江苏省苏州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试 数学试题（PDF版含答案）

苏州市 2023~2024学年第二学期学业质量阳光指标调研卷
高二数学
2024.6
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1．本卷共 4页，包含单项选择题（第 1题～第 8题）、多项选择题（第 9题～第 1l题）、填空
题（第 12 题～第 14 题）、解答题（第 15 题～第 19 题）．本卷满分 150 分，答题时间为 120
分钟，答题结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡
的规定位置．
3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用
0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 函数 f (x) x
2 1在[1,1.1]上的平均变化率为（ ）
A. 0.21 B. 2.1 C. －0.21 D. -2.1
2. 设全集U 3, 1,0,1,3 ，集合 A 1,0,1 ， B y y 3x, x A ，则 AI UB （ ）
A. { 3,0,3} B. { 1,0,1} C. { 1,1} D. {0}
3. 对于满足n 4的任意正整数 n， 4 5 n （ ）
A. A3 B. A4n n C. A
n 4
n D. A
n 3
n
4. 已知 a,b R ,则“a b 0”是“ a 1 b 1 ”的什么条件
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. f (x) m2 m 1 x 2m 1已知幂函数 在 (0, )上单调递减，则实数m的值为（ ）
A. 2或 1 B. 1或 2 C. 1 D. 2
6. 在一个口袋中装有大小和质地均相同的 5个白球和 3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色
后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄
球的概率为（ ）
3 3 4
A. B. C. D. 1
16 8 5 2
3
7. 设 a ，b log3 2 c
1
， sin 1 ，则（ ）
4 4 4
A. a b c B. c b a C. a c b D. b a c
8. 已知 5名同学排成一排合影留念，若甲不站在两端，乙不站在正中间，则不同的排法共有（ ）
A. 48种 B. 60种 C. 66种 D. 72种
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列说法中正确的有（ ）
A. 若随机变量 x， y满足经验回归方程 y 0.02x 49.76，则 x， y的取值呈现正相关
B. 若随机变量 X ~ N (3, )，且 P(X 6) 0.15，则 P(X 0) 0.15
C. 若事件 A,B相互独立，则 P(A | B) P(A)
D. 若 5件产品中有 2件次品，采取无放回的方式随机抽取 3件，则抽取的 3件产品中次品数为 1的概率是
3
5
10. 拐点（Inflection Point）又称反曲点，是一条连续曲线由凸转凹或由凹转凸的点，直观地说，是使切线
穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）．拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用．设
函数 f (x) 对于区间 (a ,b) 内任一点都可导，且函数 g(x) f (x) 对于区间 (a ,b) 内任一点都可导，若
x0 (a,b)，使得 g x0 0，且在 x x0的两侧 g (x)的符号相反，则称点 x0 , f x0 为曲线 y f (x)的
拐点．以下函数具有唯一拐点的有（ ）
A. f (x) 1 x3 x2 B. f (x) x3 1 ， x 0
3 x
C. f (x) a x x2（a 0，且 a 1） D. f (x) ln x sin x
11. 已知定义域为R 的连续函数 f (x)满足 ex f (x y) ex y f (x) f ( y)， f ( 1) e2，则（ ）
A. f (0) 0 B. ex f (x)为奇函数
C. f (x)在 ( ,0)上单调递减 D. f (x)在 (0, )上的最大值为 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 89 被 6除所得的余数为______．
13. 已知随机变量 x， y的五组观测数据如下表：
x 1 2 3 4 5
y e 1.1 e1.6 a e6.5 e9
由表中数据通过模型 y emx n得到经验回归方程为 y e2.6x 3.8，则实数 a的值为______．
14. 已知函数 f (x) x3 ax2 bx c(a,b,c R) ，若关于 x 的不等式 f (x) 0的解集为 {x | x t 3且
x t}，则 f (x)的极小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 (1 3x)n（其中 x R n N*）的展开式中第 2项的二项式系数与第3项的二项式系数之和为36．
（1）求n；
（2）记 (1 3x)n a a x a x2
a
a xn，求 1 a2
a a
0 1 2 n 2
3
3 ( 1)
n n 的值．
3 3 3 3n
4
16. 已知某射击运动员每次射击命中 10环的概率为 ，每次射击的结果相互独立，共进行 4次射击．
5
（1）求恰有 3次命中 10环的概率；
（2）求至多有 3次命中 10环的概率；
（3）设命中 10环的次数为 X ，求随机变量 X 的数学期望 E(X )和方差D(X )．
2x t
17. 已知函数 f (x) (t R) 为奇函数．
2x 1 2
1 1 2 2023
（1）设函数 g(x) f x t ，求 g g g 的值；
2 2024 2024 2024
（2 x）若关于 x的方程 f 4 3 f a 2x a 0有实数根，求实数 a的取值范围．
18. 某学校组织100名学生去高校参加社会实践．为了了解学生性别与颜色喜好的关系，准备了足量的红、
蓝颜色的两种帽子，它们除颜色外完全相同．每位学生根据个人喜好领取 1 顶帽子，学校统计学生所领帽
子的颜色，得到了如下 2 2列联表．
红色 蓝色 合计
男 20 25 45
女 40 15 55
合计 60 40 100
（1）是否有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”；
（2）在进入高校某实验室前，需要将帽子临时存放，为此学校准备了标号为 1号到 7号的 7个箱子，现从
中随机选取 4个箱子，
①求所选的 4个箱子的标号数之和为奇数的概率；
②记所选的箱子中有 X 对相邻序号（如：所选箱子的标号为 1，2，3，5，则 1，2和 2，3为 2对相邻序号，
所以 X 2），求随机变量 X 的分布列和数学期望 E(X )．
2 n(ad bc)
2
附： ，其中 n a b c d．
(a b)(c d )(a c)(b d )
α 0.1 0.05 0.01
xa 2.706 3.841 6.635
19. 已知函数 f x x 1 ln x．
（1）求曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程；
（2）若关于 x的不等式 f (x) m(x 1)在 (1, )上恒成立，求实数m的最大值；
（3）若关于 x的方程 f (x) ax2 (a 1)x 1 0(a R) 有两个实根x ， x2 x1 x2 ，求证：1
2a 1 1 a 3
x1 x
．
2
参考答案
1. D
2. C.
3. D.
4. A.
5. C.
6. B.
7. A.
8. B.
9. BCD
10. AC
11. ABD.
12. 2
13. e4 .
14. 4 .
15. （1）8
（2） 255
256
16. （1）
625
369
（2）
625
EX 16 DX 16（3） ；
5 25
17. （1） 2023
（2） a 2
18. （1）有99%的把握认为“喜好红色或蓝色与性别有关”.
（2）分布列见解析，E(X ) 12
7
19. （1） y 2x 2
（2） 2
（3）注明
f x ax2 a 1 x 1 x 1 ln x ax 1 x 1 x 1 ln x ax 1 0，
由 x 0，即有 ln x ax 1 0有两个实根x ， x2 x1 x ，1 2
令 x ln x ax 1， x 1 a，
x
1
当 a 0时， x a 0恒成立， x 0不可能有两个实根，故舍去；
x
1 1
当 a 0，则 x 0, 时， x 0 x ，当 , 时， x 0，
a a
故 x 1 1 在 0, a 上单调递增，在 , 上单调递减， a
1 1 则有 ln 1 1 ln a 0，即 a 1,0 ，
a a
又 1 ln1 a 1 a 1 0，
不妨令 x1 x2，则有0 x1 1
1
x
a 2
，
ln 1 1 a
ln x1 1 ax 1 t t
有 ，令 t
1 t 1 1 1
ln x 1 ax 1 x
， 2 ，即有 ，
2 2 1 x2 ln 1 1 a
t2 t2
ln 1 1 ln 1 1 a a a t t则有 ，即 ln t1 ln t2 2 1t ，1 t2 t1 t2 t1t2
t t1 t11t2 ln 2t t ln
即 t2 ，则要证 2a
1 1
1 2
a x x ，只需证
t
2 ，
t t 1 2
t1 t2
2 1 t2 t1
2

1 t 1

t1 t
t1 1 n2
即证 ln 2 0， 令 n 1t ，即证 ln n 0，t 2 t 1 2 2n2
t2
1 x2
令 h x ln x ， x 1，
2x
2
1 4x 2 1 x
2 2
则 h x 2x
2 4x 2 x 1
0恒成立，
x 4x2 4x2 2x2
故 h x 在 1, 1 1上单调递减，故 h x h 1 ln1 0，
2
2 1 1
即有 ln n 1 n 0在 n 1时恒成立，故 2a
2n x1 x
得证；
2
由（2）可知，当m 2时， f (x) m(x 1)在 1, 上恒成立，
2 x 1
即 ln x 0在 x 1, 上恒成立，
x 1
2 1 1
1 x 2 1 x 2 x 1
则当 x 0,1 时， ln 1 ln x

0 ，即 ln x 0，
x 1 x 1 x 1
x
1
由0 x1 1 x2 ，则 t1 1、0 t2 1，a
2 t1 1 2 t2 1
故 ln t1 0， ln t2 0，t1 1 t2 1
2
ln t t1 1 2 t2 1ln t 则 1 ， ，t1 1 2 t2 1
2 t 1
ln
1 1 a ln t
a
1 1
1
t1 t1 t1 t1 1 a t1 1 t1 t1 3
又 ，即 ，即
1 a a 2 t2 1 a t2 1ln 1
，
t2 t2 3
ln t2 1 t2 t2 t2 t2 1
a t1 1 t1 t1 3
即 ，则有a t 1 a t 1 t t 3 t t 3 ， a t

2 1 t2 t 1 2 1 1 2 22 3
2 2
整理得 a t1 t2 t1 t2 3 t1 t2 ，即 a t1 t2 3，即 t1 t2 a 3，
1 1
即 a 3x x ；1 2
综上， 2a
1 1
a 3
x x 得证.1 2