浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·杭州月考）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．36 B．48 C．96 D．24
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由等差数列的性质知，故
故答案为：B.
【分析】由等差数列的性质，题中的条件可直接使用，根据前n项和的推理可得结果.
2．（2024高二下·杭州月考）某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A．0.15 B．0.25 C．0.3 D．0.2
【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：由X~，可得，故，故答案为：C.
【分析】根据正态分布的性质可知，密度函数的对称轴为x=100，而条件中，故可得0.3.
3．（2024高二下·杭州月考）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由表格易知得m=，于是1×+2×+3×=，
故答案为：B.
【分析】根据随机变量的概率之和为1，求出m的值，再根据公式求出期望值.
4．（2024高二下·杭州月考）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解： 由导数的定义知，而得f'(x)=1，
故切线的斜率为1，故切线方程为y-1=1(x-1)，即y=x.
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义与题中的条件可知切线的斜率，由点斜式求出切线方程.
5．（2024高二下·杭州月考）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由得，由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=，
故答案为：D.
【分析】在A条件下B发生的概率与B不发生的概率之和为1，可求得P(B|A)，条件概率的乘法公式可得P(AB).
6．（2024高二下·杭州月考）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲 乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．12 C．48 D．36
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲乙捆绑的安排方法有=48种，甲乙捆绑且丙在两端的安排方法有=24种，
故甲乙站在一起且丙不站两端的方法有48-24=24种，
故答案为：A.
【分析】甲乙、丙三个特殊元素优先考虑甲乙捆绑，再减去丙在两端的种数即可得甲乙站一起，丙不站两端的方法数.
7．（2024高二下·杭州月考）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意即证，即，令g(x)=，求导g’(x)=
①当a≤0时，g'(x)≤0，g(x)单调递减，而g(0)=0，当，g(x)<0，不符合题意；
②当a>0时，令g’(x)==0得x=ln
(1)当ln>0，即a<2时，g(x)在(0，ln)单调递减，在(ln，+∞)单调递增，
gmin=g(ln)=-a+2lna+2-2ln2，设h(a)=-a+2lna+2-2ln2，h'(a)=-1+=，
当a∈(0，2)时h'(a)>0，h(a)在(0，2)单调递增，而h(2)=0，故h(a)<0，即gmin=g(ln)<0，不符合题意；
(2)当ln≤0，即a≥0时，此时g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(0)=0，g(x)在(0，+∞)都有g(x)≥0，即
综上所述，a的范围是.
故答案为：C
【分析】将恒成立问题转化为含参数的函数问题，构造函数g(x)=，求导并讨论其单调性及最值，分成2个大类，a≤0与a>0，而a>0范围时，要进行第二次分类讨论，即ln>0与ln≤0，找出符合题意的a的取值范围即可.
8．（2024高二下·杭州月考）记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A．23 B．22 C．24 D．25
【答案】D
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】解：bn=2[an]-3
=5[an]-3an=5[]-n-6=5([]-2)-n-6=5[]-n-4，
而[]+[]+...+[]=0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3+4+4+4+5+5+5+6+6+6=63，
故b1+b2+b3+...+b20=5×63--4×20=25，
故答案为：D.
【分析】利用取整函数的定义及=x-[x]，直接计算即可，数列部分则利用等差数列前n项和公式计算即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·杭州月考）对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好
B．若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点
C．建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强
D．残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好
【答案】A,C,D
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：系数R2越大，拟合效果越好，故A正确；
回归方程必过样本中心点()，故B错误；
相关系数的绝对值越接近1，则相关必更强，故C正确；
残差图越窄，表示实际值与理论值越接近，即拟合效果越好，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据相关系数、线性回归方程、残差等相关识记的概念直接进行判断即可.
10．（2024高二下·杭州月考）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令x=1得a0=1，故A正确；
令y=x-1得x=y+1代入原式得，得a4=，a6=，故B错误，
令y=得，，故，故D错误；
两边同时求导得，令x=2得，故C正确.
故答案为：AC.
【分析】利用赋值可直接令x=1可判断A选项正确，换元令y=x-1，可化为常规的二项式展开，可判断B、D，利用导数的性质，两边同时求导可判断C选项.
11．（2024高二下·杭州月考）已知函数，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．，使有两解，则
D．有最大值
【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A选项，于是故函数在(0，)单调递减，在(，+∞)单调递增，无法判断的大小，故A错误；
对于B选项，f0(x)=lnx，设g(x)=lnx-x+1，则g'(x)=，故函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减，g(x)≤g(0)=0，故B正确.
对于C选项，，故，故函数在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)单调递减，当a=e时仅有一解，故C错误；
对于D选项，，故，故函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减，故，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】结合导数判断的单调性，从而可以判断a、b的大小；B不等式移项构造函数，转化为最值问题，求新函数的最大值即可；C结合导数得到函数的单调性，求出极值点，得到反例；D结合导数可得最大值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·杭州月考）已知数列满足，且，则 .
【答案】1
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】解：令n=1得，得a3=3，令n=2得a4=1，同理得a5=2，a6=3，依次赋值可得a10=1，
故答案为1.
【分析】直接赋值求出a3，a4，a5的值，找到规律可得a10的值.
13．（2024高二下·杭州月考）已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意X=0，1，2，P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，故E(x)=，
故答案为.
【分析】先得出X的取值为0，1，2，再分别求出对应的概率可求出期望值.
14．（2024高二下·杭州月考）已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为 .
【答案】
【知识点】抽象函数及其应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由知f'(x)为奇函数，故f(x)为偶函数，当x>0时，，
令g(x)=f(x)-，当x>0时，g'(x)>0，g(x)为偶函数.由，
故，而g(4)=f(4)-=1，故g(x-2)故答案为：(-2，6)
【分析】由知f'(x)为奇函数，故f(x)为偶函数，再根据复原出原函数分析原函数的奇偶性，从而得到不等式的解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·杭州月考）已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
【答案】（1）解：由题意可得.
，则
（2）解：，当时，，所以的递增区间为；当时，，所以的递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据切线方程可得到直线的斜率即在处的导数值，求导代入即可求出a的值；
(2)求导后令导数值等于0，求出对应的极值点，根据原函数的单调性判断极大值与极小值，最后求出对应的极值.
16．（2024高二下·杭州月考）为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》 《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
参考公式：.
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
性别 体育运动 合计
喜欢 不喜欢
男生 50
女生 15
合计
（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有的把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；
（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
【答案】（1）解：根据题意完成如下列联表，
性别 体育运动 合计
喜欢 不喜欢
男生 50 10 60
女生 25 15 40
合计 75 25 100
假设：“是否喜欢体育运动”与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无
关.
（2）解：记事件：“所选3人中至少有两位是男生”，“所选3人中有女生”
则
所以.
【知识点】条件概率；2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据所给数据完成列联表，代入公式求出随机变量χ2，再对照参考数据可得出结论；
(2)先求出有两名男生且有一个名生的概率和至少2位男生的概率，再由条件概率的定义求出 已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
17．（2024高二下·杭州月考）已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.
【答案】（1）解：数列的前项和为，且，
当时，，当时，，故，
又数列为等比数列，设公比为，
（2）解：，
，
故，
而，故，
由于当时，，故，
所以
【知识点】数列的应用；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)由前n项和作差法可求出数列an的通项公式，求出等比数列的公比可求得通项；
(2)将(1)中的通项代入(2)式，将代数式进行裂项便可求和，即可比较大小.
18．（2024高二下·杭州月考）有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.
（1）求；
（2）求证：为等比数列（其中），并求出；
（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求（结果保留两位有效数字）.
【答案】（1）解：由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，
由此可得：.
（2）解：由题意，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故
所以累加可得
所以.
（3）解：由（2）可知，，所以，
而随机变量服从二项分布，所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；二项分布
【解析】【分析】(1)由题意知向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，可直接求出P1，而P2则有两种可能，可能1次向右移动至2，可能2次向移动1个单位至2；
(2)由题意可得Pi、Pi-1、Pi-2的关系式，迭代可得的通项，再累加可得Pi的通项.
19．（2024高二下·杭州月考）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，所以，
由解得，由解得，
故的单调递增区间为的单调递减区间为；
（2）解：方法一
①由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，
其图象如图所示，
所以的取值范围为.
②：令则，所以，所以，即
令，则，
令，则，所以在单调递减，
所以，即，所以在单调递减，所以
.由（*），所以，
由题①，故.
方法二：
①由，即，令，
则，所以函数在单调递增.
因为，即，所以有两解，可知.
令，则在单调递增，令，
所以在单调递减，在单调递增.
因为，所以，所以.
综上的取值范围为.
②因为，所以，即，所以
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由题①，，所以，
可得，所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】(2)①方法一：由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，
其图象如图所示，
所以的取值范围为.
②方法一：令则，所以，所以，即
令，则，
令，则，所以在单调递减，
所以，即，所以在单调递减，所以
.由（*），所以，
由题①，故.
方法二：
②因为，所以，即，所以
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由题①，，所以，
可得，所以.
【分析】(1)时，函数解析式确定，求导后确定极值点，可得函数在每个区间内的单调性；
(2)①观察方程两边可同构一个函数，根据单调性并结合函数的图象可求a的范围；
②方法一：整体换元成单一变量的函数，根据导数求单调性进行求解.
方法二：借助函数h(x)的单调性，有，解不等式即可.
1 / 1浙江省杭州市“桐·浦·富·兴”教研联盟2023-2024学年高二下学期5月调研测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·杭州月考）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．36 B．48 C．96 D．24
2．（2024高二下·杭州月考）某校一次数学考试成绩服从正态分布，已知，则（ ）
A．0.15 B．0.25 C．0.3 D．0.2
3．（2024高二下·杭州月考）已知随机变量的分布列如下，则（ ）
1 2 3
A． B． C． D．
4．（2024高二下·杭州月考）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·杭州月考）已知是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·杭州月考）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲 乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在两端，不同的安排方法数有（ ）
A．24 B．12 C．48 D．36
7．（2024高二下·杭州月考）已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·杭州月考）记表示不超过的最大整数，，如，已知数列的通项公式为，数列满足，则（ ）
A．23 B．22 C．24 D．25
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·杭州月考）对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（ ）
A．在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好
B．若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点
C．建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强
D．残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好
10．（2024高二下·杭州月考）已知，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高二下·杭州月考）已知函数，其中，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．，使有两解，则
D．有最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高二下·杭州月考）已知数列满足，且，则 .
13．（2024高二下·杭州月考）已知盒子内有大小相同，质地均匀的2个红球和3个白球，现从中取两个球，记随机变量为取出的红球的个数，则 .
14．（2024高二下·杭州月考）已知函数满足，且，当时，，则不等式的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024高二下·杭州月考）已知函数在处的切线与直线垂直.
（1）求；
（2）求的极值.
16．（2024高二下·杭州月考）为贯彻落实《健康中国行动（2023-2030年）》 《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，某高中学校学生发展中心随机抽查了100名学生，其中男生与女生人数之比为，并对他们进行了“是否喜欢体育运动”的问卷调查，得到如下统计结果：
参考公式：.
0.10 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
性别 体育运动 合计
喜欢 不喜欢
男生 50
女生 15
合计
（1）请根据要求完成列联表，并根据独立性检验，判断是否有的把握认为“是否喜欢体育运动”与性别有关；
（2）为了了解学生不喜欢体育运动的原因，从上述不喜欢体育运动的同学中随机选3位同学进行咨询，所选的3人中已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
17．（2024高二下·杭州月考）已知数列的前项和为，且，数列为等比数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.
18．（2024高二下·杭州月考）有一款闯关游戏，其规则如下：一颗棋子位于数轴原点处，若掷出的骰子大于或者等于3，则棋子向右移动一个单位（从0移动到1），若掷出的骰子小于或者等于2，则棋子向右移动两个单位（从0移动到2），若棋子移动到99处，则“闯关失败”，若棋子移动到100处，则“闯关成功”，无论“闯关失败”或者“闯关成功”都将停止游戏，记棋子在坐标处的概率为.
（1）求；
（2）求证：为等比数列（其中），并求出；
（3）若有5人同时参加此游戏，记随机变量为“闯关成功”的人数，求（结果保留两位有效数字）.
19．（2024高二下·杭州月考）已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若关于的方程有两根（其中），
①求的取值范围；
②当时，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由等差数列的性质知，故
故答案为：B.
【分析】由等差数列的性质，题中的条件可直接使用，根据前n项和的推理可得结果.
2．【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：由X~，可得，故，故答案为：C.
【分析】根据正态分布的性质可知，密度函数的对称轴为x=100，而条件中，故可得0.3.
3．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由表格易知得m=，于是1×+2×+3×=，
故答案为：B.
【分析】根据随机变量的概率之和为1，求出m的值，再根据公式求出期望值.
4．【答案】A
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解： 由导数的定义知，而得f'(x)=1，
故切线的斜率为1，故切线方程为y-1=1(x-1)，即y=x.
故答案为：A.
【分析】根据导数的定义与题中的条件可知切线的斜率，由点斜式求出切线方程.
5．【答案】D
【知识点】全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由得，由乘法公式得P(AB)=P(A)P(B|A)=，
故答案为：D.
【分析】在A条件下B发生的概率与B不发生的概率之和为1，可求得P(B|A)，条件概率的乘法公式可得P(AB).
6．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲乙捆绑的安排方法有=48种，甲乙捆绑且丙在两端的安排方法有=24种，
故甲乙站在一起且丙不站两端的方法有48-24=24种，
故答案为：A.
【分析】甲乙、丙三个特殊元素优先考虑甲乙捆绑，再减去丙在两端的种数即可得甲乙站一起，丙不站两端的方法数.
7．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由题意即证，即，令g(x)=，求导g’(x)=
①当a≤0时，g'(x)≤0，g(x)单调递减，而g(0)=0，当，g(x)<0，不符合题意；
②当a>0时，令g’(x)==0得x=ln
(1)当ln>0，即a<2时，g(x)在(0，ln)单调递减，在(ln，+∞)单调递增，
gmin=g(ln)=-a+2lna+2-2ln2，设h(a)=-a+2lna+2-2ln2，h'(a)=-1+=，
当a∈(0，2)时h'(a)>0，h(a)在(0，2)单调递增，而h(2)=0，故h(a)<0，即gmin=g(ln)<0，不符合题意；
(2)当ln≤0，即a≥0时，此时g(x)在(0，+∞)上单调递增，g(0)=0，g(x)在(0，+∞)都有g(x)≥0，即
综上所述，a的范围是.
故答案为：C
【分析】将恒成立问题转化为含参数的函数问题，构造函数g(x)=，求导并讨论其单调性及最值，分成2个大类，a≤0与a>0，而a>0范围时，要进行第二次分类讨论，即ln>0与ln≤0，找出符合题意的a的取值范围即可.
8．【答案】D
【知识点】数列的应用；数列的求和
【解析】【解答】解：bn=2[an]-3=5[an]-3an=5[]-n-6=5([]-2)-n-6=5[]-n-4，
而[]+[]+...+[]=0+0+1+1+1+2+2+2+3+3+3+4+4+4+5+5+5+6+6+6=63，
故b1+b2+b3+...+b20=5×63--4×20=25，
故答案为：D.
【分析】利用取整函数的定义及=x-[x]，直接计算即可，数列部分则利用等差数列前n项和公式计算即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】用样本的数字特征估计总体的数字特征；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：系数R2越大，拟合效果越好，故A正确；
回归方程必过样本中心点()，故B错误；
相关系数的绝对值越接近1，则相关必更强，故C正确；
残差图越窄，表示实际值与理论值越接近，即拟合效果越好，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】根据相关系数、线性回归方程、残差等相关识记的概念直接进行判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：令x=1得a0=1，故A正确；
令y=x-1得x=y+1代入原式得，得a4=，a6=，故B错误，
令y=得，，故，故D错误；
两边同时求导得，令x=2得，故C正确.
故答案为：AC.
【分析】利用赋值可直接令x=1可判断A选项正确，换元令y=x-1，可化为常规的二项式展开，可判断B、D，利用导数的性质，两边同时求导可判断C选项.
11．【答案】B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：对于A选项，于是故函数在(0，)单调递减，在(，+∞)单调递增，无法判断的大小，故A错误；
对于B选项，f0(x)=lnx，设g(x)=lnx-x+1，则g'(x)=，故函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减，g(x)≤g(0)=0，故B正确.
对于C选项，，故，故函数在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)单调递减，当a=e时仅有一解，故C错误；
对于D选项，，故，故函数在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减，故，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】结合导数判断的单调性，从而可以判断a、b的大小；B不等式移项构造函数，转化为最值问题，求新函数的最大值即可；C结合导数得到函数的单调性，求出极值点，得到反例；D结合导数可得最大值.
12．【答案】1
【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的递推公式
【解析】【解答】解：令n=1得，得a3=3，令n=2得a4=1，同理得a5=2，a6=3，依次赋值可得a10=1，
故答案为1.
【分析】直接赋值求出a3，a4，a5的值，找到规律可得a10的值.
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意X=0，1，2，P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，故E(x)=，
故答案为.
【分析】先得出X的取值为0，1，2，再分别求出对应的概率可求出期望值.
14．【答案】
【知识点】抽象函数及其应用；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由知f'(x)为奇函数，故f(x)为偶函数，当x>0时，，
令g(x)=f(x)-，当x>0时，g'(x)>0，g(x)为偶函数.由，
故，而g(4)=f(4)-=1，故g(x-2)故答案为：(-2，6)
【分析】由知f'(x)为奇函数，故f(x)为偶函数，再根据复原出原函数分析原函数的奇偶性，从而得到不等式的解.
15．【答案】（1）解：由题意可得.
，则
（2）解：，当时，，所以的递增区间为；当时，，所以的递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)根据切线方程可得到直线的斜率即在处的导数值，求导代入即可求出a的值；
(2)求导后令导数值等于0，求出对应的极值点，根据原函数的单调性判断极大值与极小值，最后求出对应的极值.
16．【答案】（1）解：根据题意完成如下列联表，
性别 体育运动 合计
喜欢 不喜欢
男生 50 10 60
女生 25 15 40
合计 75 25 100
假设：“是否喜欢体育运动”与性别无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即可以认为“是否喜欢体育运动”与性别无
关.
（2）解：记事件：“所选3人中至少有两位是男生”，“所选3人中有女生”
则
所以.
【知识点】条件概率；2×2列联表
【解析】【分析】(1)根据所给数据完成列联表，代入公式求出随机变量χ2，再对照参考数据可得出结论；
(2)先求出有两名男生且有一个名生的概率和至少2位男生的概率，再由条件概率的定义求出 已知至少有两位是男生的条件下，求另外一位是女生的概率.
17．【答案】（1）解：数列的前项和为，且，
当时，，当时，，故，
又数列为等比数列，设公比为，
（2）解：，
，
故，
而，故，
由于当时，，故，
所以
【知识点】数列的应用；数列的求和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)由前n项和作差法可求出数列an的通项公式，求出等比数列的公比可求得通项；
(2)将(1)中的通项代入(2)式，将代数式进行裂项便可求和，即可比较大小.
18．【答案】（1）解：由题意，向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，
由此可得：.
（2）解：由题意，，则，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故
所以累加可得
所以.
（3）解：由（2）可知，，所以，
而随机变量服从二项分布，所以.
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；二项分布
【解析】【分析】(1)由题意知向右移动一步的概率为，向右移动两步的概率为，可直接求出P1，而P2则有两种可能，可能1次向右移动至2，可能2次向移动1个单位至2；
(2)由题意可得Pi、Pi-1、Pi-2的关系式，迭代可得的通项，再累加可得Pi的通项.
19．【答案】（1）解：当时，，所以，
由解得，由解得，
故的单调递增区间为的单调递减区间为；
（2）解：方法一
①由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，
其图象如图所示，
所以的取值范围为.
②：令则，所以，所以，即
令，则，
令，则，所以在单调递减，
所以，即，所以在单调递减，所以
.由（*），所以，
由题①，故.
方法二：
①由，即，令，
则，所以函数在单调递增.
因为，即，所以有两解，可知.
令，则在单调递增，令，
所以在单调递减，在单调递增.
因为，所以，所以.
综上的取值范围为.
②因为，所以，即，所以
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由题①，，所以，
可得，所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】(2)①方法一：由，即，即，
令，上式为，因为，
所以在上单调递增，故等价于，
即在上有两根，
令，则，由解得，由解得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以有极大值，且当时，
其图象如图所示，
所以的取值范围为.
②方法一：令则，所以，所以，即
令，则，
令，则，所以在单调递减，
所以，即，所以在单调递减，所以
.由（*），所以，
由题①，故.
方法二：
②因为，所以，即，所以
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由题①，，所以，
可得，所以.
【分析】(1)时，函数解析式确定，求导后确定极值点，可得函数在每个区间内的单调性；
(2)①观察方程两边可同构一个函数，根据单调性并结合函数的图象可求a的范围；
②方法一：整体换元成单一变量的函数，根据导数求单调性进行求解.
方法二：借助函数h(x)的单调性，有，解不等式即可.
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