2023-2024学年山西省晋城市部分高中学校高二下学期7月期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年山西省晋城市部分高中学校高二下学期7月期末联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，，，且，，共面，则实数( )
A. B. C. D.
3.如图，过圆内一点作两条弦，且过圆心，，则( )
A. B. C. D.
4.过原点作曲线的切线，其斜率为，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的两条渐近线为，，过双曲线右焦点且垂直于轴的直线交，分别于点，，为坐标原点，若的面积为，则( )
A. B. C. D.
6.如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.若是上的增函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是( )
A. B. 点的坐标为
C. 直线与抛物线相切 D.
10.从，，，四个数字中随机抽取一个数字，记事件“取到数字或数字”，事件“取到数字或数字”，事件“取到数字或数字”，则下列说法正确的是( )
A. 事件相互独立
B. 事件为对立事件
C.
D. 设事件发生的次数为，则
11.已知正方体的棱长为，且为的中点，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 直线与夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则 ．
13.将名女生和名男生分配到两个不同的兴趣小组，要求每个兴趣小组分配男生、女生各人，则不同的分法种数为 ．
14.将的展开式中第项的系数记作，则 用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和
求的值；
证明：；
证明：．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，．
证明：平面；
过的中点作平面与平面平行，并分别交，于点，，且为的中点，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知直线分别交轴、轴于，两点，并交椭圆：于不同的两点，且三等分线段．
求椭圆的标准方程；
若斜率为的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，当的面积最大时，求直线的方程．
18.本小题分
已知函数．
当时，证明：函数为增函数；
当时，证明：．
19.本小题分
一个袋子中有大小、形状、质地完全相同的个球，号码分别标为，，，，，从中有放回地随机摸球次，每次摸球个，把每次摸到的个球号码之和记下，分别为，，．
若，求的概率；
求的值．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.解：当时，，
又，
所以．
因为，所以时取“”．
所以，
即当且仅当时取“”．
由当且仅当时取“”．
所以，，，，．
各式相加得：．
即．

16.解：在中，，，所以．
在中，，，，因为，所以即，
又，平面，，所以平面．
因为平面，所以，
又，平面，，
所以平面．
如图：以为原点，建立如图空间直角坐标系．
因为平面平面，且为中点，则为中点．
则，，，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，
则，取；
设平面的法向量为，
则，取．
设二面角为，则，
所以．

17.解：直线分别交轴、轴于，两点，故，
由于是线段的三等分点，所以，
故，
将代入椭圆方程可得
故椭圆方程为，
设直线：，
则
设，
则
故，
点到直线的距离，
故，当且仅当，即时等号成立，
时，，符合题意，
故的面积最大时，求直线的方程为

18.解：当时，，，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
所以函数为增函数；
当时，，，
，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
又，
所以存在，使得，此时，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
令，
则，
所以函数在上单调递减，
所以，
即，
所以．

19.解：当时，个小球得编号为：，，，，从中取个，其编号和记为，则为：，，，，，，
且
记事件：，则．
因为是有放回抽取，所以，所以．
用表示每次摸到的个球号码之和，则可以为：，，，，，，，，，，．
共个不同的结果，且每个结果出现的可能性相同，对应概率均为．
所以
所以

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