(共24张PPT)
（湘教版）九年级
上
1.2.2 反比例函数的图象与性质
反比例函数
第一章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.
2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.
3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.
新知导入
回顾：如何利用描点法画出反比例函数的图象？
列表： 让x取一些非零实数， 并计算出相应的函数值y， 列成下表.
描点： 在平面直角坐标系内， 以自变量x的取值为横坐标， 以相应的函数值y为纵坐标， 描出相应的点．
连线： 把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数y=的图象．
新知讲解
如何画反比例函数 y＝-的图象？ y＝-的图象与 y＝的图象有什么关系？
探究
列表：
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
y＝ 1 1.2 1.5 2 3 6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1
新知讲解
描点：
连线：
新知讲解
当x=3时y＝-的函数值为-2， 而 y＝的函数值为2． 在平面直角坐标系内，点 A(3,-2)与 B(3,2)关于 x轴对称，如图 右所示.
新知讲解
类似地， 当 x 取任一非零实数a时，y＝-的函数值为 -， 而 y＝的函数值为， 从而都有点P(a, -)与点Q(a, )关于 x 轴对称， 因此 y＝-的图象与 y＝的图象关于x轴对称. 于是只要把 y＝的图象沿着x轴翻折并将图象“复制” 出来， 就得到了 y＝-的图象， 如图中的蓝色曲线所示．
新知讲解
y＝-的图象由分别在第二、 四象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量 x 的增大而增大.
新知讲解
当k<0时， 反比例y= 的图象与y=-的图象关于x轴对称．
从而当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大.
反比例y= (k为常数,k≠0)的图象是由两支曲线组成的， 这两支曲线称为双曲线.
典例精析
例1
画反比例函数 y＝-的图象.
解 :
列表： 让x取一些非零实数， 并计算出相应的函数值y， 列成下表.
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
y＝- 1 2 4 -4 -2 - -1 - -
典例精析
描点： 在平面直角坐标系内， 以自变量x的取值为横坐标， 以相应的函数值y为纵坐标， 描出相应的点．
连线： 把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数 y＝-的图象， 如图所示．
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.若函数y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0
2.反比例函数 的图象上有两点 ， ，若 ，则下列结论正确的是（ ）
A．B． C． D．
A
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ）
A．(-3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1)
4.反比例函数 的图象经过点 ，则k的值为 ．
A
-1
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
m＜3
5.反比例函数的图象在二、四象限，则应满足 ．
6.已知点 A(-2，m)在一个反比例函数的图象上，点 A'与点 A 关于 y轴对称.若点 A'在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 .当x>2时，反比例函数值 y的取值范围是 .
y=
1【综合拓展类作业】
课堂练习
画反比例函数 y＝-的图象.
课堂总结
反比例函数具有哪些性质？
1.一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
2.当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大.
板书设计
反比例函数的图象：
反比例函数的性质：
1.2.2反比例函数的图象与性质
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.若反比例函数 的图像上有两个点A(-1， )，B( )那么 大小关系是（ ）
A．m>n B．m2.已知点，，都在反比例函数
的图象上，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3. 当 ＜0， ＜0时，反比例函数y=的图象在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B
【综合拓展类作业】
作业布置
已知反比例函数的图象位于第二、四象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小．
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴；
【综合拓展类作业】
作业布置
【答案】（2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴在每个象限内，y随x增大而增大，
∵点是该反比例函数图象上的两点，
，
∴点A和点B都在第二象限，
∴．
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Thanks!
2
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分课时教学设计
第二课时《1.2.2反比例函数的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《1.2.2反比例函数的图象与性质》是“湘教版九年级数学（上）”第一章第二节第二课时的内容. 反比例函数的图象与性质是初中数学中的重要内容，它承接了一次函数的学习，并为后续学习二次函数等复杂函数打下基础。教材逐步引导学生通过描点法画出反比例函数的图象，并观察图象特征，从特殊到一般归纳总结出反比例函数的性质。同时，教材还通过例题和习题，帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。
学习者分析 九年级的学生在学习反比例函数的图象与性质之前，已经掌握了一次函数、正比例函数等基础知识，对函数的概念、表示方法及性质有了一定的了解。他们的逻辑思维能力、空间想象能力和抽象思维能力都在逐步提高，能够运用所学知识进行推理和判断。然而，由于反比例函数的图象是双曲线，与一次函数的直线图象相比更为复杂，因此学生在理解和掌握上可能会存在一定的困难。此外，学生的个体差异也较大，部分学生在动手操作和观察分析方面可能不够细致和全面，所以教师在教学过程中需注重引导和分析。
教学目标 1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性. 2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题. 3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.
教学重点 反比例函数的增减性
教学难点 反比例函数的增减性的理解与应用
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：如何利用描点法画出反比例函数的图象？ 教师讲授： 列表： 让x取一些非零实数， 并计算出相应的函数值y， 列成下表. 描点： 在平面直角坐标系内， 以自变量x的取值为横坐标， 以相应的函数值y为纵坐标， 描出相应的点． 连线： 把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数y=的图象．学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知教师活动2： 探究： 如何画反比例函数 y＝-的图象？ y＝-的图象与 y＝的图象有什么关系？ 列表： 描点： 连线： 教师讲授： 当x=3时y＝-的函数值为-2， 而 y＝的函数值为2． 在平面直角坐标系内，点 A(3,-2)与 B(3,2)关于 x轴对称，如图 右所示. 类似地， 当 x 取任一非零实数a时，y＝-的函数值为 -， 而 y＝的函数值为， 从而都有点P(a, -)与点Q(a, )关于 x 轴对称， 因此 y＝-的图象与 y＝的图象关于x轴对称. 于是只要把 y＝的图象沿着x轴翻折并将图象“复制” 出来， 就得到了 y＝-的图象， 如图中的蓝色曲线所示． 教师讲授：y＝-的图象由分别在第二、 四象限的两支曲线组成，它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量 x 的增大而增大. 教师讲授：当k<0时， 反比例y= 的图象与y=-的图象关于x轴对称． 从而当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大. 教师讲授：反比例y= (k为常数,k≠0)的图象是由两支曲线组成的，这两支曲线称为双曲线.学生活动2： 动手画图，合作交流 经历探究反比例函数性质的过程 学生认真观察，比较两个函数图象的特征 学生认真听讲，观察图象 学生观察图象，认真思考，合作交流，探究反比例函数的性质 学生认真听讲 学生认真听讲，结合图象理解反比例函数的性质，体会从特殊到一般的思想活动意图说明：使学生经历抽象反比例函数性质的过程，通过探究和教师讲授理解反比例函数的性质，体会从特殊到一般的思想。环节三：例题精析教师活动3： 例1 画反比例函数 y＝-的图象. 解: 列表：让x取一些非零实数， 并计算出相应的函数值y， 列成下表. 描点： 在平面直角坐标系内， 以自变量x的取值为横坐标， 以相应的函数值y为纵坐标， 描出相应的点． 连线： 把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数 y＝-的图象， 如图所示．学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 教师提问：反比例函数具有哪些性质？ 教师讲授：1.一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 2.当k<0时， 反比例函数y=的图象由分别在第二、 四象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交， 在每个象限内， 函数值y随自变量x的增大而增大.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若函数y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0 2.反比例函数 的图象上有两点 ， ，若 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3.某反比例函数图象经过点(-1,6),则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ） A．(-3,2) B．(3,2) C．(2,3) D．(6,1) 4.反比例函数 的图象经过点 ，则k的值为 ． 选做题： 5.反比例函数的图象在二、四象限，则应满足 ． 6.已知点 A(-2，m)在一个反比例函数的图象上，点 A'与点 A 关于 y轴对称.若点 A'在正比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式为 .当x>2时，反比例函数值 y的取值范围是 . 【综合拓展类作业】 画反比例函数 y＝-的图象.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若反比例函数 的图像上有两个点A(-1， )，B( )那么 大小关系是（ ） A．m>n B．m教学反思 在反比例函数的图象与性质的教学过程中，教师应注重以下几个方面： 注重操作，培养能力：通过动手描点、连线等活动，让学生亲身体验反比例函数图象的绘制过程，培养学生的动手能力和观察能力。 引导观察，归纳性质：引导学生仔细观察反比例函数的图象，通过小组讨论和合作交流，归纳总结出反比例函数的性质。 强化练习，巩固知识：通过例题和习题的讲解与练习，帮助学生巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。 同时，教师还应关注学生的学习状态和学习效果，及时调整教学策略和方法，确保每位学生都能跟上教学进度并达到学习目标。
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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。3.能用反比例函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第一章《反比例函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”.本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、图象、性质及应用.反比例函数是初中数学中的重要内容，是学生在学习了变量之间的关系、一次函数等基础知识后进一步深入学习的内容。反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。且反比例函数在日常生活和生产中也有着许多直接应用，有利于学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，有利于学生增强几何直观，在教材中有着重要的地位.
学情分析 九年级学生在前面的学习过程中，已经对函数的概念、函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，并学习了正比例函数、一次函数等基础知识。他们已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，特别是在抽象概括能力和对函数意义的理解上还存在一定的难度。虽然学生对函数的基本概念有一定的了解，能够初步理解变量之间的关系，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，能够进行简单的数学推理和计算。但是对反比例函数这种较为抽象的数学概念理解不深，特别是对反比例函数图像和性质的把握存在困难。在将实际问题抽象成数学问题并加以解决的过程中，部分学生存在困难。所以教师在设计教学时需设计提问，注重引导。
单元目标 （一）教学目标1.结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.2.掌握并会求反比例函数的表达式.3.会用描点法画反比例函数的图象.4.能根据反比例函数的图象和表达式(k≠0)探索并理解其性质.5.能用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：反比例函数教学难点：1.反比例函数的图象和性质2.综合运用反比例的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数11.2反比例函数的图象与性质31.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1反比例函数1.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念.2.确定反比例函数自变量的取值范围.3.会列简单实际问题中的反比例函数表达式.1.能够判断函数是否是反比例函数.2．会列简单实际问题中的反比例函数表达式.3．确定反比例函数自变量的取值范围.任务一：回顾反比例关系任务二：经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念任务三：了解反比例函数的一般形式，确定反比例函数自变量的取值范围.任务四：习题检测.1.2.1反比例函数的图象与性质1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质.2.掌握反比例函数的基本性质：增减性3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。1.能够用描点法绘制反比例函数的图象.2.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法.任务二：经历描点法绘制反比例函数图象的过程.任务三：通过函数图象探究反比例函数的性质.任务四：习题检测.1.2.2反比例函数的图象与性质1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法和反比例函数的增减性.任务二：通过函数图象进一步探究反比例函数的性质.任务三：掌握反比例函数的增减性.任务四：习题检测.1.2.3反比例函数的图象与性质1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义.3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.会用待定系数法求反比例函数的解析式任务一：回顾反比例函数的增减性.任务二：用待定系数法求反比例函数的解析式.任务三：灵活运用性质和待定系数法解题.任务四：习题检测.1.3反比例函数的应用1.学生能够掌握反比例函数的应用方法，能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.会综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.3. 通过实际问题引入、建立函数模型、求解与应用等过程，培养学生的数学思维和探究能力.1.能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.能够综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务一：回顾用待定系数法求反比例函数解析式任务二：根据实际问题建立反比例函数模型任务三：综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务四：习题检测
《反比例函数》单元教学设计
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