2023-2024学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高二下学期7月期末数学试题（含解析）

2023-2024学年甘肃省庆阳市华池县第一中学高二下学期7月期末
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量，则( ) 附：若随机变量，则．
A. B. C. D.
5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱年月日：分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕年，中国空间站将正式进入运营阶段假设空间站要安排甲、乙等名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.若是离散型随机变量，，又已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设某大学的女生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是( )
A. 与具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心
C. 若该大学某女生身高增加，则其体重约增加
D. 若该大学某女生身高为，则可断定其体重必为
10.已知圆，下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若，则该圆圆心为，半径为
C. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，则该直线方程为
D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
11.如图，点为正方形边上异于点的动点，将沿翻折，得到如图所示的四棱锥，且平面平面，点为线段上异于点的动点，则在四棱锥中，下列说法正确的有( )
A. 直线与直线必不在同一平面上 B. 存在点使得直线平面
C. 存在点使得直线与平面平行 D. 存在点使得直线与直线垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在展开式中，的系数为 结果是数字作答
13.已知函数的单调递减区间是，则的值为 ．
14.在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角的对边分别为已知．
求；
若的面积为，求．
16.本小题分
某市教育局进行新学年教师招聘工作，初试为笔试，考核内容为教育理论综合知识和专业知识，笔试成绩满分分，分及格，将笔试成绩分为“及格”与“不及格”两类，按照应届毕业生与往届毕业生两类统计如下：
不及格 及格
应届毕业生
往届毕业生
是否有以上的把握认为笔试成绩与毕业时间有关？
在笔试成绩中，根据毕业时间进行分层抽样，各层中按成绩由高到低的顺序共选取人进入复试，且这人中“双一流大学”毕业生有人，优秀班主任有人，若从这人中随机抽取人被某市重点中学录用，记这人中“双一流大学”毕业生的人数为，求的分布列及数学期望．
附：．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面，，，．
求证：平面平面；
若二面角的大小为，过点作于，求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，为右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，且．
求双曲线的方程；
若双曲线的左顶点为，过的直线与双曲线交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，设，的斜率分别为，，求的值．
19.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间和极值；
若函数有个零点，求实数的取值范围．
答案解析
1.
【解析】由已知可得当时，，则，
当时，，所以，
则．
故选：．
2.
【解析】解：
．
故选A．
3.
【解析】解：设向量与的夹角为，则由，
得，
所以，
因为，
所以，
故选B．
4.
【解析】因为，所以
所以
．
故选：
5.
【解析】由题知，名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种
故选：．
6.
【解析】，
则，
因为满足，所以函数的图象关于直线对称，
所以，所以，因为，所以的最小值为．
故选：
7.
【解析】，故随机变量的值只能为，
，解得或
所以．
故选：
8.
【解析】据题意，得，所以，
所以，
所以又，所以，所以，
所以
故选：．
9.
【解析】解：由于线性回归方程中的系数为，所以与具有正的线性相关关系，故A中结论正确；
又回归直线必过样本点的中心，因此中结论正确；
由线性回归方程中的系数的意义知，女生的身高每增加，其体重约增加，故C中的结论正确；
当某女生的身高为时，其体重的估计值是，而不是确定值，因此中的结论不正确．
故选ABC．
10.
【解析】将化为标准式可得，由圆的定义可知，，故 A对；
当时，圆的标准方程为，则圆心为，半径为，故B错误；
设过的直线方程为：，当时，圆心为，半径为，则，即，解得，直线方程为：，但当直线斜率不存在时，即，圆心到直线距离也为，故这样的直线方程有两条，C错误；
因为直线恒过圆的圆心，即，
则，当且仅当时取等号，故 D正确．
故选：
11.
【解析】解：假设直线与直线在同一平面上，而，，构成平面，
则可得，，，，五点共面，由已知可得点在平面外，故假设不成立，故A正确
B.若存在点使得直线平面，由条件得平面平面，
又平面，平面平面，所以，又，
所以中有两个直角，与三角形内角和为矛盾，所以不存在点使得直线平面，故B不正确；
C.取为的中点，，再取的中点，连接，，易得，
则且，四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，则直线与平面平行，故C正确；
D.过作于，因为平面平面，平面平面，
所以平面，过作于，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以．
若存在点使得直线与直线垂直， 平面，平面，，所以平面，
所以与重合，与三角形是以为直角的三角形矛盾，所以不存在点使得直线与直线垂直，故D不正确．
故选AC．
12.
【解析】展开式的通项为，
令，则，所以项的系数为．
故答案为：．
13.
【解析】解：，
由于函数的单调递减区间是，所以，是的两个零点，
所以，解得
所以．
故答案为．
14.或
【解析】因为，
由正弦定理得，即，
又由余弦定理得，，，
，
当且仅当时等号成立，又，的最大值为．
故答案为：
15.
，
．
由得，
由面积公式，可得，
根据余弦定理得，
则，
两式联立可得或．
【解析】由内角和定理结合诱导公式得出；
由面积公式得出，再由余弦定理求出，进而得出．
16.
完善列联表如下所示：
不及格 及格 合计
应届毕业生
往届毕业生
合计
零假设为笔试成绩与毕业时间无关．
依据列联表中数据，经计算得到：
，
所以，根据小概率的独立性检验，
没有的把握认为笔试成绩与毕业时间有关．
依题意，的所有可能取值为，
故的分布列为：
所以．
【解析】根据给定表中数据，计算再与临界值表比对即可；
随机变量的可能取值为：，计算随机变量每个可能取值的概率，并写出分布列及期望即可．
17.解：证明：因为底面，平面，
所以，又
故可得，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
由知平面，
所以，又，
所以即为平面和平面所成的角，
即，又，
所以，
又，，
则
如图，以为原点，，，为，轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立直角坐标系，
，，
设，，，
又点在上，
所以，
，
得，
又因为，
所以，
，
所以，
得，
所以，
，
过点作直线垂直于点，由知平面平面，平面平面，平面，，则平面，则即为平面的法向量，
，，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角为．
【解析】根据线线垂直得线面垂直，再由线面垂直得面面垂直即可证明，
由题意求出，的长，再建立直角坐标系转化为向量求解，通过点在上得出点的坐标，再求线面角的值．
18.
解：因为双曲线的离心率为，所以，可得，
设，则，即，
又双曲线的渐近线方程为，
所以，
又由于，则，故双曲线方程为．
解：设直线，其中，，，
联立方程组，整理得，
由于，且，
所以，．
因为直线的方程为，
所以的坐标为，同理可得的坐标为，
因为，，
所以
，
即为定值．


【解析】先由离心率为，得到，再由，结合双曲线的渐近线，求得，联立方程组求得的值，即可求解；
设直线，联立方程组得到，，得出直线的方程求得，，利用斜率公式，准确化简，即可求解．
19.解：由题意，函数可得，
当，时，；
当，时，；
当时，，
所以函数的单调增区间为和，
函数的单调减区间为，
函数的极大值为，函数的极小值为；
函数的定义域为，
则，
令，则，
所以，函数在上为增函数，且．
当时，即当时，对任意的恒成立，
所以函数为上的增函数，则函数在上至多只有一个零点，不合乎题意；
当时，即当时，则存在使得，
当时，，此时，则函数在上单调递减，
当时，，此时，则函数在上单调递增，
由于函数有两个零点，
当时，；当时，．
可得
，
可得，解得．
【解析】利用导数的性质，结合极值的定义进行求解即可；
根据导数的性质，结合构造新函数法、函数零点的定义，利用分类讨论思想进行求解即可．
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