2023-2024学年山东省青岛市胶州市高二下学期期末学业水平检测
数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集,集合满足,则
A. B. C. D.
2.口袋中装有个白球个红球,每个球编有不同的号码,现从中取出个球,至少有一个红球的取法种数是
A. B. C. D.
3.函数与的图象( )
A. 关于对称 B. 关于对称 C. 关于对称 D. 关于对称
4.已知函数的值域为,则实数的取值范围为
A. B. C. D.
5.函数,则( )
A. 是偶函数,且在区间上单调递增 B. 是偶函数,且在区间上单调递减
C. 是奇函数,且在区间上单调递增 D. 是奇函数,且在区间上单调递减
6.我国古代数学家赵爽在为周髀算经作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称为“赵爽弦图”,如图所示,用种不同的颜色给图中块区域涂色,记事件“相邻区域颜色不同”,事件“区域和颜色相同”,则
A. B. C. D.
7.已知,,,则的最小值为
A. B. C. D.
8.函数满足对任意的实数,,均有,且,则
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列大小关系正确的是
A. B. C. D.
10.已知为函数的导函数,若函数的图象大致如图所示,且,则
A. 是的极小值点 B. 有个极大值点
C. 在区间单调递增 D.
11.假设每次实验只有两种结果“成功”和“失败”,且每次实验的成功概率都是,若进行多次实验,直到失败次,那么成功的次数服从“负二项分布”,记作:,若,则
A. 若,则,,,,
B. 若,则的数学期望
C. ,,,,
D. 若最大,则,,,,
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.展开式中的系数为__________.
13.已知,,,则__________.
14.已知,过点可作曲线的两条切线,则的取值范围为 ;若切点为,,则的取值范围为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知.
若函数在上单调递增,求实数的取值范围;
函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,若为函数的一个极值点,求曲线的对称中心.
16.本小题分
某种植物子二代的基因型为,,,其中为显性基因,为隐性基因,且这三种基因型的比为.
在子二代中按基因型比例抽取株,再从这株中随机抽取株,求抽取的基因型是的株数的分布列和期望;
在子二代中任意选取株进行杂交实验,求子三代中基因型为的概率.
17.本小题分
已知函数.
讨论的单调性;
若的最小值为,求的值.
18.本小题分
氨基酸在茶叶中约占到的含量,为研究春夏季节与茶叶氨基酸含量是否有关联,抽取份样品列表如下:
氨基酸 春季 夏季
含量高
含量低
根据小概率值的独立性检验,分析春夏季节对茶叶氨基酸含量是否有影响?
随机抽取份茶叶,氨基酸含量近似服从正态分布,其中恰有份氨基酸含量不小于.
求;
如果茶叶中氨基酸含量小于,则该份茶叶为乙等产品,求这批茶叶中的乙等产品约有多少份.
附:Ⅰ参考公式:,其中.
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
Ⅱ对任何一个正态分布服从来说,通过转化为标准正态分布服从,从而查标准正态分布表得到
可供查阅的部分标准正态分布表:
19.本小题分
已知函数的一个零点是.
求的值;
设曲线与轴的交点为,曲线在点处的切线为,求证:曲线上的点都不在直线的上方;
若关于的方程有两个不相等的实根,,求证:.
答案解析
1.
【解析】解:因为全集,集合满足,
所以,
则,,,.
故选B.
2.
【解析】解:根据题意分类完成任务:
第一类:白球红球各一个有 种,
第二类:均为红球, 种,
所以共有 种。
3.
【解析】解:在函数上任取一点,
则关于直线的对称点为,
显然一定在的上,
故两函数图像关于对称.
故选C.
4.
【解析】解:因为函数 在 上单调递增,
故 ,又因为 的值域为 ,
则 需满足,
,解得 .
故选D.
5.
【解析】解:的定义域为,
,
为偶函数;
当时,
在区间上单调递增.
故选:.
6.
【解析】解:事件有基本事件有种,
事件有基本事件种,
.
故选C.
7.
【解析】解:,,
,.
又,
则,
当且仅当,即,时取等号.
则的最小值为.
故选C.
8.
【解析】解:因为,令得,
所以 ,
所以 .
9.
【解析】解:对于 中,指数函数 为单调递增函数,,,可得,所以错误;
对于 中,由指数函数 为单调递增函数,可得 ,再由幂函数在单调递增可得 ,所以 正确;
对于 中, ,而 ,所以 错误;
对于 中,,由可得,所以 正确.
故选BD .
10.
【解析】解:,, ,递增,
,, ,递减,
,, , 递增,
,, ,递减,
对于,是的极小值点, A错误;
对于,是的个极大值点,B正确;
对于,在区间单调递增, C正确;
对于,, ,,
,当时,的图象以速度匀速增长,所以 ,
当,的增长速度大于,则,D正确;
11.
【解析】解:对于,若,则“”表示次试验,前次成功,第次失败,所以,,A正确;
对于,因为当时,,,
所以由,
得:,
因为,
,
两式相减,得,
所以,B正确;
对于,因为一般地若,则“”表示次试验,前次中次成功,第次失败,所以,,C错误;
对于,设最大,则由,得:
,即,所以,,D正确.
故选ABD.
12.
【解析】解:可看作个相乘,
先从中选个,有种选法;
再从剩余的个括号里边选出个,有种选法
最后从剩余的个括号里均选出,有种选法;
的系数为;
故答案为:.
13.
【解析】解:因为,,,
所以,
又
所以,
故答案为:.
14.,,
【解析】解:设切点为,
的定义域为,,
过点的切线斜率,
化简整理得,
过点可作曲线的两条切线,则式有两解,
令,
,
当时,,在上递增,不可能有两解,舍去;
当时,在上递减,在上递增,
则,
令,,
,
在上递增,在上递减,
,
所以当时,,
即过点可作曲线的两条切线,则的取值范围为.
若切点为,,则,是方程的两根,
,,
,,
,
,
因为,的取值范围为.
15.解:函数在上单调递增,
所以当,恒成立,
又在上单调递增,
所以只需,即;
由题知,
函数的一个极值点为,所以,解得,
此时,
当时,,在区间单调递减,
当时,,在区间单调递增,
所以为函数的极小值点,满足题意,
所以,
设曲线的对称中心为,
则函数为奇函数,
,
由,得,
因为,所以,即,解得,,
所以曲线的对称中心为.
【解析】由题意得当,恒成立,由二次函数性质可得实数的取值范围;
由题意得,得,设曲线的对称中心为,则函数为奇函数,计算可得、的值.
16.解:在子二代中按基因型比例抽取株,则基因型为,,的分别为,,株,
再随机抽取株,基因型是的株数可能取的值为,,,
所以
的分布列为
的期望为
子二代基因配型有六种情况,分别记为事件,,,,,,
子三代中基因型为记为事件,则
事件
配型
所以.
【解析】由题意知,在子二代中按基因型比例抽取株,再从这株中随机抽取株,抽取的基因型是的株数的所有可能取值为,,,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列和数学期望.
利用全概率公式求解即可
17.解:,,
当时,,所以在上单调递增,
当时,由,得,
由得,
所以在区间单调递减,在区间单调递增
由知,当时,在区间单调递增,无最小值,
当时,在区间单调递减,在区间单调递增,
所以,
所以,
令,则,
由得,,所以在区间单调递增,在区间单调递减,
所以,所以的值为.
【解析】根据题意先对函数求导后,然后对 分情况讨论,从而可求解;
根据函数最小值为,结合,利用函数的单调性即可求解.
18.解:因为
,
所以,依据的独立性检验,
可以认为春夏季节对茶叶氨基酸含量有影响.
由题意,,
所以,
故,
因为,所以,得
茶叶中氨基酸含量小于时为乙等产品,
而,
根据标准正态分布的对称性,
,
所以这批茶叶中的乙等产品约有份.
【解析】由公式得出,对照临界值表可得结论;
根据正态分布的性质可得的值;
先得出,根据正态分布计算即可.
19.解:由题知,,
所以;
由题知,,
,
又因为,
所以直线,
令,,
则,
因为,
又因为在上单调递增,
当时,,在区间单调递减,
当时,,在区间单调递增,
故,
所以,
即曲线上的点都不在直线的上方;
令,得,
当时,,在区间单调递增,
当时,,在区间单调递减,
又,,
所以有两个零点和,,
在处的切线为,在处的切线为,
设与两条切线交点的横坐标分别为,,
则,,
由知,
所以,
记,,,
因为,
所以,
故在上单调递增,
所以,
所以
【解析】由,即可求出结果;
由题意可得:,利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线为:,令,,利用导数研究其单调性极值即可证明;
令,得,判断函数的单调性,得出有两个零点和,,
求出在处的切线为,在处的切线为,设与两条切线交点的横坐标分别为,,由知,所以,记,,求出导数,判断出函数的单调性,即可证出结果.
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