2023-2024学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省石家庄市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题：，都有，则命题的否定为( )
A. ，使得 B. ，都有
C. ，使得 D. ，都有
3.函数在处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
4.不等式的解集为空集，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是( )
A. B. C. D.
6.已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为( )
A. B. C. D.
7.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布假设随机变量，可以证明，对给定的，是一个只与有关的定值，部分结果如图所示：
通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布若共有名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为( )
A. B. C. D.
8.某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，，满足，且，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量，若，，则
B. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C. 已知，则
D. 从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，则取得件次品的概率为
11.已知函数，给出下列结论正确的是( )
A. 函数存在个极值点
B.
C. 若点，为函数图象上的两点，则
D. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.当时，的最大值是______．
13.二项展开式，则 ______， ______．
14.一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共个，其中黑球有个，现从中不放回的取球，每次取球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为元、元、元为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了件产品进行等级检测，检测结果如表：
产品等级 一等品 二等品 三等品
样本数量件
Ⅰ若从流水线上随机抽取件产品，估计件产品中恰有件一等品、件二等品的概率；
Ⅱ若从流水线上随机抽取件产品，记为这件产品中一等品的件数，为这件产品的利润总额．
求的分布列；
直接写出的数学期望．
16.本小题分
如图是我国年至年岁及以上老人人口数单位：亿的折线图．
注：年份代码分别对应年份．
由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数结果精确到加以说明；
建立关于的回归方程系数精确到，并预测年我国岁及以上老人人口数单位：亿．
参考数据：．
参考公式：相关系数．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
17.本小题分
为切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，各中小学积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查某校为研究本校学生的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了人，同时在未近视的学生中随机调查了人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视
未近视
能否有的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
据调查，某校患近视学生约为，而该校长时间使用电子产品的学生约为，这些人的近视率约为现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附：，其中．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
Ⅲ若对任意，存在，使得，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，．
Ⅰ若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
Ⅱ求的零点个数；
Ⅲ若，求证：对于任意，恒有．
答案解析
1.
【解析】解：，，
则．
故选：．
2.
【解析】解：：，都有，
则命题的否定为：，都有．
故选：．
3.
【解析】解：因为，则，
所以．
因此函数在处的切线斜率为．
故选：．
4.
【解析】解：不等式的解集为空集，．
故选A．
5.
【解析】解：从本不同的书中选本送给个人，每人本，
则有．
故选：．
6.
【解析】解：把代入，得，
则在样本点处的残差为．
故选：．
7.
【解析】解：基本服从正态分布，则，，
则，符合原则，
则，
则名考生成绩在的考生人数大约为：．
故选：．
8.
【解析】解：记事件：从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，
记事件：丢失的一箱是语文书，事件：丢失的一箱是数学书，事件：丢失的一箱是英语书，
则，
，
由贝叶斯公式可得．
故选：．
9.
【解析】解：对于，，
，
，A错误；
对于，，，
，，
，，
，即，B正确；
对于，，，
，即，C正确；
对于，，D错误．
故选：．
10.
【解析】解：对于选项A，已知随机变量，
又，，
则，，
即，
即选项A错误；
对于选项B，两位男生和两位女生随机排成一列，
则两位女生不相邻的概率是，
即选项B正确；
对于选项C，已知，
则，
则，
即选项C正确；
对于选项D，从一批含有件正品、件次品的产品中任取件，
则取得件次品的概率为，
故选项D错误，
故选：．
11.
【解析】解：当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在，，上单调递增，在，上单调递减，
则函数的极大值点为，，极小值点为，，共个，故选项A正确；
因为，，
即，故选项B错误；
因为在处取得极大值，极大值，
又，
当时，恒成立，
所以当时，，
因为在处取得极小值，
所以当时，，
此时，故选项C正确；
因为，
解得或，
若，
解得，
所以关于的方程有两个不相等的实数根，
当且仅当方程有一个非实根，
易知当或时，直线与函数的图象有一个公共点，
解得或，
则满足条件的实数的取值范围为，故选项D正确．
故选：．
12.
【解析】解：，，
，
令，则，
，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，在上单调递减，
的最小值为，
即的最小值为．
故答案为：．
13.
【解析】解：根据二项式的展开式，
令，故；
令，故，，
令，故，，
得：，
故．
故答案为：；．
14.
【解析】解：设事件表示“第一次取出黑球”，事件表示“第二次取出白球”，
则，，
所以．
故答案为：．
15.解：Ⅰ记表示“第件产品是一等品”，
记表示“第件产品是二等品”，
记表示“件产品中恰有件一等品、件二等品”，
此时，
易知，，
则；
Ⅱ若从流水线上随机抽取件产品，
则的所有取值为，，，，
此时，，，，
所以的分布列：
．
【解析】Ⅰ由题意，记表示“第件产品是一等品”，记表示“第件产品是二等品”，记表示“件产品中恰有件一等品、件二等品”，结合所给信息代入公式求解即可．
Ⅱ得到的所有取值，求出相对应的概率，进而可列出分布列；
结合中信息代入公式进行求解即可．
16.解：由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，所以，
，，
所以，
，
，故与之间存在较强的正相关关系．
由，结合题中数据可得，
，
，
，
关于的回归方程，
年对应的值为，故，
预测年我国岁及以上老人人口数亿．
【解析】结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计．
17.解：零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
，
根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，
即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关联；
令“每天长时间使用电子产品的学生”，“每天非长时间使用电子产品的学生”，
“任意调查一人，此人近视”，
则，且，互斥，
，，，，
依题意，，
解得，
所以从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生患近视的概率为．
【解析】计算，对照临界值即可得出结论；
设令“每天长时间使用电子产品的学，“每天非长时间使用电子产品的学生”，“任意调查一人，此人近视”，利用全概率公式计算即可．
18.解：Ⅰ当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
Ⅱ由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
Ⅲ当时，．
又．
当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
当，即时，
对任意，．
所以解得．
当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
【解析】Ⅰ当时，化简不等式，然后求解即可．
Ⅱ由，得到不等式的解集是利用判别式转化求解即可．
Ⅲ通过的取值，转化求解即可．
19.解：Ⅰ已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
若在区间上恰有一个极值点，
此时，
解得，
则实数的取值范围为；
Ⅱ已知，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
当时，，
即，
此时函数在上无零点；
当时，
易知，，
所以函数在上存在唯一一个零点，
综上，有个零点；
Ⅲ证明：若，
此时，
若对于任意，恒有，
此时在上恒成立，
即证，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
则，，
故对于任意，恒有．
【解析】Ⅰ由题意，对函数进行求导，利用导数即可得到函数的单调性；
Ⅱ对函数进行求导，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可；
Ⅲ将代入函数的解析式中，将求证对于任意，恒有，转化成求证恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求证．
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