2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年广东省广州市三校高一下学期期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.边长为的正三角形的直观图的面积是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，不共线，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数若，则( )
A. B. C. D.
8.已知为的外心，为锐角且，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知一组样本数据，，，，现有一组新的数据，，，，，则与原样本数据相比，新的样本数据( )
A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 极差变小 D. 方差变小
10.吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例在实际应用中，通常用吸光度和透光率来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为，如表为不同玻璃材料的透光率：
玻璃材料 材料 材料 材料
设材料材料材料的吸光度分别为，则( )
A. B. C. D.
11.如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，连接，为线段的中点，则在翻折过程中，( )
A. 异面直线与所成的角为定值
B. 存在 某个位置使得
C. 点始终在三棱锥外接球的外部
D. 当二面角为时，三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
12.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷次，向上的点数分别记为，则事件“”的概率为 ．
13.设钝角三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
将四个半径为的小球放入一个大球中，则这个大球表面积的最小值为 ．
15.本小题分
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
求样本成绩的第百分位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差．
16.本小题分
已知函数．
求函数在上的单调递减区间；
若在区间上恰有两个零点，，求的值．
17.本小题分
如图，四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，
求证：平面平面：
在线段上是否存在点，使与平面所成的角为？若存在，求出有的值：若不存在，说明理由．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，
求
若，角的平分线交于．
求证：
若，求的最大值
19.本小题分
已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得其中，，，，，则称为的“重覆盖函数”．
判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由；
若为的“重覆盖函数”，求实数的取值范围；
函数表示不超过的最大整数，如，，，若，为，的“重覆盖函数”，求正实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
因为每组小矩形的面积之和为，
所以，则．
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设第百分位数为，
由，得，故第百分位数为．
由图可知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
故这两组成绩的总平均数为，
由样本方差计算总体方差公式可得总方差为：
．

16.解：
对于，
令，解得，
因为，当时，；当时，；
所以在上的单调递减区间为．
因为在区间上恰有个零点，
所以在有两个根，
令，解得，
所以当时，函数图像的对称轴为，
所以，则，
又，则，
所以．

17.解：
方法一由，得，
因为平面，是在平面内的射影，
所以是与平面所成的角，即，
在中，，解得，
因为所以
在中，，
因为所以
在中，由余弦定理得，即．
由，得，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面．
方法二由，得，
因为平面，是在平面内的 射影，
所以是与平面所成的角，即，
在中，，解得，
分别以、、为轴、轴、轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，，，，
，，，
所以，，
所以，，即，
又，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面．
存在，理由如下，
方法一取的中点，连接，如图所示，
因为，所以，
因为所以，所以四边形为矩形，
所以，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，所以是在平面内的射影，
所以是与平面所成的角，即，
由知，，且是的中点，
所以在中，，
因为平面，平面，所以，
在中，，
由，得，在中，，
取的中点为，连接，又，
所以，在中，，
所以，解得，所以，
所以，，所以．
所以线段上存在点，使与平面所成的角为，此时．
方法二由知，，，，，，
设，
所以，，
因为平面，平面，所以，又，
且，所以平面，
所以是平面的一个法向量，
所以，
解得，或，
当时，点与重合，不符合题意，舍去，
所以当时，与平面所成的角为，且．

18.解：
因为，
结合正弦定理和余弦定理可得
，即，
方程两边同时除以，得，
令，所以，
解得或即或，
所以或．
证明：在中，由正弦定理得，
由余弦定理得
同理在中，则
，
，
因为是的角平分线，则，
所以，
又，
则，，
得，，
所以，
得
，
所以
，得证．
因为，所以，即，
由式可知，
所以，由得
，
所以，
，当且仅当，时等号成立，
所以，
故的最大值为．

19.解：
，，
由题目定义可知，对，恰好存在不同的实数，
使得，其中
即，易得，
故对，能找到一个，使得，
是的“重覆盖函数”，．
由题意得：的定义域为，
即对，存在个不同的实数
使得其中，
又，故，
所以，即：
，
即对，有个根，
当时，已有个根，
故只需时，仅有个跟，
当时，，符合题意，
当时，，
则需满足，解得：，
当时，抛物线开口向下，
，，若仅有一个根，
由可知，当时，，
所以无解，则只需：
综上，实数的取值范围是．
因为，则对于，
，要有个根，
，作出函数图象如下：
有图象易知，当时，
，此时当时，则有，
解得：，要使得有个根，
则，
又因为，故，
故正实数的取值范围是．

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