2023-2024学年广东省湛江市高二下学期期末调研考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省湛江市高二下学期期末调研考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过和两点的直线的斜率是
A. B. C. D.
2.用最小二乘法得到一组数据的线性回归方程为，若，则( )
A. B. C. D.
3.若圆：被直线：平分，则( )
A. B. C. D.
4.函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是( )
A. 在处的切线的斜率大于
B. 是函数的极值
C. 在区间上不单调
D. 是函数的最小值
5.某学校对本校学生的课外阅读进行抽样调查，抽取名女生，名男生调查，结果形成以下列联表，通过数据分析，认为喜欢课外阅读与学生性别之间
喜欢课外阅读 不喜欢课外阅读 合计
男生
女生
合计
参考数据及公式如下：
A. 不能根据小概率的的独立性检验认为两者有关
B. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
C. 根据小概率的的独立性检验认为两者有关
D. 根据小概率的的独立性检验认为两者无关
6.学校食堂的一个窗口共卖种菜，甲、乙名同学每人从中选一种或两种，且两人之间不会互相影响，则不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
7.如图，在三棱锥中，，，为的中点，为的中点，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
8.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等方差数列，这个常数叫作该数列的方公差．设是由正数组成的等方差数列，且方公差为，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，，则
A. B. C. D.
10.已知甲口袋中装有个红球，个白球，乙口袋中装有个红球，个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的点，点是线段上的一点，则下列说法正确的是
A. 存在点，使得平面
B. 当点为线段的中点时，点到平面的距离为
C. 点到直线的距离的最小值为
D. 当点为棱的中点，存在点，使得平面与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中项的系数为 ．
13.已知，若为奇函数，则 ．
14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记等差数列的前项和为，已知，且．
求和；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点．
求证：平面平面；
当为中点时，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的左右焦点为，，为椭圆上一点．
若点的坐标为，求的面积；
若点的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围．
18.本小题分
学校师生参与创城志愿活动高二班某小组有男生人，女生人，现从中随机选取人作为志愿者参加活动．
求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
记参加活动的女生人数为，求的分布列及期望；
若志愿活动共有卫生清洁员交通文明监督员科普宣传员三项可供选择每名女生至多从中选择项活动，且选择参加项或项的可能性均为；每名男生至少从中选择参加项活动，且选择参加项或项的可能性也均为每人每参加项活动可获得个工时，记随机选取的两人所得工时之和为，求的期望．
19.本小题分
已知函数，
若曲线在处的切线为轴，求的值；
在的条件下，判断函数的单调性；
若是函数的极大值点，求的取值范围．
参考答案
1.
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15.解：设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，，
所以；
，
所以
．

16.解：证明： 底面 是正方形，
，
平面 ， 平面 ，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面
以 为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ，，，
则，

设平面 的法向量为，
则 ，即 ，
令 可得
设平面 的法向量为，
则 ，即 ，
令 可得
，
当 为 中点时，二面角 的正弦值为 ．

17.解：因为点在椭圆上，
所以，因为，所以，
因为，，所以，，
所以；
因为点在椭圆上，所以，
因为是钝角，所以，
由余弦定理得
，
即，
又因为，
代入可得
整理得，
解得，的范围为；
18.解：设“有女生参加活动”为事件，“恰有一名女生参加活动为事件，
则，，
所以；
依题意知服从超几何分布，
所以，，，
所以的分布列为：
所以；
设一名女生参加活动可获得工时数为，一名男生参加活动可获得工时数为，
则的所有可能取值为，，的所有可能取值为，，
，，
，，
有名女生参加活动，则男生有名参加活动，，
所以，
即两人工时之和的期望为个工时．
19.解：根据题意，由已知，则，
由于曲线在处的切线为轴，
所以，
所以；
当时，，令，
则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，，，
所以当时，时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
由已知，
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又当时，恒成立，且，
当时，，即在上有且只有一个零点，设为，
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在，上单调递增，
此时在处取极小值，不符合题意，舍去；
当，即，解得，
此时若，解得，在上单调递减，
若，解得或，在，上单调递增，
此时在处取极大值，符合是的极大值点，
当时，即，解得，
此时恒成立，无极值点，
综上所述：的取值范围为．
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