2023-2024学年江西省重点中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年江西省重点中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集的个数是( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若，且，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列，则“”是“”成立的_____条件( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
7.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且当茶水温度降至时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为( )
参考数据：，，，
A. B. C. D.
8.已知函数若过点可以作曲线三条切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远已知，，则下列结果正确的有( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的有( )
A. 当时，函数的定义域为
B. 函数有最小值
C. 当时，函数的值域为
D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是
11.函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不大于实数的最大整数，例如：，，则下列命题正确的是( )
A. 函数为偶函数
B. 函数的值域为
C. 若，则的最小值为
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知数列的前项和为，则当最小时，的值为______．
14.设函数是定义域为的奇函数，且，都有当时，，则函数在区间上有______个零点．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
设集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知关于的函数，其中．
当时，求的值域；
若当时，函数的图象总在直线的上方，为整数，求的值．
17.本小题分
某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园图中阴影部分是宽度为的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季其中，区域的形状、大小完全相同设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．
用含有的代数式表示，并写出的取值范围；
当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
18.本小题分
已知数列满足，记．
证明：数列为等比数列；
求数列的前项和；
若，数列的前项和为，求证：．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数极值；
讨论在区间上单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为或，．
所以，
故；
集合，
若，则，
当时，，即，
当时，，解得，
故实数的取值范围为或．
16.解：当时，，
，，
，的值域为；
当时，函数的图象总在直线的上方，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为函数和在上均为单减函数，
所以在上为单增函数，最大值为，
因此，解得，且，
或．
17.解：设矩形花园的长为，
因为矩形花园的总面积为，所以，解得，
又因为阴影部分是宽度为的小路，可得，解得，
即关于的关系式为；
由知，，
则
，
当且仅当时，即时等号成立，
所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为．
18.证明：由，得，而，则，
又，因此，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得，，则，
令数列的前项和为，则，
，
两式相减得，则，
所以．
证明：由知，
，
而，所以．
19.解：函数的定义域为，
当时，，
求导得，由，得，
由，得，由，得，
因此在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，无极小值．
由，
在时，，
若，，即在区间上单调递增；
若，，即在区间上单调递减；
若，令，令，
可知在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：时，在区间上单调递增；
时，在区间上单调递减；
时，在上单调递增，
在上单调递减．
根据题意可知，
，
设，
则，
令，
则定义域上单调递增，易知，
即，使得，
即时，，故，此时单调递减，
时，，，此时单调递增，
则，
，即的取值范围是．
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