广东省茂名市信宜市信宜中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

信宜市信宜中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．( )
A. B. C. D.
2．若复数的实部与虚部互为相反数，则的值为( )
A.0 B.2 C.8 D.
3．已知平面向量，，且，则( )
A.-8 B. C. D.8
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则( )
A.2 B. C. D.1
5．如图，向量( )
A. B. C. D.
6．已知，则( )
A. B. C. D.
7．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在上单调递减
C.函数是奇函数
D.该函数的图象可由的图象向左平行移动个单位长度得到
8．如图，在重的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为，，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )
A.， B.， C.， D.，
二、多项选择题
9．对于，下列说法正确的有( )
A.存在，满足，，，
B.若，则
C.若，则是钝角三角形
D.若，则为等腰三角形
10．已知向量，，，给出下列判断，其中正确的是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
11．已知函数在区间上有且仅有两个不同的零点，则( )
A.在区间上有两条对称轴 B.的取值范围是
C.在区间上单调递增 D.若，则
三、填空题
12．已知，，，且，则__________.
13．已知，，则__________.
四、双空题
14．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则__________，的取值范围是__________.
五、解答题
15．已知，，与的夹角为.
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数k的值.
16．为绘制海底地貌图，测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得，，，，同时测得海里.
（1）求的长度；
（2）求C，D之间的距离.
17．已知函数.
（1）若，，求的值；
（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
（1）求B；
（2）若的周长为，且，求的面积.
19．如图，点P，Q分别是矩形的边，上的两点，，.
（1）若P，Q分别为，的中点，求；
（2）若，，，求的范围；
（3）若，连接交的延长线于点T，Q为的中点，试探究线段上是否存在一点H，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：
，故选：D.
2．答案：D
解析：因为复数的实部为2，虚部为，
由题意可得，解得故选：D.
3．答案：B
解析：由题意知，所以，解得.故选：B.
4．答案：A
解析：易知，由正弦定理得，
化简得.故选：A.
5．答案：C
解析：由图可知，，
所以.故选：C.
6．答案：B
解析：因为，
平方得，又，
故，
则.故选：B.
7．答案：B
解析：由图象可知，，解得，故，
所以，
又，则，，所以，，
由于，所以，所以，
对于A，，A说法错误；
对于，当时，，故在上单调递减，B说法正确；
对于C，，所以是偶函数，
C说法错误；
对于D，的图象向左平行移动个单位长度得，D说法错误；故选：B.
8．答案：C
解析：如图所示：
设两根绳子的拉力分别为，.
作，使，.
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故两根绳子拉力的大小分别为，.故选：C.
9．答案：BC
解析：对于选项A：由余弦定理可得：
，
即，所以这样的三角形不存在，故A错误；
对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确；
对于选项C：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以C为钝角，即是钝角三角形，故C正确；
对于选项D：因为在三角形中，A，B，，
故若，则或，可得或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D不正确，故选：BC.
10．答案：AC
解析：对A：由，故，即，故A正确；
对B：若，则有，
即可能出现，但与垂直的情况，故B错误；
对C：若，则，即有，故C正确；
对D：当时，，课本规定与任何向量共线，故D错误.故选：AC.
11．答案：BC
解析：区间上且，
故在有且仅有两个不同的零点，
所以，可得，B对；
当时，此时只有一条对称轴，
即在上可能只有一条对称轴，A错；
区间上，而，
所以在区间上单调递增，C对；
由，即，又，
所以或，可得或，D错.故选：BC.
12．答案：
解析：，，
因为，所以，解得.
13．答案：
解析：，，，
.
14．答案：；
解析：由正弦定理，可得，则.
由，可得，，
所以.
由是锐角三角形，可得，，则，
所以，.
所以.
15．答案：（1）2
（2）
解析：（1）根据题意，，
又.
（2）根据题意，，
即，
，
解得.
16．答案：（1）
（2）海里
解析：（1）如图所示，在中，，，且海里.
可得，
又因为，所以，
由正弦定理，
可得.
（2）因为，且，，
可得，所以，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得，
即（海里）
所以C，D间的距离为海里.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为
，
又，，所以，即，
而，故，
所以
.
（2）将函数的图象向右平移个单位，
得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
得到的图象，即，
因为，所以，
所以，
则，
所以在上的值域为.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1），
，，
由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以；
（2），，，，
又，，
即，解得，
，，，
，
又的周长为，，
解得，
，，，.
19．答案：（1）
（2）
（3）见解析
解析：（1）
.
，
，
.
（2）由，，故，，
则，
，
由，故；
（3）如图所示，以A点为坐标原点，为x轴，建立直角坐标系，
由题意可得，，，即，
假设存在点H，使得最大，由，即有最大，
设，当时，角度为0，此时不可能最大，故，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即存在，且.