2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第七十中学等学校高一下学期期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年新疆乌鲁木齐市第七十中学等学校高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题：
若，则或的充要条件是且
若，，则；起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是( )
A. B. C. D.
2.下列关于复数的说法一定正确的是( )
A. 是虚数 B. 存在使得是纯虚数
C. 不是实数 D. 实部和虚部均为
3.一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是( )
A. ，，， B. ，
C. ， D. ，
5.年“中华情中国梦”中秋展演系列活动在厦门举办，包含美术、书法、摄影民间文艺作品展览，书画笔会，中秋文艺晚会等内容．假如在美术、书法、摄影民间文艺作品展览中，某区域有幅不同的美术作品、幅不同的书法作品，若从这幅作品中随机挑选幅作品挂在同一面墙上，则选出的幅作品为幅美术作品和幅书法作品的概率为( )
A. B. C. D.
6.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点，，处测得其顶点的仰角分别为，，，且米，则滕王阁的高度 米．
A. B. C. D.
7.给出下列命题，其中说法正确的是( )
A. 若，为两个随机事件，则
B. 若事件，，两两互斥，则
C. 若，为互斥事件，则
D. 若，则
8.如图，在平行四边形中，，，与交于点设，，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数的共轭复数记为，对于任意的两个复数，，与下列结论错误的是( )
A. 复数在复平面内对应的点位于在第二象限
B. 若复数满足，则
C.
D.
10.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是( )
A. 为定值 B. 的取值范围是
C. 当时，为定值 D. 的最大值为
11.如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是
A. 平面平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 在上存在点，使得 平面
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在一个不透明的纸盒中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在附近，则袋子中红球约有 个
13.已知，，且，则向量在向量上的投影向量为 ．
14.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，几何体中，面面，，，且，，四边形是边长为的菱形，，点为的交点．
证明：平面；
求三棱锥的体积；
16.本小题分
已知非零向量，满足，且，求与的夹角大小．
已知，是两个不共线的向量，向量，共线，求实数的值．
17.本小题分
某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人．
根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄；
现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的“奥运会”宣传使者．
若有甲年龄，乙年龄两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；
若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为和，据此估计这人中岁所有人的年龄的方差．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
若边上的高等于，求；
若为锐角三角形，求的面积的取值范围．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为正方形，为的中点，为上一点，为上一点，且平面平面．

求证：；
求证：为线段中点，并直接写出到平面的距离；
在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.解：证明：取中点，连接．

菱形为中点，
且，
且，
，
为平行四边形，，
面面，
平面；
面面，，面面，面，
所以面，
面面，
面，
到面的距离为，
菱形对角线，且菱形边长为，，
则，
，
三棱锥的体积．

16.解：因为，
所以，
设与的夹角为，，
所以，
所以．
因为，不共线，所以向量为非零向量，
因为向量，共线，
所以存在实数，使得，即，
必有，由，不共线，
所以，解得，
因此，当向量，共线时，．

17.解：设这人的平均年龄为，则
由题意得，第四组应抽取人，记为甲，，，，
第五组抽取人，记为乙，，
对应的样本空间的样本点为：
设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”，则
，
所以
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，
则，
，
因此第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为．
据此估计这人中岁所有人的年龄的方差为．

18.解：由正弦定理，，
所以，则，又，所以，
因为，
所以，解得，
又由余弦定理，，
解得，所以．
由正弦定理有，且由可知，
所以，
又因为锐角，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
所以面积的取值范围是．

19.解：因为四边形 为正方形，所以 ．
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
因为平面 平面，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以 ，
又因为为的中点，所以为线段中点．
由知， 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ，平面 平面 ，所以点 到平面 的距离等于点 到 的距离，
因为 ，所以 为正三角形，又 为 的中点，
所以点 到 的距离为 ，因为平面 平面，
所以点到平面的距离为 ．
存在，当为中点时，平面 平面 ，
证明如下：
连接，交于点，连接．
因为 ，并且 ，所以四边形为平行四边形，所以 ．
又因为为中点，所以 ．
因为平面 平面，平面 平面 ，
又 平面，由已知 ，
所以 平面，所以 平面．
又因为 平面，所以平面 平面．
所以存在点，使得平面 平面， ．

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