2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末学业质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年甘肃省兰州第一中学高一下学期7月期末学业质量检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.故选：设，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B. C. D.
3.已知数列，，，，，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
4.记等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在处的导数为，则( )
A. B. C. D.
6.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
7.函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，正确的是( )
A. 函数是指数函数
B. 函数的值域是
C. 若，则
D. 函数的图像必过定点
10.已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是( )
A. B.
C. 是上的增函数 D. ，则有
11.数列的前项和为，若，，则有( )
A. B. 为等比数列
C. D.
12.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 为的最小值
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数值有正有负，则实数的取值范围为
14.函数的正数零点从小到大构成数列，则
15.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于 ．
16.已知函数，对任意的都有，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设函数．
求函数的单调区间．
若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足．
求数列的通项公式．
设，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数
求函数的单调区间；
若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
20.本小题分
设是公比大于的等比数列，，且是，的等差中项．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
21.本小题分
设函数．
时，求的最小值；
若在恒成立，求的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的对称中心的坐标；
求函数在的区间上的最大值和最小值．
答案解析
1.
【解析】解：集合，，
集合，
故选B．
2.
【解析】对于选项：由，则有，即，选项正确；
对于选项：由，则，，，
所以，则有，选项不正确；
对于选项：由，则，所以，即，选项不正确；
对于选项：因为，所以，即，选项不正确．
故选：
3.
【解析】解：由数列，，，，，则这个数列的通项公式为，
令，
解得，
故是这个数列的第项
故选B
4.
【解析】，，
解得
，，
，
．
故选：B.
5.
【解析】因为函数在处的导数为，
所以．
故选：
6.
【解析】解： ， ， ，
可得数列 是以为周期的周期数列， ，
故选：．
7.
【解析】对于函数，．
当时，；当时，．
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以，．
故选：．
8.
【解析】解：，，
则，
故选A．
9.
【解析】解：对于，根据指数函数是指形如，其中且的函数，判断函数不是指数函数，选项A错误；
对于，二次函数，时，，则，所以函数的值域是，选项B正确；
对于，时，指数函数在上单调递减，由得，所以选项C错误；
对于，函数中，令，则，，则的图象必过定点，选项D正确．
故选BD．
10.
【解析】解：由，
得，
即，
所以函数为增函数，
故，
所以，
故A正确，不正确；
函数为增函数时，
不一定为增函数，
如是增函数，
但是减函数，
所以不正确；
因为函数为增函数，
所以时，
有，
故有成立，
所以正确．
故选．
11.
【解析】解：数列的前项和为，若，，
所以当时，，
得：，
所以，即常数，
所以数列是以为第二项，为公比的等比数列．
所以，首项不符合通项，
故．
故选项D正确，C错误．
对于选项B：，所以，所以，
即常数，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确．
所以，故A正确．
故选：．
12.
【解析】解：数列的前项和为，
当时，，
当时，，
当时也成立，
，故A正确；
由于，当或时，取得最大值，故B错误；
由，解得，
，故C正确；
，故D错误．
故选：．
13.
【解析】当时，，不成立；
当时，，即，
解得，
故答案为：
14.
【解析】，
令得或，，
所以或，，
所以正数零点从小到大构成数列，，，．
15.
【解析】解：由题意可得，
令得，
即．
故答案为：．
16.
【解析】解：；
当时，，在单调递增，当时，，在单调递减；
是在上的最大值；
；
的取值范围为．
故答案为：．
17.解： ，当时，或 当时，．
由知，函数在为增，为减函数，为增函数，根据函数的图像特征，判断轴应在极值之间，得，

【解析】，，解或 或的解集；先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式．
18.解：，
，解得，
当时，由可得，
，
：，
，，，
即，
是以为首项，以为公差的等差数列，
综上所述，结论是：．
由可得
，
综上所述，．
【解析】由可得，再由时，与条件作差可得，从而利用等差数列求通项公式即可；
由利用裂项相消求和即可．
19.解：
所以
当时，，当时，；
即的单调递增区间是，单调递减区间是．
由得，
将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，
由知函数在时有极大值，作出其大致图象，

实数的取值范围是．

【解析】首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
由得，将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；
20.解：设等比数列的公比为，由题意可得，
又，可得，，
解得，舍去，
则；
解法一：由，
，
，
两式相减可得
，
所以．
解法二：由，
所以，
可得．
即．
【解析】设等比数列的公比为，由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求通项公式；
解法一：运用数列的错位相减法求和，计算可得所求和；
解法二：运用数列的裂项相消求和，计算可得所求和．
21.解：当时，，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
故当时，函数取得最小值．
，
令，则，
当时，，函数在上单调递增，，即，
所以在上单调递增，，满足题意；
当时，由可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增
当时，即，在单调递减，
所以，与恒成立矛盾，故不符合题意．
综上可得，的范围为．
【解析】把代入后对函数求导，结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；
结合导数研究函数的单调性，然后结合函数的性质可求．
22.解：，
则的最小正周期，
由，，得，，
即的对称中心的坐标为，．
当时，，
则当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，函数取得最小值，最小值为．
【解析】利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可
根据三角函数的对称性进行求解
求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可．
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