2023-2024学年陕西省安康市教育联盟高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省安康市教育联盟高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某高中的三个年级共有学生人，其中高一人，高二人，高三人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是( )
A. B. C. D.
4.若为奇函数，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
6.某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分布如下表所示：
年龄
人数
下列说法正确的是( )
A. 是这人年龄的一个分位数 B. 是这人年龄的一个分位数
C. 是这人年龄的一个中位数 D. 这人年龄的众数是
7.已知事件、、两两互斥，若，则( )
A. B. C. D.
8.设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A. B.
C. 复数的实部与虚部不相等 D. 复数在复平面内对应的点在第四象限
10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
11.已知函数，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知，，则 ．
14.已知射击运动员甲击中靶心的概率为，射击运动员乙击中靶心的概率为，且甲、乙两人是否击中靶心互不影响若甲、乙各射击一次，则至少有一人击中靶心的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正四棱锥中，，．
求四棱锥的体积；
求四棱锥的表面积．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求；
若，求的最小值．
17.本小题分
为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了位同学的数学成绩作为样本成绩均在内，将所得成绩分成组：，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示：
求的值，并估计本次联考该校数学成绩的中位数和平均数；同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表
从样本内数学分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机选出人进行数学学习经验的分享，求选出的人中恰有一人成绩在中的概率．
18.本小题分
函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
求函数的解析式；
若对任意的，都有，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，．，，分别是线段，上的动点，且．
若二面角的大小为，求的长；
当三棱锥的体积为时，求与平面所成角的正弦值的取值范围．
答案解析
1.
【解析】解：由题意知 ， ，
所以 ．
故选：．
2.
【解析】因为，
所以，所以的虚部为．
故选：．
3.
【解析】依题意高一年级应抽取的人数为人
故选：
4.
【解析】由函数为奇函数，可得，
可得，解得，
经检验，当时，，
满足，符合题意，所以．
故选：．
5.
【解析】因为向量，满足，，，
所以，
则，
故选：．
6.
【解析】对选项A：，第分位数为，故A错误；
对选项B：，第分位数为，故B正确；
对选项C：这人年龄的中位数是，故 C错误；
对选项D：这人年龄的众数是，故D错误．
故选：．
7.
【解析】因为事件、、两两互斥，，
所以，
所以．
故选：
8.
【解析】因为，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，故三角形为直角三角形．
故选：．
9.
【解析】对于，由题意知，则，故 A错误；
对于，，故 B正确；
对于，复数的实部为，虚部为，故 C正确；
对于，复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故 D正确，
故选：．
10.
【解析】对于选项A，若，，则或，所以选项 A错误；
对于选项B，若，，则或，又，则，所以选项 B正确；
对于选项C，若，，则，所以选项 C正确；
对于选项D，在正方体中，平面平面，
平面平面，平面平面，但，所以选项 D错误．
故选：．
11.
【解析】由题意知，，所以，即，解得，
故A正确；B错误；
，当且仅当时等号成立，又，
所以，故 C错误；
因为，
当且仅当时等号成立，又，
所以，故 D正确．
故选：．
12.
【解析】【分析】由二倍角的正切公式可得．
【详解】因为，
所以．
故答案为：．
13.
【解析】因为，，则且，
所以，
所以，．
故答案为：．
14. 或
【解析】设甲击中靶心为事件，乙击中靶心为事件，则，，
所以两人都没有击中靶心的概率为，
所以甲、乙至少有一人击中靶心的概率为．
故答案为 ：
15.解：连接，，记，连接，
如图所示棱锥为正四棱锥，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，即，
所以，
所以四棱锥的体积
．
取的中点，连接，，如图所示．
因为平面，
平面，
所以，且，
所以，
所以四棱锥的表面积．

【解析】根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解；
根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解．
16.解：
，即，
即；
由余弦定理有，
当且仅当时取等号，故的最小值为．
【解析】根据正余弦定理结合特殊角三角函数值求角即可；
应用余弦定理结合基本不等式求值即可．
17.解：由题意知，解得，
所以数学成绩的平均数为
由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为，，
所以该校数学成绩的中位数，则，解得；
由题意知，抽取的人中，分数在内的有人，在内的有人，
记在内的人为，，，，在内的人为，
从人中任取人，有，，，，，，，，，，共种选法，
选出的人中恰有一人成绩在中，有，，，，，，共种选法，
所以选出的人中恰有一人成绩在中的概率是．
【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为，即可求解出；再用每一组区间的中点值代表该组数据，分别乘以每个小矩形的面积，计算平均数；最后计算中位数，即将频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与轴交点的横坐标．
分别求出在区间内抽取的人数，再利用列举法结合古典概型概率公式即可求解．
18.解：由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是
所以；
由，则，得
即由，得
即在上恒成立，
亦即，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【解析】利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解．
19.解：
取中点，过点作，交于点，连接．
由直四棱柱，可得平面，
而平面，所以，即，
又因为，所以，
因为底面是边长为的菱形，，
所以为等边三角形，则，
又因为平面，所以平面，
又因为平面，所以，
即为二面角的平面角，所以．
在平面中，由，可得．
在中，，，
则，解得；
因为平面，所以，
．
因为三棱锥的体积为，
所以，解得，
因为平面，所以．
在中，，
，
所以．
设到平面的距离为，
在中，，，
所以，
所以．
因为，所以，解得．
在中，由余弦定理得，
所以．
设与平面所成的角为．
所以．
令，则．
因为，所以，所以，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．
【解析】利用直棱柱和底面是有角的菱形，可作出二面角的平面角，从而解直角三角形即可．
利用等体积法来求线面角，即只需要求出点到平面的距离，再用距离与长度的比值就是线面角的正弦值，从而可求解．
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