BEC＝90° ，最后根据切线的判定定理得证；
（2）根据特殊角的三角函数值得∠CFB＝45°，从而得∠FOC=45°，再根据垂直的定义得∠CDO=90°，从而得∠OCD=45°，进而有CD=DO.接下来先求出半径OC，利用勾股定理求出CD2，然后利用三角形面积公式得的值，再利用扇形面积公式求出S扇形AOC的值，即可求解.
22．（2024·齐齐哈尔）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(米)与无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题：
（1）a＝ 米/秒，t＝ 秒；
（2）求线段MN所在直线的函数解析式；
（3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米 (直接写出答案即可)
【答案】（1）8；20
（2）解：由图象可知，N(19，96)，
∵甲无人机的速度为8米/秒，
∴甲无人机匀速上升从0米到96米所用时间为96÷8＝12(秒)，
∴甲无人机单独表演所用时间为19-12＝7(秒)，
∴6＋7＝13(秒)，
∴M(13，48)，
设线段MN所在直线的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将M(13，48)，N(19，96)代入得：，
解得：，
∴线段MN所在直线的函数解析式为：y＝8x-56；
（3）解：两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米.
【知识点】解一元一次方程；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得甲无人机的飞行速度为a=48÷6=8（米/秒），
t=39-19=20（秒），
故答案为：8，20；
（3）设点A（0，20），B（6，48），
∴同理可得线段OB所在直线的函数解析式为yOB=8x，yAN=4x+20，yBM=48，
∵线段MN所在直线的函数解析式为y＝8x-56，
∴当0≤t≤6时，|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解得x=2或x=8（舍去），
当6当13∴两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米.
【分析】（1）观察函数图象进行计算即可求解；
（2）先求出甲无人机单独表演的时间，从而得点M的坐标，最后用待定系数法求线段MN所在直线的函数解析式即可；
（3）设点A（0，20），B（6，48），然后利用待定系数法先求线段OB、AN、BM所在直线的函数解析式，再通过观察函数图象可知要分三种情况讨论：当0≤t≤6时，有|yOB-yAN|=|8x-4x-20|=12，解方程求出x的值；当623．（2024·齐齐哈尔）综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E．
（1）【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 ；
（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积；
（3）【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N，则 ；
（4）【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找点P，使，请直接写出线段AP的长度．
【答案】（1）AB＝DE
（2）解：∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠A=∠DEB，
在和中，
，
∴，
∴DE＝AB，BE＝AC，
∵AB＝2，AC＝6 ，
∴DE＝2，BE＝6，
∴AE＝AB＋BE＝2＋6＝8，
∵∠DEB＋∠A＝180°，
∴ ，
∴△DEF∽△CAF，
∴ ，
∴，
∴EF＝4 ，
∴BF＝BE＋EF＝6＋4＝10，
∴；
（3）
（4）解：线段AP的长度为或.
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；正切的概念
【解析】【解答】解：（1）∵将线段BC绕点B顺时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠CBD=90°，
∴∠CBA+∠DBE=90°，
∵∠A=90°，
∴∠CBA+∠ACB=90°，
∴∠DBE=∠ACB，
∵DE⊥AB，
∴∠E=90°，
∴∠A=∠E，
在和中，
，
∴，
∴AB=DE，
故答案为：AB=DE；
（3）如图，过点N作NM⊥AE于M，
∴∠NME=∠NMB=90°，
∵∠A=90°，
∴∠NME=∠NMB=∠A，
∴AC∥NM，
∴，
∴，即，
∴，
由（2）有DE∥AC，BE=6，DE=2，∠ACB=∠DBE，
∴MN∥DE，
∴，
∴，即，
解得，
又∵∠NMB=∠A，∠ACB=∠DBE，
∴，
∴；
故答案为：
（4）如图，当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，
∴∠PQC=∠PQB=90°，
∵∠CAB=90°，AC=6，AB=2，
∴，，
∴PQ=3BQ，
设BQ=x，则PQ=3x，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
如图，当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，
∴∠BQ'P=90°，
∵∠ABC=∠Q'BP，
∴，
∴Q'P=3BQ'，
设BQ'=y，则Q'P=3y，
同理可得，，
∴BC+BQ'=CQ'，即，
解得，
∴，
∴，
综上所述，线段AP的长度为或.
【分析】（1）利用“一线三垂直”证，即可求解；
（2）利用“一线三垂直”证，得DE＝AB，BE＝AC，从而求出AE的长，再根据“同旁内角互补，两直线平行”证得DE∥AC，进而有△DEF∽△CAF，根据相似三角形的性质得，从而求出EF的长，接下来得BF的长，最后根据三角形面积公式求解即可；
（3）过点N作NM⊥AE于M，易证AC∥NM，得，再根据相似三角形的性质得，从而有，接下来再证MN∥DE，得，根据相似三角形的性质得，从而求出MN的长，然后利用“一线三垂直”相似模型易证，再次根据相似三角形的性质得，即可求解；
（4）根据题意，可知需分情况讨论：当点P在点A左侧时，过点P作PQ⊥CB于Q，利用三角函数的定义得，从而有PQ=3BQ，设BQ=x，则PQ=3x，再根据勾股定理求出PB的长，接下来利用三角函数的定义得，从而求出CQ的长，然后根据线段的和差关系列出关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解；当点P在B点左侧时，过点P作PQ'⊥CB延长线于Q'，与第一种情况的解法类似，同理即可求解.
24．（2024·齐齐哈尔）综合与探究(本题满分14分)如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点B(－1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线AC于点E，点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
（3）当EF＝AC时，求点P的坐标；
（4）在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接NA，MP，则NA＋MP的最小值为 ．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴当y＝0时，x＝4 ，当x＝0时，y＝－2
∴A(4，0)，C(0，-2)，
又∵B(－1，0)，
∴设该抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)(a≠0)，
把C(0，－2)代入得：－2＝a(0＋1)(0－4)，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）或或D3(-4，0)；
（3）解：∵轴 ，
∴∠PEA＝∠OAC，
∵轴 ，
∴∠PFE＝∠OCA，
又∵EF＝AC，
∴△AOC≌△EPF(ASA)，
∴PF＝OC，
∵C(0，-2)，
∴OC=PF=2，
∵点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，
设点，则点，
∴，
∴，
解得m＝2，
当m＝2时，，
∴P(2，-3)；
（4）
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；坐标系中的两点距离公式；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）设D(x，0)，
∵ △ACD是以AC为腰的等腰三角形，
∴AC=AD或CA=CD，
当AC=AD时，AC2=AD2，
∵A(4，0)，C(0，-2)，
∴(0-4)2+(-2-0)2=(x-4)2+(0-0)2，
解得，
∴或，
当CA=CD时，CA2=CD2，
∴(0-4)2+(-2-0)2=(0-x)2+(-2-0)2，
解得x1=-4，x2=4（舍去），
∴D3(-4，0)，
综上所述，点D的坐标为：或或D3(-4，0)；
（4）∵抛物线过点A(4，0)，B(-1，0)
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
如图，作点A关于y轴的对称点A'，将A'向右平移个单位长度至A"，连接A"P交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于N，连接A'N，
∴A'(-4，0)，，NA=A'N，
∵A'A"=MN，A'A"∥MN，
∴四边形A'NMA"是平行四边形，
∴A'N=A"M，
∴A'N=A"M=NA，
∴NA+MP=A"M+MP=A"P，此时NA+MP最小，
∵，P(2，-3)，
∴NA+MP的最小值为，
故答案为：.
【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（2）根据题意先分类讨论：当AC=AD时，有AC2=AD2，接下来利用两点距离公式得关于x的方程，解方程求出x的值，即可得点D的坐标；当CA=CD时，CA2=CD2，同理求出点D的坐标即可；
（3）根据平行线的性质得∠PEA＝∠OAC，∠PFE＝∠OCA，从而证得△AOC≌△EPF(ASA)，有PF=OC=2，接下来设点，则点，从而有，进而得关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解；
（4）先求出抛物线对称轴为直线，得，可知求NA+MP的最小值是典型的“造桥选址”问题，利用平移、轴对称的原理进行解题：作点A关于y轴的对称点A'，将A'向右平移个单位长度至A"，连接A"P交抛物线对称轴于点M，过点M作MN⊥y轴于N，连接A'N，得点A'、A''的坐标，NA=A'N，接下来根据平行四边形的判定定理证四边形A'NMA"是平行四边形，从而有A'N=A"M=NA，进而得NA+MP=A"M+MP=A"P，此时NA+MP最小，最后利用两点距离公式进行求解即可.
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