辽宁省七校2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷（含解析）

辽宁省七校2023-2024学年高二下学期期初考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．经过两点,的直线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.不存在
2．双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
3．如图，在三棱柱中，G为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
4．点P是抛物线上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5．已知椭圆方程为,其右焦点为,过点F的直线交椭圆与A,B两点.若AB的中点坐标为,则椭圆的方程为( )
A. B.
C.D.
6．现安排甲,乙,丙,丁,戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译,导游,礼仪,司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲,乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A.152 B.126 C.90 D.54
7．如图,在四棱锥中,底面ABCD,底面ABCD为正方形,,,E为CD的中点,F为PC的中点,则异面直线BF与PE所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
8．已知,直线与的交点P在圆上,则r的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,则正整数x的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10．现有带有编号1,2,3,4,5的五个球及四个不同的盒子,则下列表述正确的有( )
A.全部投入4个不同的盒子里,允许有空盒,共有种放法
B.全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,共有种不同的放法
C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入）,共有种放法
D.全部投入2个不同的盒子里,每盒至少一个,共有种放法
11．已知圆,则( ).
A.圆M可能过原点
B.圆心M在直线上
C.圆M与直线相切
D.圆M被直线所戴得的弦长为
12．如图,在棱长为1的正方体中,E,F分别为和BC的中点,M是截面上的一个动点（不包含边界）,若,则下列结论正确的是( )
A.AM的最小值为
B.三棱锥的体积为定值
C.有且仅有一个点M,使得平面ABCD
D.的最小值为
三、填空题
13．已知两条直线和互相垂直,则a等于________.
14．若的展开式中的系数为70,则实数___________.
15．已知抛物线的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若,则_____________.
16．如图,在坡面与水平面所成二面角为的山坡上,有段直线型道路AB与坡脚l成的角,这段路直通山顶A,已知此山高米,若小李从B沿着这条路上山,并且行进速度为每分钟30米,那么小李到达山顶A需要的时间是_____分钟.
四、解答题
17．已知直线与直线交于点P
（1）求过点P且平行于直线的直线的方程;
（2）在（1）的条件下,若直线与圆交于A,B两点,求直线与圆截得的弦长.
18．如图,在直三棱柱中,,
,D,E分别为,的中点.
（1）证明:平面;
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
19．已知P是离心率为的椭圆上任意一点,F是椭圆C的右焦点,且的最小值是1.
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若,求直线l的方程.
20．已知抛物线,E上一点C的横坐标为,C到抛物线E的焦点的距离为2.
（1）求抛物线E的方程;
（2）直线l交抛物线E于A,B两点,O为坐标原点,满足,求面积的最小值.
21．如图所示,正方形ABCE所在平面与梯形ABMN所在平面垂直,,,,.
（1）证明:平面ABCE;
（2）在线段CM（不含端点）上是否存在一点E,使得二面角的余弦值为.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
22．已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍,记点P的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程;
（2）已知斜率为k的直线l与曲线交于点A,B,O为坐标原点,若,证明:为定值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为经过两点,的直线与x轴垂直,故直线的倾斜角为.故选:C.
2．答案：B
解析：根据题意,双曲线的方程为:,
变形可得,
则其焦点在y轴上,且,,
则其渐近线方程为:.
故选:B.
3．答案：D
解析：.
4．答案：B
解析：设,
到该抛物线焦点的距离为4,
,即,解得.
5．答案：C
解析：设,,代入椭圆的方程可得两式相减,
可得,化简得,
即.由,,可得,所以,又因为,,解得,,所以椭圆的方程为,故选C.
6．答案：B
解析：根据题意,分情况讨论,①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一:种;
②甲乙不同时参加一项工作,进而又分为2种小情况;丙,丁,戊三人中有两人承担同一份工作,有种,
甲或乙与丙,丁,戊三人中的一人承担同一份工作:种
由分类计数原理,可得共有种.
故选:B.
7．答案：D
解析：
8．答案：A
解析：,所以直线恒过点,
,所以直线恒过点,
由两条直线的方程可以判断直线与直线互相垂直,
因此点P在以为直径的圆上,线段中点为,
半径为,
圆C的圆心为,半径为,
由已知条件可知点P在圆上,
所以圆C与圆D相交或相切,,
因此有,
解得：,所以则r的最大值是,
故选：A.
9．答案：AB
解析：
10．答案：ABC
解析：对于A,将带有编号的1,2,3,4,5的五个球全部投入4个不同的盒子里,允许有空盒,即每个球都有四种可能性,共有种放法,所以选项A正确;
对于B,将带有编号的1,2,3,4,5的五个球全部投入4个不同的盒子里,没有空盒,即4个盒子中都有球,第一步将五个球分成的四组,有种分法,第二步分给四个盒子有种放法,所以一共有种放法,故选项B正确;
对于C,将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入),第一步从5个球中选4个有种选法,第二步选一个盒子有中选法,所以一共有种方法,所以选项C正确;
对于D,将5个球全部投入2个不同的盒子里,每盒至少一个,第一步从4个盒子中选两个盘子有种选法.第二步将选的两个盒子排列有种排法,第三步将5个球分为两组:①若两组球数之比为,有种分法,②若两组球数之比为有种分法,所以一共有种放法,故选项D错误,故答案为:ABC.
11．答案：AD
解析：
12．答案：BCD
解析：
13．答案：
解析：直线的斜率等于a,的斜率为,
两条直线和互相垂直,,解得.
14．答案：2
解析：二项式的展开式中含的项为,
由题意知,解得.故答案为:2.
15．答案：3
解析：
16．答案：18
解析：过点A作平面,垂足为O,过点O作直线l,垂足为C,连接AC,则直线l,,,如图所示;
在中,,
,,,
小李运行速度为每分钟30米,它到达山顶A需要的时间是(分钟),
故答案为:18.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,所以,
令,将代入得:.
（2）圆心到直线距离,
所以
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,所以,因为是直棱柱,
所以平面ABC,因此平面ABC的一个法向量为,
所以,即,又平面ABC,
所以平面.
（2）因为,,,
设平面的法向量为,
则,令,得,
设直线与平面所成角为,则,
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,,故,
又,故,
设,,则,即,
,
故当时,取得最小值,最小值为,
故,
则,,椭圆方程为;
（2）当过点F的直线l的斜率为0时,,不合要求,
当过点F的直线l的斜率不为0时,设为,
联立得,
恒成立,
设,,则,
故,
故,解得,
故直线l方程为.
20．答案：（1）
（2）32
解析：（1）令,因为C到抛物线E的焦点的距离为2,
所以,代入得:,解得,
故求抛物线E的方程为:.
（2）令直线的方程为:,,.联立直线l与抛物线E的方程得:,故,.
因为,所以,又,所以.
得直线l的方程为:.
,
原点O到直线l的距离,所以面积,
当时,面积的最小值为32..
21．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:正方形ABCD中,,
又平面平面ABMN,平面平面,平面ABCD,
平面ABMN,又平面ABMN,
,且,又,,
,又,
,,又,,
又,BA,平面ABCD,
平面ABCD;
（2）如图,以BA,BM,BC所在直线|分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,
,,,设点,
,,
,,,,
设平面BEN的法向量为,,取,
又易知平面BMN的法向量为,
,
,,
,解得或(舍),存在一点E,且..
22．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设动点,则,
点P到直线的距离,由题意知,即,
化简,得,即曲线的方程为.
（2）证明:设直线l的方程为,,,
联立方程,得消去y并整理,得,则,且,
所以,,
所以.
因为,所以,即,
所以,所以,
,
,
所以
,即为定值.