浙江省金华第一中学2024届高三领军班下学期数学6月模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024·金华模拟）若复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设z=a+bi，则有a+bi+i=2i(a+bi-i)，即有a+(b+1)i=-2(b-1)+2ai，于是有a=-2(b-1)，b+1=2a，解得a=，b=，即z=+i，|z|=，
故选：A.
【分析】直接设z=a+bi，利用复数运算的得a、b的值，从而求得结果.
2．（2024·金华模拟）已知点在拋物线上，为的焦点，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：将点A(1，2)代入抛物线方程得4=2p，得p=2.抛物线的准线为x=-，AF=1-(-1)=2，
故选：B.
【分析】将点代入抛物线方程得p的值，从而求得抛物线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求得AF的长.
3．（2024·金华模拟）设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得M=，N=，P=，
A.N-P=，无法确定大小，故A错误；
B.P-M=，而a>c且b>c，故a+b>2c，2c-(a+b)<0，即PC.N-M=，由a+b>2c得N-M>0，故C错误；
D.M+N-2P=，无法确定大小，故D错误；
故选：B.
【分析】先分别表达M、N、P，再分别作差比较大小，即可得结果.
4．（2024·金华模拟）两圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：联立和得x-y+1=0即为公共弦的方程，圆心(0，0)到弦的距离为d=，
故弦长为2，
故选：B.
【分析】直接联立两方程即可得弦的直线方程，利用其中一圆，求弦心距，再用勾股定理即可求出弦的长度.
5．（2024·金华模拟）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布.
A．82 B．78 C．74 D．70
【答案】B
【知识点】正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意知，P(|z-57.4|<20.664)≈0.68，
故P(z>78.064)≈，故P(z<78.064)=1-0.16=0.84，故全体学生成绩的第84百分位数约为78.
故答案为：B
【分析】由离散系数=可得标准差，再由题目所给数据正态分布的性质可得P(z<78.064)=1-0.16=0.84，即可知第84百分位数约为78.
6．（2024·金华模拟）已知函数，若成等差数列，且，则（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由知，即有，
故f(x)关于点()对称，注意到，而成等差数列且
可得x1+x3=，x2=，故，
故选：C.
【分析】观察函数的特征知f(x)关于点()对称且过点()可得.
7．（2024·金华模拟）满足的正整数的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．17 D．18
【答案】D
【知识点】数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：，
故=，
即有3n(n+1)>1012，当n=17时，3×17×18=918<1012；
当n=18时，3×18×19=1026>1012，故满足题意的n的最小整数为18，
故选：D.
【分析】不等式左边的通式进行裂项，即，求和再求出n的范围即可.
8．（2024·金华模拟）已知正方形的边长为分别是边上的点（均不与端点重合），记的面积分别为.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：如图所示：
设AM=x，AN=y，则，，
S1=(1-x)(1-y)=，整理得x+y=1+
而S2=1---=
由x+y=1+≥2，当且仅当x=y时取等号，即由1+≥2得，即有
故S2=∈[2-，]
故选：D.
【分析】由相向数量积的定义可化简，建立x，y的等量关系，借助基本不等式求出S2的取值范围.
二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024·金华模拟）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为4 D．的最小值为0
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，则，
因为
，
A、因为，，所以函数为偶函数，故A正确；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、因为，所以没有最大值，故C错误；
D、当时，函数取最小值，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求定义域，再利用正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系化简，逐项分析判断即可.
10．（2024·金华模拟）某数学建模活动小组在开展“空中不可到达两点的测距问题”探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定之间的距离的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：不妨设BC=a，AC=b，AB=c，CM=m，CN=n，NB=h，MA=d，MN=x，∠ACB=α，∠NCB=β，∠MCA=γ，∠MCN=θ，∠ABC=，
A中，已知a，b，β，γ，，在RtNCB中，由tanβ=，可确定h，同理在RtMCA中，可确定d，在ABC中，已知a，b，，可利用余弦定理解三角形可能有两解，故A不符合题意；
B中，已知a，b，α，γ，β，θ，在RtNCB中，由tanβ=，cosβ=，可确定h，n，在ABC中，利用余弦定理得c，在RtMCA中，由勾股定理可得m，在MCN中，由余弦定理得x2=d2+c2+h2-2dh，解此关于x，d的二元二次方程可能有两个解，故B不符合题意；
C中，已知a，b，β，γ，θ，在RtNCB中，由cosβ=可确定n，同理在MCA中，可确定m，由a，b，α及余弦定理可确定MN，故C符合题意；
D中，已知a，b，α，γ，β，由a，b，α，可确定c，在RtNCB中，由tanβ=，可确定h，同理在RtMCA中，可确定d，
由可唯一确定MN，故D符合题意；
故答案为：CD.
【分析】综合应用正弦定理与余弦定理解三角形，结合题所提供的角一一验证即可.
11．（2024·金华模拟）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．直线过定点 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：不妨设A()，B()，则切线PA：，同理切线PB：，点 在直线，故A错误；
对于B，k3=，k4=而 得，
故，故B正确；
对于C，联立得，由韦达定理知，
同样联立知得，而，得，
整理得得x0-y0==∈（0，1），故C错误；
对于D，不妨设x0=secθ，y0=tanθ，θ∈（0，），故=5secθ-3tanθ=，令则有3sinθ+ucosθ=5，即有，即有得u≥4，故的最小值为4 ，故D正确；
故选：BD.
【分析】 由椭圆上的切线方程可知AB的直线方程为，可验证A错误；通过设点A()，B()分别表达出 ，结合可验证B正确；通过联立消元可得，得出x0-y0==∈（0，1）即可验证C错误；利用三角代换x0=secθ，y0=tanθ，结合正弦函数的有界性可得的最小值为4.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024·金华模拟）设集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：易知由知
①A= ，即有a2-6<1，得
②A≠ 时，a2-6≥1，即或
，≤a-1，a≤
综合①②得，即a的范围是.
答案为：.
【分析】由，对集合A进行分类讨论，即分A= 和A≠ 求出a的范围即可.
13．（2024·金华模拟）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）.
【答案】1280
【知识点】等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：设经过n小时，有an个正常细菌，bn个非正常细菌，
则有an+1=2an，bn+1=an+2bn，而a1=2，b1=1
故an=2n，bn+1=2bn+2n，于是，即是首项和公差都为的等差数列，得bn=，
所以a8+b8=28+8·27=1280.
故答案为：1280.
【分析】由题意知正常细菌与非正常细菌的增长特征，求出通项，即可求8小时分裂的细菌数.
14．（2024·金华模拟）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为 .
【答案】；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由切线长公式可知该四面体的对棱长度之和相等，故BD=6，BC=8，知ABD为等边三角形且AC=BC=CD，故点C在平面ABD内的射影为ABD的中心，设射影为H，则BH=6=2，由勾股定理得CH=，
SABD=，故V=
四面体存在棱切圆，故球心必在CH上，设球心为I，过I作IEBC于点E，由CEI~CHB得即有得r=，
即棱切球的半径为.
故答案为：，.
【分析】根据切线长公式知四面体对棱长度相等，即可得其为正棱锥，由其性质可得其高，即可求体积，棱切球球心在CH上，设半径为r，根据相似三角形求出其半径即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024·金华模拟）记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
【答案】（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)先化简整理可得sin(A+B)=cosB，根据角度的范围即可求得；
（2）由正弦定理得，根据(1)中的结论将角度全部化为角B相关的式子，利用基本不等式求出最小值.
16．（2024·金华模拟） 如图，在三棱台中，上下底面分别是边长为2和4的正三角形，平面.设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高.
【答案】（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又，所以l，
因为，所以，
又，且平面平面，
所以平面.
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示：
设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由线面平行的性质知交线l||BC，由 可得线面垂直关系，即平面；
(2)以A为原点建立空间坐标系，利用法向量出求直线EF与平面ABC夹角的正弦值，即可求出高度.
17．（2024·金华模拟）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，求点的坐标.
【答案】（1）解：因为双曲线实轴长为，故的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）解：设则，不防设Q到直线.离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据实轴长为2可得a=， 同时右焦点到准线的距离为1可得b=1，即可求出双曲线的方程；
(2)设曲线上的点，并分别表达出QH1和QH2的长度，合理消元求出方程的解即可.
18．（2024·金华模拟） 盒中有标记数字的小球各1个.
（1）随机一次取出3个小球，求3个小球上的数字之和大于10的概率；
（2）随机一次取出1个小球并记录下小球上的数字，重复以上操作，直到记录下的数字中同时出现1和2或者同时出现3和4.记操作的次数为.
（i）若每次操作后不将取出的小球放回盒中，求的分布列及数学期望；
（ii）若每次操作后将取出的小球放回盒中，求的数学期望.
【答案】（1）解：一次性取3个球的种数n=，取3个小球上的数字之和大于10的情况有{6，5，4}、{6，5，3}、{6，5，1}、{6，4，3}、{6，4，2}、{6，4，1}、{6，3，2}、{5，4，3}、{5，4，2}、{5，4，1}共10种，故.
（2）解：(2)（i）P(x=2)=，P(x=3)=，P(x=4)=，P(x=5)=
求的分布列 ：
2 3 4 5
（i）
（ii）P(x=2)=，P(x=3)=，P(x=i)=，而iP(x=i)=，，，
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)取出3个球的种数直接可得，而取出大10的情况穷举出来即可；
（2）（i）不放回的取出小球直接计算对应的概率，求得X的分布列，求出期望值；
(ii)求出iP(x=i)的表达式并累加，累加后求出其极限，即为期望值.
19．（2024·金华模拟）设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，
①均有，则记；
②均有，则记.
（1）设，求；
（2）设.若对于任意，均有，求的取值范围；
（3）已知对于任意 与均存在.证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的 与中至少一个成立”.
【答案】（1）解：因为，故在上为严格增函数，
因此.
（2）解：因为，而，
因为，故是在处的切线
而存在极值点，而，可得到如下情况：
极小值 极大值
情况一：当时，此时，此时，不符题意舍去.
情况二：当时，此时与在上均为严格增函数，
因此当时，恒成立，因此，
而在上成立，进而，故.
（3）解：先证明必要性：若为上的严格增函数，则任取，，因为，
所以或或或，因为为上的严格增函数，所以可得：
或或或，所以不难可得：，所以或成立.
同时对为上的严格减函数，同理可证.
下面证明充分性：当与其中一式成立时，不可能为常值函数，先任取，总有或，
假设存在，使得，记，
则，因为存在，则或，不妨设，则，否则当，此时，矛盾，进而可得，则，因此①.
最后证明为上的严格减函数，任取，需考虑如下情况：
情况一：若，则，否则，
记，则，
，同理若，
所以，根据①可得：.
情况二：若，则，否则，
，由此矛盾，因为，同情况一可得矛盾，
因此.
情况三：若，同上述可得，，
所以.
情况四：若，同上述可得，.
情况五情况七同情况一情况四可知，可证明恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由题间求导根据函数的单调性求出最大值与最小值，即为所求；
(2)先求出函数f(x)的导数，利用函数的单调性求出函数在极大值与极小值，分类讨论即与求得当时的k的取值范围；
(3)分别证明必要性与充分性，当f(x)为增函数，可证明，得或，当f(x)为减函数时同理可证明.
证明充分性时，当与其中一式成立时，不可能为常值函数，先任取，总有或，假设存在，使得，分多种情况情况一：若和情况二：若，情况三：若，情况四：若等，同理可证得结论.
1 / 1浙江省金华第一中学2024届高三领军班下学期数学6月模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024·金华模拟）若复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·金华模拟）已知点在拋物线上，为的焦点，则（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．（2024·金华模拟）设的平均数为与的平均数为与的平均数为.若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·金华模拟）两圆与的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．1
5．（2024·金华模拟）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（ ）
附：若随机变量服从正态分布.
A．82 B．78 C．74 D．70
6．（2024·金华模拟）已知函数，若成等差数列，且，则（ ）
A．0 B． C． D．
7．（2024·金华模拟）满足的正整数的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．17 D．18
8．（2024·金华模拟）已知正方形的边长为分别是边上的点（均不与端点重合），记的面积分别为.若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2024·金华模拟）已知函数，则（ ）
A．是偶函数 B．的最小正周期为
C．的最大值为4 D．的最小值为0
10．（2024·金华模拟）某数学建模活动小组在开展“空中不可到达两点的测距问题”探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中均与水平面垂直，在已测得可直接到达的两点间距离的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，其中一定能唯一确定之间的距离的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·金华模拟）已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为.记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．直线过定点 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024·金华模拟）设集合，若，则实数的取值范围为 .
13．（2024·金华模拟）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的细菌的个数为 （用数字作答）.
14．（2024·金华模拟）称四面体的棱切球为与该四面体的每条棱内部都相切的球.已知四面体存在棱切球，且，则该四面体的体积为 ，棱切球的半径为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2024·金华模拟）记的内角的对边分别为，已知.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
16．（2024·金华模拟） 如图，在三棱台中，上下底面分别是边长为2和4的正三角形，平面.设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的正弦值为，求该三棱台的高.
17．（2024·金华模拟）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1.
（1）求的方程；
（2）过上一点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，求点的坐标.
18．（2024·金华模拟） 盒中有标记数字的小球各1个.
（1）随机一次取出3个小球，求3个小球上的数字之和大于10的概率；
（2）随机一次取出1个小球并记录下小球上的数字，重复以上操作，直到记录下的数字中同时出现1和2或者同时出现3和4.记操作的次数为.
（i）若每次操作后不将取出的小球放回盒中，求的分布列及数学期望；
（ii）若每次操作后将取出的小球放回盒中，求的数学期望.
19．（2024·金华模拟）设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，
①均有，则记；
②均有，则记.
（1）设，求；
（2）设.若对于任意，均有，求的取值范围；
（3）已知对于任意 与均存在.证明：“为上的增函数或减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的 与中至少一个成立”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：设z=a+bi，则有a+bi+i=2i(a+bi-i)，即有a+(b+1)i=-2(b-1)+2ai，于是有a=-2(b-1)，b+1=2a，解得a=，b=，即z=+i，|z|=，
故选：A.
【分析】直接设z=a+bi，利用复数运算的得a、b的值，从而求得结果.
2．【答案】B
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：将点A(1，2)代入抛物线方程得4=2p，得p=2.抛物线的准线为x=-，AF=1-(-1)=2，
故选：B.
【分析】将点代入抛物线方程得p的值，从而求得抛物线的准线，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离求得AF的长.
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由题意得M=，N=，P=，
A.N-P=，无法确定大小，故A错误；
B.P-M=，而a>c且b>c，故a+b>2c，2c-(a+b)<0，即PC.N-M=，由a+b>2c得N-M>0，故C错误；
D.M+N-2P=，无法确定大小，故D错误；
故选：B.
【分析】先分别表达M、N、P，再分别作差比较大小，即可得结果.
4．【答案】B
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：联立和得x-y+1=0即为公共弦的方程，圆心(0，0)到弦的距离为d=，
故弦长为2，
故选：B.
【分析】直接联立两方程即可得弦的直线方程，利用其中一圆，求弦心距，再用勾股定理即可求出弦的长度.
5．【答案】B
【知识点】正态分布定义；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意知，P(|z-57.4|<20.664)≈0.68，
故P(z>78.064)≈，故P(z<78.064)=1-0.16=0.84，故全体学生成绩的第84百分位数约为78.
故答案为：B
【分析】由离散系数=可得标准差，再由题目所给数据正态分布的性质可得P(z<78.064)=1-0.16=0.84，即可知第84百分位数约为78.
6．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由知，即有，
故f(x)关于点()对称，注意到，而成等差数列且
可得x1+x3=，x2=，故，
故选：C.
【分析】观察函数的特征知f(x)关于点()对称且过点()可得.
7．【答案】D
【知识点】数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：，
故=，
即有3n(n+1)>1012，当n=17时，3×17×18=918<1012；
当n=18时，3×18×19=1026>1012，故满足题意的n的最小整数为18，
故选：D.
【分析】不等式左边的通式进行裂项，即，求和再求出n的范围即可.
8．【答案】D
【知识点】平面向量的综合题
【解析】【解答】解：如图所示：
设AM=x，AN=y，则，，
S1=(1-x)(1-y)=，整理得x+y=1+
而S2=1---=
由x+y=1+≥2，当且仅当x=y时取等号，即由1+≥2得，即有
故S2=∈[2-，]
故选：D.
【分析】由相向数量积的定义可化简，建立x，y的等量关系，借助基本不等式求出S2的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：函数的定义域为，则，
因为
，
A、因为，，所以函数为偶函数，故A正确；
B、函数的最小正周期为，故B正确；
C、因为，所以没有最大值，故C错误；
D、当时，函数取最小值，，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先求定义域，再利用正弦的二倍角公式、同角三角函数基本关系化简，逐项分析判断即可.
10．【答案】C,D
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：不妨设BC=a，AC=b，AB=c，CM=m，CN=n，NB=h，MA=d，MN=x，∠ACB=α，∠NCB=β，∠MCA=γ，∠MCN=θ，∠ABC=，
A中，已知a，b，β，γ，，在RtNCB中，由tanβ=，可确定h，同理在RtMCA中，可确定d，在ABC中，已知a，b，，可利用余弦定理解三角形可能有两解，故A不符合题意；
B中，已知a，b，α，γ，β，θ，在RtNCB中，由tanβ=，cosβ=，可确定h，n，在ABC中，利用余弦定理得c，在RtMCA中，由勾股定理可得m，在MCN中，由余弦定理得x2=d2+c2+h2-2dh，解此关于x，d的二元二次方程可能有两个解，故B不符合题意；
C中，已知a，b，β，γ，θ，在RtNCB中，由cosβ=可确定n，同理在MCA中，可确定m，由a，b，α及余弦定理可确定MN，故C符合题意；
D中，已知a，b，α，γ，β，由a，b，α，可确定c，在RtNCB中，由tanβ=，可确定h，同理在RtMCA中，可确定d，
由可唯一确定MN，故D符合题意；
故答案为：CD.
【分析】综合应用正弦定理与余弦定理解三角形，结合题所提供的角一一验证即可.
11．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；椭圆的应用
【解析】【解答】解：不妨设A()，B()，则切线PA：，同理切线PB：，点 在直线，故A错误；
对于B，k3=，k4=而 得，
故，故B正确；
对于C，联立得，由韦达定理知，
同样联立知得，而，得，
整理得得x0-y0==∈（0，1），故C错误；
对于D，不妨设x0=secθ，y0=tanθ，θ∈（0，），故=5secθ-3tanθ=，令则有3sinθ+ucosθ=5，即有，即有得u≥4，故的最小值为4 ，故D正确；
故选：BD.
【分析】 由椭圆上的切线方程可知AB的直线方程为，可验证A错误；通过设点A()，B()分别表达出 ，结合可验证B正确；通过联立消元可得，得出x0-y0==∈（0，1）即可验证C错误；利用三角代换x0=secθ，y0=tanθ，结合正弦函数的有界性可得的最小值为4.
12．【答案】
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：易知由知
①A= ，即有a2-6<1，得
②A≠ 时，a2-6≥1，即或
，≤a-1，a≤
综合①②得，即a的范围是.
答案为：.
【分析】由，对集合A进行分类讨论，即分A= 和A≠ 求出a的范围即可.
13．【答案】1280
【知识点】等比数列的实际应用
【解析】【解答】解：设经过n小时，有an个正常细菌，bn个非正常细菌，
则有an+1=2an，bn+1=an+2bn，而a1=2，b1=1
故an=2n，bn+1=2bn+2n，于是，即是首项和公差都为的等差数列，得bn=，
所以a8+b8=28+8·27=1280.
故答案为：1280.
【分析】由题意知正常细菌与非正常细菌的增长特征，求出通项，即可求8小时分裂的细菌数.
14．【答案】；
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：已知如图所示：
由切线长公式可知该四面体的对棱长度之和相等，故BD=6，BC=8，知ABD为等边三角形且AC=BC=CD，故点C在平面ABD内的射影为ABD的中心，设射影为H，则BH=6=2，由勾股定理得CH=，
SABD=，故V=
四面体存在棱切圆，故球心必在CH上，设球心为I，过I作IEBC于点E，由CEI~CHB得即有得r=，
即棱切球的半径为.
故答案为：，.
【分析】根据切线长公式知四面体对棱长度相等，即可得其为正棱锥，由其性质可得其高，即可求体积，棱切球球心在CH上，设半径为r，根据相似三角形求出其半径即可.
15．【答案】（1）证明：由，可得且，
所以，
因为为三角形的内角，可得，即，得证.
（2）解：由（1）知，且，
所以
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)先化简整理可得sin(A+B)=cosB，根据角度的范围即可求得；
（2）由正弦定理得，根据(1)中的结论将角度全部化为角B相关的式子，利用基本不等式求出最小值.
16．【答案】（1）证明：由三棱台知，平面，
因为平面，且平面平面，所以，
又，所以l，
因为，所以，
又，且平面平面，
所以平面.
（2）解：以为原点建立空间直角坐标系如图所示：
设三棱台的高为，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以平面的一个法向量，
易得平面的一个法向量，
设与平面夹角为，由（1）知，
所以由已知得，
解得，所以三棱台的高为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)由线面平行的性质知交线l||BC，由 可得线面垂直关系，即平面；
(2)以A为原点建立空间坐标系，利用法向量出求直线EF与平面ABC夹角的正弦值，即可求出高度.
17．【答案】（1）解：因为双曲线实轴长为，故的一条渐近线方程为，
则，故双曲线的方程为.
（2）解：设则，不防设Q到直线.离为：
，同理，
所以①
又因为②，
由①②解得或，
当时，解得，
又，则，解得，
同理有或或，
所以存在点或或或满足.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据实轴长为2可得a=， 同时右焦点到准线的距离为1可得b=1，即可求出双曲线的方程；
(2)设曲线上的点，并分别表达出QH1和QH2的长度，合理消元求出方程的解即可.
18．【答案】（1）解：一次性取3个球的种数n=，取3个小球上的数字之和大于10的情况有{6，5，4}、{6，5，3}、{6，5，1}、{6，4，3}、{6，4，2}、{6，4，1}、{6，3，2}、{5，4，3}、{5，4，2}、{5，4，1}共10种，故.
（2）解：(2)（i）P(x=2)=，P(x=3)=，P(x=4)=，P(x=5)=
求的分布列 ：
2 3 4 5
（i）
（ii）P(x=2)=，P(x=3)=，P(x=i)=，而iP(x=i)=，，，
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)取出3个球的种数直接可得，而取出大10的情况穷举出来即可；
（2）（i）不放回的取出小球直接计算对应的概率，求得X的分布列，求出期望值；
(ii)求出iP(x=i)的表达式并累加，累加后求出其极限，即为期望值.
19．【答案】（1）解：因为，故在上为严格增函数，
因此.
（2）解：因为，而，
因为，故是在处的切线
而存在极值点，而，可得到如下情况：
极小值 极大值
情况一：当时，此时，此时，不符题意舍去.
情况二：当时，此时与在上均为严格增函数，
因此当时，恒成立，因此，
而在上成立，进而，故.
（3）解：先证明必要性：若为上的严格增函数，则任取，，因为，
所以或或或，因为为上的严格增函数，所以可得：
或或或，所以不难可得：，所以或成立.
同时对为上的严格减函数，同理可证.
下面证明充分性：当与其中一式成立时，不可能为常值函数，先任取，总有或，
假设存在，使得，记，
则，因为存在，则或，不妨设，则，否则当，此时，矛盾，进而可得，则，因此①.
最后证明为上的严格减函数，任取，需考虑如下情况：
情况一：若，则，否则，
记，则，
，同理若，
所以，根据①可得：.
情况二：若，则，否则，
，由此矛盾，因为，同情况一可得矛盾，
因此.
情况三：若，同上述可得，，
所以.
情况四：若，同上述可得，.
情况五情况七同情况一情况四可知，可证明恒成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由题间求导根据函数的单调性求出最大值与最小值，即为所求；
(2)先求出函数f(x)的导数，利用函数的单调性求出函数在极大值与极小值，分类讨论即与求得当时的k的取值范围；
(3)分别证明必要性与充分性，当f(x)为增函数，可证明，得或，当f(x)为减函数时同理可证明.
证明充分性时，当与其中一式成立时，不可能为常值函数，先任取，总有或，假设存在，使得，分多种情况情况一：若和情况二：若，情况三：若，情况四：若等，同理可证得结论.
1 / 1
