2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测数学试题（含答案）

2023-2024学年山东省青岛市胶州市高一下学期期末学业水平检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部为
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为
A. B. C. D.
3.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，能使“”成立的一组条件是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.如图，圆锥的母线长为，底面半径为，一只蚂蚁从点处沿着该圆锥侧面爬行一周后回到点处，则蚂蚁爬行的最短路线长为
A. B. C. D.
6.正四棱台的上、下底面边长分别是和，高是，则它的侧面积为
A. B. C. D.
7.若为斜三角形，，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知平面，平面，，与平面所成的角为，，，则点与点之间的距离为
A. B. C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体中，点，分别为，的中点，则
A. 与为异面直线
B. 平面
C. 过点，，的平面截正方体的截面为三角形
D. 平面
10.已知向量在向量上的投影向量为，向量，则向量可以为
A. B. C. D.
11.已知四面体的所有棱长都等于，点在侧面内运动包含边界，且与平面所成角的正切值为，点是棱的中点，则
A. 该四面体的高为
B. 该四面体的体积为
C. 点的运动轨迹长度为
D. 过的平面截该四面体内最大球的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.图为某种礼物降落伞的示意图，其中有根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为已知礼物重量为，每根绳子的拉力大小相同．则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为__________重力加速度取
13.已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为__________．
14.在四面体中，面与面所成的二面角为，顶点在面上的射影是，的重心是，若，，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，圆台上下底面半径分别为，，，为其两条母线，且母线长为．
证明：四边形为等腰梯形；
若在圆台内部挖去一个以为顶点，圆为底面的圆锥，求剩余部分的体积．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，平面底面，，分别是，的中点，是与的交点．
证明：平面 平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且 ．
求；
若的角平分线交于点，，点在线段上，，求的面积．
18.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，以为轴将梯形旋转后得到几何体，如图，其中，分别为上下底面直径，点，分别在圆弧，上，直线平面．
证明：平面平面；
若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
若平面与平面夹角的余弦值，求．
19.本小题分
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面，截该圆柱所得的截面为椭圆面．得到的几何体称之为“斜截圆柱”．是底面圆的直径，，椭圆面过点且垂直于平面，且与底面所成二面角为，椭圆上的点，，，，在底面上的投影分别为，且均在直径同一侧．
当时，求的长度；
当时，若下图中，点，，，，将半圆平均分成等分，求；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为圆台是由平行于底面的平面截圆锥所得，故母线，延长后交于一点，所以，，，四点共面
又面圆圆面，平面分别交圆，圆面于，，所以
又，所以四边形为等腰梯形
由题意知，圆台的高为
圆台的体积为，
圆锥的体积为
则剩余部分的体积为
16.解：证明：连接，因为，分别是，的中点，
所以且，又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为是与的交点，所以是的中点，又是的中点，
所以，因为平面，平面，所以平面，
又，，平面，所以平面平面，
因为，，所以是等边三角形，
取中点为，连接，则，
又因为平面底面且交线为，所以平面，
以为坐标原点，过点且垂直于的直线为轴，以所在的直线为轴，
以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，，
设面的法向量为，设面的法向量为，
，
不妨令，则，，所以，
同理可得
不妨令，则，，所以，
所以，，
综上，平面与平面夹角的余弦值是．
17.解：因为，
由正弦定理可得，即，
所以，
又因为，
所以；
由可知，，又因为外接圆的半径为，由正弦定理可知：，
可得，即．．
由余弦定理可知，，即
由可知，则，
又因为，则，
综上，．
18.解：证明：设平面交上底面于，在圆弧上，
因为上下底面平行，所以，
又因为直线平面，平面，平面平面，
所以，
因为，，，、平面，
所以平面，
因此平面，平面，所以平面平面；
由知：平面，因此，
所以，所以，
平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，
又因为，所以到平面的距离等于到平面的距离，
设到平面的距离为，
所以，
解得；
过点，做直线底面，因为，所以，以点为坐标原点，
分别以，，为、、轴，建立空间直角坐标系
设，，，，
设平面的法向量，
因为
所以，即法向量，
设平面的法向量，
因为
所以，即法向量，
记平面与平面夹角为，
所以
所以．
19.解：如图取中点，过作与该斜截圆柱底面平行的平面，交于点，与交于点，与椭圆面交线为，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成二面角为，
所以，过作交于点，
又由圆，
所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，也即椭圆面与底面所成角，
所以，
所以，
设，则，，
所以，，
当时，．
当时，，所以，，，
所以
；
证明：由可知，，也即是关于的函数，如图，
将，，绘制于函数的图象上，并以，，为边作矩形，
则矩形的面积即为，
所以即为这些矩形的面积之和，
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为，高为的圆柱，
因此该斜截圆柱的侧面积为，
所以函数与坐标轴围成的面积为，
又因为无论点是否均分布在半圆弧上，
这些矩形的面积之和都小于函数与坐标轴围成的面积，
所以，得证．

第1页，共1页