2023-2024学年山东省东营市高一年级第二学期期末质量监测数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省东营市高一年级第二学期期末质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.函数的相邻两个零点之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知与不共线，若与共线，则实数的取值为( )
A. B. C. D.
4.下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
5.某同学站立在雨中水平撑伞，始奖保持伞面的下边缘距离地面，当雨与地面成斜降下来时，要使脚恰好不被雨淋湿，脚与伞边缘的水平距离单位：为( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为( )
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形
7.如图，已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则的取值范围为
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
10.函数在一个周期内的图像如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 的解集为
D. 把函数的图像先向左平移个单位长度，再将曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到的图像
11.一个表面被涂满红色的棱长是的正方体，将其均匀分割成棱长为的小正方体，下列结论正确的是( )
A. 共得到个小正方体
B. 由所有两面是红色的小正方体组成的长方体，其表面积最大为
C. 由所有三面是红色的小正方体组成的长方体，其外接球的体积最小为
D. 取其中一个三面是红色的小正方体，以小正方体的顶点为顶点，截去八个相同的正三棱锥，所得几何体表面红色部分面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.在平行四边形中，，，为的中点若，则的长为 ．
14.已知四边形中，，，，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数满足．
求
若是方程的一个根，求的值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期、对称轴
求函数在上的单调递增区间
若存在，使得，求实数的取值范围．
17.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，．
求的值
若是的外接圆上一点与位于直线异侧，且，求四边形的面积．
18.本小题分
如图，在正六棱锥中，，．
求棱锥的高和斜高
求直线到平面的距离
若球是正六棱锥的内切球，以底面正六边形的中心为圆心，以内切球半径为半径的圆面沿垂直于底面的方向向上平移形成正六棱锥的内接几何体，求该几何体的侧面积．
19.本小题分
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点已知中，角，，的对边分别为，，，，，点是的“费马点”．
求角
若，求的周长
若，，求实数的最小值．
参考答案
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15.解：由得：，
则
由知：，
．
解得：，
．
16.解：
，
所以函数的最小正周期为，
令，，
解得，，
所以函数对称轴为，
由，得的单调递增区间为：
，
所以函数在上的单调递增区间为：
因为，所以，
所以，
故，
因为存在，使得，
所以，解得，
所以的取值范围为．
17.解：在锐角中，因为，
所以，
故，所以，
由余弦定理得，
又因为，所以，
整理的，
故．
在中，因为，，
所以，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
即：，解得，
所以四边形的面积为
．
18.解：作出棱锥的高，因为是正六棱锥，所以是底面的中心，连接，可知．
在中，可知．
设中点为，由是等腰三角形可知，，因此，是斜高，
从而
因为平面，所以点到平面的距离就是直线到平面的距离．
由得，
又因为，，
所以．
设锥的内切球与侧面相切于，可得在上，连接．
在中，，，
则，所以．
设内切球的半径为，由，可得，解得．
故所求几何体是底面半径为的圆柱
在中，在上取点，使得，过作，交于点，作，交于，
则：，
故．
所以该几何体的侧面积为：．
19.解：因为，由正弦定理得．
即：，所以，
所以，即，所以，得．
，，，因为，
所以，
由得：，
即， 由余弦定理得，即，，
解得所以的周长为
不妨设，，且，
由余弦定理得，
，
，
，
，
，即．
又，
，
，，
，解得或舍去．
当且仅当时，等号成立．
实数的最小值为．
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