2023-2024学年江西省重点中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江西省重点中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
B. 棱柱的底面一定是平行四边形
C. 用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
D. 圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形
2.的值是( )
A. B. C. D.
3.设复数满足，在复平面内对应的点为，则( )
A. B.
C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D. 或
5.已知，为异面直线，平面，平面直线满足，，，，则( )
A. 且 B. 且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于
6.已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点( )
A. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
B. 先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
D. 先将横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
7.已知，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在区间上的最大值为，则实数的取值个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，其中为虚数单位，则下列元素属于集合的是( )
A. B. C. D.
10.已知，满足：对任意，恒有，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，其中正确的结论是( )
A. 平面
B. 平面平面
C.
D. 直线与所成角的大小为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为 ．
13.如图所示为水平放置的正方形，在平面直角坐标系中，点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图四边形，则点到轴的距离为______．
14.已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，其中为虚数单位
求复数；
若复数所对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，．
证明：平面平面；
设，圆锥的侧面积为，求三棱锥的体积．
17.本小题分
平面向量，，，点为直线上的一个动点．
当取得最小值时，求的坐标；
当点满足的条件和结论时，求的值．
18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点．
当时，求的值；
设，求的取值范围．
19.本小题分
已知三棱锥的棱、、两两互相垂直，且．
若点、分别在线段、上，且，，求二面角的余弦值；
若以顶点为球心，为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交，试求交线长是多少？
答案解析
1.
【解析】解：对于，经过圆台侧面上一点只有一条母线，A错误；
对于，棱柱的底面是多边形，不一定是平行四边形，B错误；
对于，用一个平面平行于棱锥底面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台，C错误；
对于，圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，因为是轴截面，所以都是全等的等腰三角形，三角形的底边是圆锥的底面圆的直径，三角形的两腰是圆锥的母线长，D正确；
故选：．
2.
【解析】解：
．
故选：．
3.
【解析】解：在复平面内对应的点为，
，，，
，
，
，
故选C．
4.
【解析】解：，，
则．
故选：．
5.
【解析】解：由平面，直线满足，且，所以，
又平面，，，所以．
由直线，为异面直线，且平面，平面，则与相交，否则，若则推出，
与，异面矛盾．
故与相交，且交线平行于．
故选：．
6.
【解析】解：先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象．
故选：．
7.
【解析】解：，
在上的投影向量的坐标为：．
故选：．
8.
【解析】解：，则，
若，即时，在单调递增，
，
作函数的图象，作与仅一个交点，
若，即时，，
，，，．
满足要求．综上知，满足条件的共有两个．
故选：．
9.
【解析】解：根据题意，中，
时，；
时，；
时，；
时，，
．
选项A中，；
选项B中，；
选项C中，；
选项D中，．
故选：．
10.
【解析】解：不妨设，
则，其几何意义为定点到轴上的动点的距离，
显然当轴时，取得最小值，
若对任意，恒有，即，
所以轴，
所以，即，故B正确，D错误；
因为，
所以，故A错误，C正确．
故选：．
11.
【解析】解：如图，连接，
可知为中点，则，
又平面，平面，
所以平面，故A正确；
同理可得，
因为平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面，
所以平面平面，故B正确；
由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，
又，所以，故C正确；
由于，分别为侧棱，的中点，
所以，
又四边形为正方形，
所以，，
所以直线与所成的角即为，
又三角形为等边三角形，所以，故D错误．
故选：．
12.
【解析】解：由为纯虚数，
得，解得：．
故答案为：．
13.
【解析】解：在直观图中，，，
故点到轴的距离为．
故答案为：．
14.
【解析】解：由知，，
，
此时，
当时，，
只需，得，又，
；
当时，
成立，满足题意；
当时，，要使，
只需，
综上知，
故，
则实数的取值范围是．
故答案为：．
15.解：复数，，
；
，
复数所对应的点在第四象限，
，
解得．
实数的取值范围是．
【解析】由复数，，则，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数可求；
直接把代入进行化简，再由复数所对应的点在第四象限，列出不等式组，求解即可得答案．
16.解：连接，，，是底面的内接正三角形，
所以．
是圆锥底面的圆心，所以：，
所以，
所以≌≌，
由于．
所以
所以，，，平面，
由于，
所以平面，
由于平面，
所以：平面平面．
设圆锥的底面半径为，圆锥的母线长为，
所以．
由于圆锥的侧面积为，
所以，整理得，
解得．
所以．
由于，解得
则：．
【解析】首先利用三角形的全等的应用求出，，进一步求出二面角的平面角为直角，进一步求出结论．
利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果．
17.解：设，
点为直线上的一个动点，
向量与共线，
，
即，
，
当且仅当时得取得最小值，
此时；
当时，，，
．
【解析】设出，利用平面向量的坐标表示与运算法则，即可求出对应的坐标；
利用平面向量的夹角余弦公式，即可求出对应的余弦值．
18.解：由三角函数的定义可得，，
当时，，即，
．
，
，
，
，则，
，
则，
即的取值范围为．
【解析】由三角函数定义得到，故，利用诱导公式，辅助角公式化简得到答案；
化简得到，由，整体法求解值域．
19.解：因为、、两两垂直，，
，平面，，所以平面，
，
过点作于，连接，则，
又平面，所以，又，平面，，
所以平面，又平面，所以 ，
即为的平面角，
在中，，
所以二面角的余弦值．
，，
所以以为球心，为半径的球与三棱锥交于四段弧，
平面与球面相交所成的弧是以为圆心，
为半径的圆弧；
平面与球面相交，得到的弧是以为圆心，为半径的弧，
，，又为锐角，
所以，所对圆心角，所以；
由对称性可知，平面与球面相交所得到弧长与情况相同，长度也为；
，
所以为等边三角形，，
点到的距离等于，
所以平面与球面相交得到弧长，
所以交线长．
【解析】作出二面角的平面角，在直角三角形求解即可；
根据数形结合和弧长公式求解即可．
第1页，共1页