2023-2024学年福建省福州市九县（市、区）一中高一下学期7月期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年福州市九县（市、区）一中高一下学期7月期末联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.在复平面内，复数满足，则为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.设、是不同的直线，、是不同的平面，以下是真命题的为( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.从，，，这个数中随机取出个不同的数，则的概率为( )
A. B. C. D.
5.九章算术中将正四梭台上下底面均为正方形称为“方亭”现有一方亭，上底面边长为，下底面边长为，侧棱与下底面所成的角为，则此方亭的体积为( )
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
7.如图，某观察站在城的南偏西的方向，由城出发的一条公路走向是南偏东，在处测得公路上距处的处有一人正沿公路向城走去，走了之后到达处，此时，间的距离为要达到城，这个人还要走( )
A. B. C. D.
8.在平面四边形中，为正三角形，，，如图，将四边形沿折起，得到如图所示的四面体，若四面体外接球的球心为，当四面体的体积最大时，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9.已知函数，则( )
A. 是偶函数 B. 的对称轴是
C. 在区间上单调递减 D. 的最小值是
10.在张卡片上分别写上数字，从中随机抽出一张，记抽出的卡片上的数字为，甲表示事件“为偶数”，乙表示事件“为质数”，丙表示事件“能被整除”，丁表示事件“”，则( )
A. 甲与丙为互斥事件 B. 乙与丁相互独立
C. 丙与丁相互独立 D. 甲乙乙丙
11.已知棱长为的正方体中，下列结论中正确的是( )
A. 若点在线段上运动，异面直线与所成的角范围为
B. 若点在线段上运动，的最小值
C. 若将正方体视为容器容器厚度忽略不计，则底面直径为，高为的圆柱体能被整体放入该容器
D. 若点在的内部及边界上运动，且，则动点的轨迹长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一个容量为的样本，其数据依次为：，，，，，，，，，，则该组数据的第百分位数为____ ____．
13.年月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响则甲在两轮活动中答对个问题的概率为 ，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为 ．
14.在长方形中，，，点，分别为边和上两个动点含端点，且，设，，则的最小值为 ．
四、解答题：共77分。
15.（13分）在中，．
求；
若为边的中点，且，求的值．
16.（15分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，平面，且，是棱上的动点．
求证：平面平面；
若平面，求的值．
17.（15分）年月日教育部制定出台了“强基计划”，年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试，进入面试环节现随机抽取了名同学的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
求，的值，并估计这名同学面试成绩的平均数；
已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，求样本中这两组面试成绩的方差；
在第四、第五两组中，采用分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中选出人，求选出的两人来自不同组的概率．
18.（17分）如图，直三棱柱中，，，点是中点．
求证：平面；
求证：平面；
求二面角的余弦值．
19.（17分）已知函数的定义域为，如果存在区间，使得，则称区间为函数的一个和谐区间．
直接写出函数的所有和谐区间；
若区间是函数的一个和谐区间，求实数的值；
若函数存在和谐区间，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：因为 ，
由正弦定理可得 ，
即 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，又因为 ，
所以 ；
因为 为 边的中点， ，
所以 ，
设 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，

在 中， ，
在 中， ，
由余弦定理可得： ，
所以 ，即 ．

16.因为，所以，又，所以，
因为平面，平面，所以，
又，在平面内，，所以平面，
又平面，所以平面平面；
如图，连接，相交于点，
因为平面，面，面面，
所以，所以．

17.
由题意可知：，，
解得，；
由直方图知每组的频率依次为：，，，，
所以平均数：；
设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为，
且两组频率之比为，
则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，
第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为
．
故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是；
根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取人和人，分别设为和，
则在这人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有：
共个，即，
记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共个，即，
所以．
答：选出的两人来自不同组的概率为．

18.证明：，是中点，，
又在直三棱柱中，平面，平面，
，
又，平面，平面，
平面
证明：连接，交于点，连接，
、分别是、的中点，
是的中位线，，
平面，平面，
平面
解：连，交于点，分别取、中点、，连接、、，
四边形是正方形且、分别是、的中点，故，
在中，，，
，，
又，分别是，中点且，
，
又在直三棱柱中，平面，平面，
，
，平面，平面，
平面，
平面，平面，
，，
又，，平面，平面，
平面，
平面，，
又平面平面
就是二面角的平面角，
设，则在中，，
，
故，
故，
即二面角的余弦值为．

19.函数是增函数，定义域为，
令，解得或，
故函数的所有“和谐区间”为、、．
因为，
所以
因为为函数的一个“和谐区间”，
所以可令，解得或，
如图所示，绘出函数图像：
结合“和谐区间”的定义易知，当时满足题意，
因为，所以当时，，满足题意，
故的值为或．
当时，在上时单调递减函数，由题意有
得，因为，所以，
且，即，解得舍去，
或，．
由，
得，所以当时，和谐区间为．
时，在上时单调递增函数，
由题意有，所以是方程的两个不等实根．
因为，又，得，因而有，
故方程和内各有一个实根，
即且，解得，
故当时，和谐区间为．
当时，，得
当时，即，则，得，
又，得，得或，
又由及，
解得，此时和谐区间为．
当时，即，则，得，
解得若，
则由知，舍去；
若，，解得，
又，所以，此时和谐区间为，
综上，所求范围是．

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