2023-2024学年四川省眉山市东坡区两校高一下学期期末联考数学试题（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市东坡区两校高一下学期期末联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.平面向量，，若，则等于( )
A. B. C. D.
3. ( )
A. B. C. D.
4.已知复数是虚数单位，则所对应的点所在象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.在中，若，则的形状是( )
A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
6.关于函数的性质，下列叙述不正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 是偶函数
C. 的图象关于直线对称
D. 在每一个区间内单调递增
7.已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若为单位向量，则 D. 是与非零向量共线的单位向量
10.在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将函数的图象向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得图象的解析式为 ．
13.设向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 ．
14.为加快推进“光网”双千兆城市建设，如图，在东北某地地面有四个基站，，，已知，两个基站建在松花江的南岸，距离为；基站，在江的北岸，测得，，，，则，两个基站的距离为
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递减区间；
求在区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知．
求的值
若，且，求角．
18.本小题分
在；；这三个条件中任选一个，解答下面两个问题．
求角；
在中，内角，，的对边分别是，，，若已知，，求的值．
19.本小题分
如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边．
Ⅰ设，求三角形铁皮的面积；Ⅱ求剪下的铁皮三角形面积的最大值．
答案解析
1.
【解析】解：．
故选：．
2.
【解析】由于，所以．
故选：
3.
【解析】解：．
4.
【解析】，则，
所对应的点为，在第一象限．
故选：．
5.
【解析】解：因为在中，，
由余弦定理可知：，可得，
，
所以三角形是直角三角形．
故选B．
6.
【解析】解：对于函数，根据该函数的图象与性质知，其最小正周期为，A错误；
又，所以是定义域上的偶函数，B正确；
根据函数的图象与性质知，的图象关于直线对称，C正确；
根据的图象与性质知，在每一个区间内单调递增，D正确．
故选：．
7.
【解析】解：的模为，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：．
8.
【解析】解：解法一：复合函数法
令，，
则．
所以函数在区间上单调递增，
从而可得，
则，解得．
当时，，
所以函数在区间恰好取一次最大值，
所以，解得．
综上所知．
故选：
解法二：特殊值法
当时，令，，
则，则函数在区间上不单调，
所以不合题意，排除、．
当时，令，，
则，则函数在区间取不到最大值，
所以不合题意，排除．
故选：
9.
【解析】选项A，因为，根据零向量的定义知，，故选项 A正确；
选项B，根据向量加法的运算法则知，，故选项 B正确；
选项C，为单位向量，则有，但与可以方向不同，根据向量相等定义知，选项 C错误；
选项D，因的模长为，且与向量同向，故选项 D正确．
故选：
10.
【解析】选项有无穷多解，显然错误；
中，因为，为锐角，所以，所以该三角形有一解， B正确；
中，因为，为锐角，所以，所以该三角形有一解， C正确；
中，因为，为锐角，所以，所以该三角形有两解， D错误．
故选：
11.
【解析】由图象可得的最大值为，即，
，即，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，
对于，因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；
对于，因为，所以错误；
对于，当时，，
所以函数在上不单调，故错误；
对于，该图象向右平移个单位可得的图象，故正确，
故选：
12.
【解析】解：的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，
再向下平移个单位长度得到的图象．
故答案为：．
13.
【解析】由题意可知，，且与不平行，
则，且，得，且，
故答案为：
14.
【解析】，所以，，
，
中，，
中，，
，即，得，
中，．
故答案为：
15.解：
方法一：由题意得，，，
，，
解得
方法二：由题意得，，不平行，设，
则，，解得．
由题意得，，
，，
解得．
【解析】利用向量共线的坐标形式可求参数的值或者利用共线向量定理可求参数的值；
利用向量垂直的坐标形式可求参数的值．
16.解：
因为，所以函数的最小正周期为，
由
得到，．
所以函数的单调减区间为，．
因为，当时，，
根据函数的图像与性质知，，
所以的最大值为，最小值为．
【解析】将简函数为，再利用三角函数的图像与性质即可求出结果；
通过的范围，求出的范围，再利用三角函数的图像与性质即可求出结果；
17.解：因为，
所以，解得；
因为，，
则
解得，
又，所以，
又因，所以，
则，
所以．
【解析】根据已知化弦为切即可得解；
分别求出，，再根据结合两角差的正弦公式即可得解．
18.解：
若选：由已知得：
由正弦定理可得
，可得，
由余弦定理可得，因为，所以．
若选：因为
由正弦定理可得，
所以
因为，所以，所以，
因为，所以
若选：因为，由正弦定理得
因为，所以，故可得，
即，所以，因为，所以；
由可得，，所以，
由余弦定理得：，
所以，又因为，解得，．
【解析】若选，首先转化，再利用正弦定理边角互化，结合余弦定理求角；
若选，首先将边化为角，再结合三角函数恒等变形，化简后求角；
若选，首先将边化为角，再利用两角差的余弦公式展开，结合辅助角公式，化简求角；
首先根据面积公式求，再结合余弦定理求，即可求解的值．
19.解：设交交于点，
，
，，
；
设，，，，
，
令，
由于，所以，
则有，所以，
且，
所以，
，
而函数在区间上单调递增，
故当，时，取最大值，
即，
当时，易知，而
即剪下的三角形铁皮的最大值为．
【解析】设交交于点由，利用锐角三角函数可求，，进而可求，，代入可求
设，，结合锐角三角函数的定义可求，，代入三角形的面积公式，展开利用换元法，转化为二次函数的最值求解．
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