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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第一章
课标要求 1.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。2.能画反比例函数的图象，根据图象和表达式(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况。3.能用反比例函数解决简单实际问题。
内容分析 本章是湘教版九年级上册第一章《反比例函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”.本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、图象、性质及应用.反比例函数是初中数学中的重要内容，是学生在学习了变量之间的关系、一次函数等基础知识后进一步深入学习的内容。反比例函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律基础上抽象出的重要数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。且反比例函数在日常生活和生产中也有着许多直接应用，有利于学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，有利于学生增强几何直观，在教材中有着重要的地位.
学情分析 九年级学生在前面的学习过程中，已经对函数的概念、函数所反映的是两个变量之间的关系的内涵有了一定的了解，并学习了正比例函数、一次函数等基础知识。他们已经具备了思维的完备性、深刻性、实践性、批判性等思维品质，但尚待提高，特别是在抽象概括能力和对函数意义的理解上还存在一定的难度。虽然学生对函数的基本概念有一定的了解，能够初步理解变量之间的关系，具备一定的数学基础和逻辑思维能力，能够进行简单的数学推理和计算。但是对反比例函数这种较为抽象的数学概念理解不深，特别是对反比例函数图像和性质的把握存在困难。在将实际问题抽象成数学问题并加以解决的过程中，部分学生存在困难。所以教师在设计教学时需设计提问，注重引导。
单元目标 （一）教学目标1.结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念.2.掌握并会求反比例函数的表达式.3.会用描点法画反比例函数的图象.4.能根据反比例函数的图象和表达式(k≠0)探索并理解其性质.5.能用反比例函数的性质和图象解决某些实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：反比例函数教学难点：1.反比例函数的图象和性质2.综合运用反比例的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数11.2反比例函数的图象与性质31.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1反比例函数1.经历抽象反比例函数概念的过程，了解反比例函数的意义，理解反比例函数的基本概念.2.确定反比例函数自变量的取值范围.3.会列简单实际问题中的反比例函数表达式.1.能够判断函数是否是反比例函数.2．会列简单实际问题中的反比例函数表达式.3．确定反比例函数自变量的取值范围.任务一：回顾反比例关系任务二：经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念任务三：了解反比例函数的一般形式，确定反比例函数自变量的取值范围.任务四：习题检测.1.2.1反比例函数的图象与性质1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质.2.掌握反比例函数的基本性质：增减性3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。1.能够用描点法绘制反比例函数的图象.2.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法.任务二：经历描点法绘制反比例函数图象的过程.任务三：通过函数图象探究反比例函数的性质.任务四：习题检测.1.2.2反比例函数的图象与性质1.巩固反比例函数图象的性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.2.掌握反比例函数的增减性,能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.3.激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数形结合思想，增强几何直观.能够用反比例函数的基本性质解决问题任务一：回顾描点法和反比例函数的增减性.任务二：通过函数图象进一步探究反比例函数的性质.任务三：掌握反比例函数的增减性.任务四：习题检测.1.2.3反比例函数的图象与性质1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识，能结合具体情境,体会反比例函数的意义，理解比例系数k的具体意义.3.会通过已知自变量的值求相应反比例函数的值，运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.会用待定系数法求反比例函数的解析式任务一：回顾反比例函数的增减性.任务二：用待定系数法求反比例函数的解析式.任务三：灵活运用性质和待定系数法解题.任务四：习题检测.1.3反比例函数的应用1.学生能够掌握反比例函数的应用方法，能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.会综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.3. 通过实际问题引入、建立函数模型、求解与应用等过程，培养学生的数学思维和探究能力.1.能够根据实际问题建立反比例函数模型并求解.2.能够综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务一：回顾用待定系数法求反比例函数解析式任务二：根据实际问题建立反比例函数模型任务三：综合运用反比例函数的解析式，函数图象以及性质解决实际问题.任务四：习题检测
《反比例函数》单元教学设计
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分课时教学设计
第一课时《1.2.1反比例函数的图象与性质》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 《1.2.1反比例函数的图象与性质》是“湘教版九年级数学（上）”第一章第二节第一课时的内容.本节课的主要内容是描点法和反比例函数的图象。反比例函数是初中数学中的重要内容，它不仅是一次函数的延续，也是后续学习二次函数等复杂函数的基础。描点法作为绘制反比例函数图象的基本方法，在教材中占据重要地位。通过这一方法的学习，学生能够直观地理解反比例函数的图象特征，进而掌握其性质和应用。
学习者分析 学生已有知识基础：学生在小学阶段已经学习了正比例关系和一次函数的基础知识，对函数有了一定的认识和理解。在初中阶段，学生已经学习了函数的概念、表示方法及性质，能够运用所学知识进行推理和判断。 学生认知能力特点：初中生的逻辑思维能力逐渐增强，能够理解和接受较为抽象的概念和性质。然而，空间想象能力相对较弱，对于反比例函数的图象和性质的理解可能存在一定的困难。此外，学生喜欢通过实例和具体情境来学习新知识。 学生学习风格与需求：学生对知识的系统性和逻辑性要求较高，因此在教学设计中应注重知识的内在联系和逻辑顺序。同时，应多举实例，帮助学生理解反比例函数的图象和性质。
教学目标 1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质。 2.掌握反比例函数的基本性质：增减性 3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。 4.通过观察反比例函数图象，引导学生观察、分析、归纳反比例函数的性质。 5.培养学生的动手操作能力和创新能力，提高数学思维和解决问题的能力。 6.激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的数学兴趣和爱好。
教学重点 1.用描点法作反比例函数的图像。 2.利用图像探究反比例函数的性质。
教学难点 1.如何抓住特点准确画出反比例函数的图像，以便学生理解图象的形状、位置以及变化趋势。 2.灵活运用反比例函数的性质解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入，复习回顾教师活动1： 回顾：怎么用 “描点法”画函数的图象？ 学生活动1： 跟随教师的讲授回顾旧知 举手回答问题，认真听讲活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：讲授新知，动手操作教师活动2： 探究：如何画反比例函数 y＝ 的图象？ 教师讲授： 列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，让 x分别取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应的函数值 y，列成下表. 描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点． 教师提问：观察图中y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化 y轴左边的各点是否也有相同的规律？ 教师讲授：对于反比例y＝ ，当x>0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当 x<0时，也有这一规律． 连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．从 y＝可以看出，x取任意非零实数，都有y≠0，因此这两支曲线与x轴都不相交．由于x不能取0，因此这两支曲线与y轴也都不相交． 这样就画出y＝的图象,如图所示．学生活动2： 认真思考，合作交流举手回答问题 学生先自行完成列表、描点、连线的过程，完成后认真听讲 学生认真听讲 学生认真思考，观察图象特征，举手回答问题 学生认真听讲，了解反比例函数的增减性 学生认真听讲，知道要用一条光滑曲线将点顺次连接起来，理解为什么反比例函数的图象是双曲线活动意图说明：通过动手操作可以让学生的认知更直观，使学生亲自经历获取知识的过程，能提高对数学结论的认可程度。环节三：例题精析，再探新知教师活动3： 在如图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数 y＝的图象. 议一议：观察画出的 y＝， y＝的图象， 思考下列问题： (1)每个函数的图象分别位于哪些象限？ (2)在每一象限内， 函数值y随自变量x的变化如何变化？ 教师讲授：(1)两个函数的图象均由两支曲线组成， 且分别位于第一、三象限. (2)对于y轴右边的点，当自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小；对于y轴左边的点也有这一性质. 教师讲授：一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 学生观察图象，认真思考，举手回答问题 学生认真听讲，理解反比例函数的性质活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，同时通过对图象的观察加强对反比例函数的性质的理解。 环节四：归纳梳理、课堂总结教师活动4： 教师提问：如何利用描点法画出反比例函数的图象？ 教师讲授： 列表： 让x取一些非零实数， 并计算出相应的函数值y， 列成下表. 描点： 在平面直角坐标系内， 以自变量x的取值为横坐标， 以相应的函数值y为纵坐标， 描出相应的点． 连线： 把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数y=的图象． 教师提问：反比例函数具有哪些性质？ 教师讲授：一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.反比例函数 的图像分别位于 （ ） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 2.如果反比例函数 （a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ） A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2 3. 已知矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.对于函数，下列说法错误的是（ ） A．它的图像分布在第一、三象限 B．它的图像与直线无交点 C．当时，y的值随x的增大而增大 D．当时，y的值随x的增大而减小 5. 已知函数y＝，经过点P1（﹣2，y1），P2（3，y2），那么（ ） A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y2＜y1＜0 D．0＜y2＜y1 【综合拓展类作业】 在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数y=的图象.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.反比例函数图象上有两点，若，则的值为（ ）. A．-1 B．0 C．1 D．2 2.若反比例函数的图象经过点，则关于的分式方程的解为（ ） A． B． C． D． 3.已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）当x为何值时，请直接写出x的取值范围．
教学反思 描点法使学生能够通过亲手操作，直观地看到反比例函数图象的形成过程，加深了对函数图象的理解。且学生在课堂上积极参与描点活动，提高了学习的主动性和兴趣。但是当选择较多点时，描点过程可能会变得繁琐且耗时，影响课堂进度。且部分学生在描点时可能存在精度不够的问题，导致图象不够准确。因此在之后的教学中教师可以利用数学软件或在线绘图工具，让学生快速、准确地完成描点任务，并观察动态生成的函数图象，以提高效率和准确性。同时教师需注意引导学生选择具有代表性的点进行描画，以减少不必要的重复劳动，并突出图象的关键特征。
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（湘教版）九年级
上
1.2.1 反比例函数的图象与性质
反比例函数
第一章
“—”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
内容总览
教学目标
1.能够绘制反比例函数的图象，理解图象的特点和性质。
2.掌握反比例函数的基本性质：单调性
3.通过动手操作，学会在平面直角坐标系中用描点法画出反比例函数的图象。
4.通过观察反比例函数图象，引导学生观察、分析、归纳反比例函数的性质。
5.培养学生的动手操作能力和创新能力，提高数学思维和解决问题的能力。
6.激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生的数学兴趣和爱好。
新知导入
回顾：怎么用 “描点法” 画函数的图象？
新知导入
回顾：如何画一次函数的图象？
1.把一次函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点（描出两点）
2.过两点画直线（两点确定一条直线）
新知讲解
如何画反比例函数 y＝ 的图象？
探究
列表：由于自变量x的取值范围是所有非零实数，因此，让 x分别取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应的函数值 y，列成下表.
x -6 -5 -4 -3 -2 -1.5 -1 1 1.5 2 3 4 5 6
-1 -1.2 -1.5 -2 -3 -4 -6 6 4 3 2 1.5 1.2 1
新知讲解
描点：在平面直角坐标系内，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
观察图中y轴右边的各点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y如何变化 y轴左边的各点是否也有相同的规律？
新知讲解
对于反比例y＝ ，当x>0时，函数值y随自变量x的增大而减小；当 x<0时， 也有这一规律．
新知讲解
连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边各点和左边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来．从 y＝可以看出，x取任意非零实数， 都有y≠0，因此这两支曲线与x轴都不相交．由于x不能取0，因此这两支曲线与y轴也都不相交． 这样就画出y＝的图象,如图所示．
新知讲解
新知讲解
做一做
在图所示的平面直角坐标系内，画出反比例函数 y＝的图象.
新知讲解
观察画出的 y＝， y＝的图象， 思考下列问题：
(1)每个函数的图象分别位于哪些象限？
(2)在每一象限内， 函数值y随自变量x的变化如何变化？
议一议
(1)两个函数的图象均由两支曲线组成， 且分别位于第一、三象限.
(2)对于y轴右边的点，当自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小；对于y轴左边的点也有这一性质.
新知讲解
一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.反比例函数 的图像分别位于 （ ）
A．第一，第三象限 B．第一，第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
2.如果反比例函数 （a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（ ）
A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>2
A
D
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
3.已知矩形的长为，宽为，面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A
A
B
C
D
4.对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像分布在第一、三象限
B．它的图像与直线无交点
C．当时，y的值随x的增大而增大
D．当时，y的值随x的增大而减小
5.已知函数y＝，经过点P1（﹣2，y1），P2（3，y2），那么（ ）
A．y1＞0＞y2 B．y2＞0＞y1 C．y2＜y1＜0 D．0＜y2＜y1
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
C
B
【综合拓展类作业】
课堂练习
在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数y=的图象.
课堂总结
如何利用描点法画出反比例函数的图象？
列表： 让x取一些非零实数， 并计算出相应的函数值y， 列成下表.
描点： 在平面直角坐标系内， 以自变量x的取值为横坐标， 以相应的函数值y为纵坐标， 描出相应的点．
连线： 把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来，就得到了函数y=的图象．
课堂总结
反比例函数具有哪些性质？
一般地，当k>0时，反比例函数 y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成， 它们与x轴、y轴都不相交，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
板书设计
描点法：
反比例函数的性质：
1.2.1反比例函数的图象与性质
习题讲解书写部分
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.反比例函数图象上有两点，若，则的值为（ ）.
A．-1 B．0 C．1 D．2
2.若反比例函数的图象经过点，则关于的分式方程的解为（ ）
A．B． C． D．
B
B
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.已知点，，都在反比例函数
的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
【综合拓展类作业】
作业布置
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）当x为何值时，请直接写出x的取值范围．
【答案】
（1）一次函数的表达式为：；
反比例函数的表达式为：
（2），或
Thanks!
2
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