2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测数学试题（含解析）

2023-2024学年安徽省蚌埠市高一下学期7月期末学业水平监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知点在角终边上，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为的等腰直角三角形，轴经过斜边的中点，则中边上的高为( )
A. B. C. D.
5.要得到函数的图象，可将函数的图象( )
A. 先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍
B. 先向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
C. 先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍
D. 先向右平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍
6.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，则
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，其中为虚数单位，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.已知正方体，，分别为，的中点，下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 直线与直线所成角的大小为
D. 直线与平面所成角的大小为
11.已知向量，满足，则以下说法正确的是( )
A. 若，，则或
B. 若，则
C. 若，，则向量在向量上的投影数量为
D. 向量在向量上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则它的侧面积是 ．
13.已知，是方程的两根，则 ．
14.在中，，，点满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，
若为纯虚数，求
若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在 中，，分别是，的中点，，为与的交点．
记向量，，试以向量，为基底表示，
若，求，的值
求证：，，三点共线．
17.本小题分
如图，直三棱柱中，与交于点，为线段的中点，，．
求证：平面
求证：平面平面
求三棱锥的体积．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间
关于的方程在区间有两个不相等的实数根，求实数的取值范围
不等式对恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知球半径为，，，，是球面上的点，平面平面，四边形为平行四边形．
证明：
若，求点到平面的距离
求与平面所成角的余弦值的最小值．
答案解析
1.
【解析】解：
2.
【解析】解：，
故选：．
3.
【解析】解：角的终边经过点
，
，
，
解得，
，
．
故选A．
4.
【解析】解：设与轴交于，
根据题意可得 的原图如图所示，其中为的中点，

由于 为 的中点， ，
且， ，
过作轴于，
则易知∽，，
则，
故中边上的高为
5.
【解析】解：函数图象上的所有点先向左平移个单位长度，得到函数，
再将横坐标伸长到原来的倍，得到函数
故选：
6.
【解析】解：对于、若，，，则或与相交，故A错误；
对于、若，，则，故B错误；
对于、若，，，则或与相交，故C错误；
对于、若，，则，故D正确
7.
【解析】解：由，得
又，
则，
则，
则，
故
8.
【解析】解：因为，
所以，
即，
又，为的内角，
则，即，
又，
则，
显然，
则，则，
则，则或舍，
故C
9.
【解析】解：对于、由共轭复数的定义可知正确；
对于、，故B正确；
对于、，故C错误；
对于、，，故D错误
10.
【解析】解：对于如图：
若，则与可确定一个平面．
因为、、都属于平面，且、、不共线，所以平面与平面重合．
因为平面，而平面与平面重合，所以平面，这与是中点相矛盾，
因此假设不成立，所以，故A错误；
对于如图：
连接、．
因为是正方体，是中点，所以、、共线．
在正方体中，因为平面，平面，
所以，而，，、平面，
因此平面，而平面，所以．
因为是的中点，所以，因此由得，故B正确；
对于如图：
连接．
在正方体中，因为，而由选项C知：，
因此，所以是直线与直线所成角．
在正方体中，因为，
所以直线与直线所成角的大小为，故C正确；
对于如图：
连接，在平面内，过作，交于，连接．
在正方体中，因为平面，平面，
所以，而，、平面，因此平面，
所以是直线与平面所成角．
设正方体的棱长为，则，而由选项B知：．
在中，因为，，所以，
因此直线与平面所成角的大小为，故D正确．
11.
【解析】解：由，得，
对于、若，，则，
则，解得或，故A正确；
对于、若，则，故，故B正确；
对于、若，，则，
则向量在向量上的投影数量为，故C错误；
对于、向量在向量上的投影向量为，故D正确．
12.
【解析】解：圆锥的轴截面是边长为的正三角形，
则底面圆的半径为，母线长为，圆锥的侧面展开图为扇形，扇形半径为，弧长为，
由扇形的面积公式可得，侧面积．
故答案为：．
13.
【解析】解：由题意可得，，
．
14.
【解析】如图把逆时针旋转，到的位置，
因为在中，，，
所以，，
又，
所以，
又，，
所以是等边三角形，
又，
所以，，，四点共线，
在中，，，
所以，
又，
所以．
15.解：因为为纯虚数，所以即．
，则．
由题意，即．
【解析】由实部等于且虚部不为联立不等式组求解得出，再求模即可；
由实部大于且虚部大于联立不等式组得答案．
16.解：解：，
．
，
又，，解得
，
设，，
则，
又，
，解得
，，
，即，，三点共线．
【解析】由向量的运算可得结果；
由向量的运算可得结果；
由向量的运算得出和，即可得证．
17.解：连接，
因为直三棱柱，，，
又，是正方形且为线段的中点，
又为线段中点，，
又平面，平面，
平面
，，，、平面，
平面，
又平面，
平面平面
为线段中点，
，
即三棱锥的体积为．
【解析】先证明，由线面平行的判定即可得证；
先证明平面，由面面垂直的判定即可得证；
由，计算即可．
18.解：，
令，解得，
令，解得，
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
由知函数在区间单调递增，在区间单调递减，
又，，，
结合图象可知的取值范围是；
即不等式对恒成立，
有，解得，或，
故的取值范围是或，．
【解析】先化简函数，再由正弦函数的性质可求出函数的单调区间；
先研究时函数的单调性，可得实数的取值范围
由题意得，解出即可．
19.解：取中点，连接，，
因为，
所以平行四边形为菱形，，，
故，且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
故BE，
又因为，
所以；
因为，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由勾股定理得，
所以在中，易知，，
记外接圆的半径为，
故，即，
所以点到平面距离；
作于，易证平面，，
故为与平面所成的角，
设，易知，，
所以，
故，
当且仅当时，等号成立，
，
故BD与平面所成角的余弦值的最小值为．
【解析】取中点，连接，，利用面面垂直的性质证出平面，得出，求出的值，根据，即可证出结果；
利用正弦定理求出外接圆的半径为，利用点到平面距离，即可求出结果；
作于，易证平面，，得出为与平面所成的角，设，表示出，利用基本不等式求出，即可求出结果．
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