2023-2024学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省南平市高一下学期期末质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，水平放置的用斜二测画法画出的直观图为，其中，，，则中，( )
A. B. C. D.
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则( )
A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与对立 D. 与对立
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，为两个不重合的平面，，为两条不同的直线，( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.在中，，点是线段的中点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在某座山的山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡从向上走了米到达处，在处测得山顶的仰角为，则山高( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.在正四棱台中，，，，若球与上底面以及棱，，，均相切，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某校统计名学生体重，这些学生的体重数据单位：全部介于至之间，将数据整理得到如下所示的频率分布直方图，则( )
A. 频率分布直方图中的值为
B. 这名学生中体重不低于的人数为
C. 这名学生体重的第百分位数为
D. 这名学生体重的众数小于平均数
10.已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，( )
A. 若，则
B. 若是边长为的正三角形，则
C. 若，则是等腰三角形
D. 若，的中线长为，则的最大值为
11.如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，是底面圆周上一点，，是线段上的动点，则( )
A. 圆锥的体积为
B. 当是的中点时，线段在圆锥底面上的射影长为
C. 存在点，使得
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在的投影向量的坐标是 ．
13.从长度为，，，，的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则过，，三点的平面截此正方体所得截面的周长是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为纯虚数，且．
求复数；
若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
现有个北方城市，，和个南方城市，，，旅游爱好者甲计划从中任选个城市旅游．
求甲选择的个城市均是北方城市的概率；
若旅游爱好者乙也计划从这个城市中选个旅游，由于个人爱好，乙选择的个城市均是北方城市的概率为，且甲、乙两人的选择互不影响，求甲、乙两人中至少有一人的选择为个北方城市的概率．
17.本小题分
已知的 三个内角，，所对应的边分别为，，，且．
求；
若，且的面积为，求的周长．
18.本小题分
如图，在正方形中，点，分别是，的中点．现将沿折起，得到四棱锥．
证明：平面；
当为等边三角形时，证明：平面平面；
在的条件下，求二面角的余弦值．
19.本小题分
某校高一年级有男生人，女生人．为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本量为的样本，并观测样本的指标值单位：，计算得男生样本的身高平均数为，方差为下表是抽取的女生样本的数据：
抽取次序
身高
记抽取的第个女生的身高为，样本平均数，方差．
参考数据：，，．
若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
如果女生样本数据在之外的数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差；
用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求的值，．
答案解析
1.
【解析】，
对应点为，则在复平面内对应的点位于第一象限．
故选：．
2.
【解析】用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；
在中，，，，，
故选：
3.
【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币，其中朝上的情况共有正反，正正，反正，反反共种情况，
其中事件正反，反正，反反；事件正正，事件反反，
对，事件为事件可能同时发生，即反反这种情况，即事件，不对立，故A错误；
对，事件与事件显然不可能同时发生，则它们为互斥事件，故B错误；
对，显然事件和事件不可能同时发生，即它们互斥，且两者构成了所有的发生情况，即事件和事件必有一个发生，则与对立，故C正确；
对，事件与互斥，但是不对立，比如可能发生正反或反正的情况，故D错误．
故选：．
4.
【解析】由题意可知，因为，，
所以，
又因为，所以，
即，解得．
所以．
故选：．
5.
【解析】对于，若，，则或，故 A错误；
对于，若，，则或，故 B错误；
对于，若，，则或，故 C错误；
对于，若，，由面面平行的性质定理可得，故 D正确．
故选：
6.
【解析】 为线段的中点
，
又，
，
故选：．
7.
【解析】
如图，过点作于点，
由题意知，，，，米，
在中，，，，
而，
米，
米
故选：
8.
【解析】设棱台上下底面的中心为，连接，
则，
所以棱台的高，
设球半径为，根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于，与棱均相切于各边中点处，
设中点为，连接，
所以，解得，
所以球的表面积为．
故选：
9.
【解析】频率分布直方图的面积之和为，解得，故 A错；
，故 B对；
因为，，
所以故第百分位数为，故 C错；
众数为，平均数，故 D对．
故选：．
10.
【解析】对于，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故 A正确；
对于，，故 B错误；
对于，由正弦定理，得，，
因为，
所以，
所以，
所以，或，
所以，或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故 C错误；
对于，如图所示，
因为，为中点，
所以，
在中，，
在中，，
所以，
化简得，
因为，当且仅当时取等号，
所以，即，
所以的最大值为，故 D正确．
故选：．
11.
【解析】对于，设圆锥的底面半径为，高为，由题意知，
圆锥的母线长为，故，
故圆锥体积为， A错误；
对于，当为中点时，设在底面上的投影为，则为的中点，
则为线段在底面的投影，
，而，在中，
，
即，即线段在底面的投影长为， B正确；

对于，作于，作于，连接，
由于平面，平面，所以平面底面，
平面底面，底面，
，故平面，平面，故，
又，平面，故平面，
平面，故，
故当与重合时，， C正确；
对于，由的分析知，平面，而，
直线与平面所成角为，则其正切值为，
当时，所求角正切值的最大值为， D正确，
故选：
12.
【解析】根据投影向量的定义可知，
在上可投影向量为，
故答案为：
13.或
【解析】从条线段中任取条线段的基本事件有，总数为，能构成三角形的情况有：，共个基本事件，故概率为．
故答案为：
14.
【解析】因为，分别为棱，的中点，所以，
过点作交的延长线于点，交的延长线于点，
连接交于点，连接交于点，
因为，则，且分别是的中点，
故过点，，平面截该正方体所得截面为五边形，
由勾股定理得，，
故五边形的周长为．
故答案为：
15.
因为，
且为纯虚数，
所以，且，即，且，
又，故，
因为，所以，于是，
因此复数；
由知，故是关于的方程的另一个根，
所以由韦达定理得，，即，，
因此实数，．
【解析】由题意可得，且，由可得，联立求解即可；
由知，从而可得是关于的方程的另一个根，由韦达定理即可求解．
16.
由题意知，从个城市中任选个，得到的样本空间为，
则，
设事件“甲选择的个城市均是北方城市”，
则，所以，
因此，；
设事件“甲、乙两人中至少有一人的选择为个北方城市”，
事件“甲选择的个城市均是北方城市”，
事件“乙选择的个城市均是北方城市”．
则“甲选择的个城市不都是北方城市”，
“乙选择的个城市不都是北方城市”，由于甲、乙的选择互不影响，
所以与，与，与，与都相互独立，
由已知条件及可得，．
所以．
【解析】根据古典概型概率公式即可求解；
根据对立事件公式及独立性乘法公式即可求解．
17.
由正弦定理可得，
所以，
即，
因为，所以，
所以，化简得，即，
又由，可得，
故，所以；
由已知可得，，
可得，化简得，，即，
又由余弦定理可得，化简得，，
联立解得，
所以的周长为
【解析】利用正弦定理边化角，结合三角公式即可求解；
根据三角形的面积公式可得，再结合余弦定理即可求解．
18.
在正方形中，点，分别是，的中点，
所以，且，
故四边形为平行四边形，于是
在四棱锥中，平面，平面，
所以平面；
当为正三角形时，因为点是的中点，所以，
在正方形中，点，分别是，的中点，故
又，平面，平面，故平面，
因为平面，所以平面平面；
在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接．
在正方形中，令，则，．
因为为等边三角形，点为的中点，
所以，从而，即
由知，平面平面，平面平面，平面，
故平面，从而．
又平面平面，
故平面，而平面，故，
所以为二面角的平面角．
在中，
在中，，
因为，所以，于是，
从而在中，，
故，
因此，二面角的的余弦值为

【解析】先证明，再根据线面平行的判定定理即可证明；
先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明；
在四棱锥中，过点作于点，过点作于点，连接从而可证，进而得到平面，从而可得为二面角的平面角，计算求解即可．
19.
因为抽取的女生身高在之内的频率为，
所以估计该校女生身高在之内的人数为；
因为，所以，
故，则为离群值．
则剔除离群值剩下数据的平均数为：，
故剩余女生样本身高的平均数为，
又，
则剔除，剩余女生样本身高的方差为：；
采用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则男生个，女生个，
男生身高样本记为，均值，方差，
女生身高样本为，均值，方差
则总样本均值，
又因为，所以，同理可得，
故总样本方差
，
所以，估计学生总体身高平均数，标准差．
【解析】先求得抽取的女生身高在之内的频率，进而可求解；
求得，从而可知为离群值，进而可求得平均数和方差；
先推导，代入数据即可求解．
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