2023-2024学年安徽省蚌埠市高二下学期7月期末学业水平监测数学试题（含解析）

2023-2024学年安徽省蚌埠市高二下学期7月期末学业水平监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
2.若，，，其中是自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则向量在上的投影向量的坐标是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，若，则的值为( )
A. B. C. D. 或
5.在的展开式中，的系数是( )
A. B. C. D.
6.在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
8.已知事件，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据点，，，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和的误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，则( )
A. 变量和具有负相关关系
B. 剔除后不变
C. 剔除后的回归直线方程为
D. 剔除后对应于样本数据点的残差为
10.函数，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B. 是曲线的一条对称轴
C. 函数是奇函数
D. 若方程在上有且仅有个解，则
11.已知函数及其导函数的定义域均为若函数的图象关于点对称，且，则( )
A. 的图象关于点对称 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，写出一个满足题意的实数的值： ．
13.安排甲、乙、丙、丁共名志愿者完成项服务工作，每人至少完成项工作，每项工作由人完成，甲不能完成其中的项工作，则不同的安排方式有 种用数字作答．
14.函数在处的切线方程为 若有两个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极小值．
求实数，的值
当时，求函数的最大值．
16.本小题分
书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年月日为世界读书日某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部名学生中随机抽取名学生，调查他们每周的阅读时间单位：小时并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为名学生的每周阅读时间的平均值同组数据用该组数据区间的中点值表示，．
试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于小时的人数四舍五入取整
若从高一全体学生中随机抽取名学生进行座谈，设选出的人中每周阅读时间在小时以上的学生人数为，求随机变量的分布列，数学期望与方差．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
17.本小题分
我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴、地方财政补贴、免征车辆购置税、充电设施奖补、车船税减免、放宽汽车消费信贷等为了了解群众对新能源车和传统燃油车的偏好是否与年龄有关，调查组对名不同年龄段岁以上的车主进行了问卷调查，其中有名车主偏好新能源汽车，这名车主中各年龄段所占百分比见下图：
在所有被调查车主中随机抽取人，抽到偏好传统燃油车且在岁年龄段的概率为．
请将下列列联表直接补充完整．
偏好新能源汽车 偏好燃油车 合计
岁
岁以上
合计
并判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关
将上述调查中的频率视为概率，按照分层随机抽样方法，从偏好新能源汽车的车主中选取人，再从这人中任意取人，求人中恰有人在岁年龄段的概率．
附：，其中．
18.本小题分
定义函数的“伴随向量”为，向量的“伴随函数”为
若向量的“伴随函数”满足，求的值
已知，设，且的“伴随函数”为，其最大值为，求的最小值，并判断此时向量，的关系．
19.本小题分
若非空集合与，存在对应关系，使中的每一个元素，中总有唯一的元素与它对应，则称这种对应为从到的映射，记作B.
设集合，，，且A.设有序四元数集合，且，，，，对于给定的集合，定义映射，记为，按映射，若，则若，则记．
若，，写出，并求
若，，求所有的总和
对于给定的，记，求所有的总和用含的式子表示．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“ ，”
2.【答案】
【解析】解：因为，，
故
3.【答案】
【解析】解：由题意，得，，
则向量在上的投影向量的坐标是
4.【答案】
【解析】解：当时，，故，不可能等于
所以，此时
．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：由二项式 的通项为 可得，
当 ，即 时，展开式中含有 项，
此时 ，
因此 的系数为 ．
故选：
6.【答案】
【解析】解： 在中，
因为“”，可得，
由正弦定理 ，为三角形的外接圆半径，
所以，则，，
所以，则，故充分性成立；
因为，则，所以，
而，均为三角形的内角，则，，
进而，由正弦定理 ，为三角形的外接圆半径，
所以，则，故必要性成立，
所以“”是的充要条件．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：因为，
故
8.【答案】
【解析】解：因为，则，
因为，
则，
又，
则，
又，
所以，可得．
故选C．
9.【答案】
【解析】解：对于，由剔除前回归直线的斜率为 ，剔除后重新求得的回归直线 的斜率为 ，
两者均大于，则变量 与 具有正相关关系，A错误；
对于，剔除前 ，
而剔除的两个数据点 ， ，
因此剔除后 不变，B正确；
对于，剔除后 ， ，而回归直线 的斜率为 ，则回归直线方程为 ，C正确；
对于，剔除后的回归直线方程为 ，当 时， ，则残差为 ，D错误．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由，得，即，
又，，
又的图象过点，则，即，
，即得，，
又，，
所以
对于、，故A正确；
对于、因为，故B错误
对于、，是奇函数，故C正确；
对于，由，得，解得或，，
方程在上有个根，从小到大依次为：，，，，，，
而第个根为，所以，故D正确．
11.【答案】
【解析】解：对于，由的图像关于点对称，得，
即，于是，所以的图象关于点对称，所以A正确；
对于，由，得，又，所以，于是，所以B错误．
对于，由，得，所以是周期为的周期函数，于是，所以C正确；
对于，根据，令，得，又，令，得，根据，令，得，令，得：，所以，
因为，所以数列，，，是首项为，公差为的等差数列，于是．
D正确．
故选ACD．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：因为，所以，即，
又因为，所以或，
故答案为：答案不唯一
13.【答案】
【解析】解：由题将项工作分为类，第一类，人完成的工作数是，，，
第二类，人完成的工作数为，，，，再将工作分组进行分配，每一类中需减去甲完成项工作的情况
第一类的安排方式为种
第二类的安排方式为种
故一共有种．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，则，
所以函数在处的切线方程为，即；
因为有两个零点，所以有两个解，
即有两个解，
令，则，
令，得，设的根为，则，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
当时，，当时，，
所以实数的取值范围是．
15.【答案】解：，
因为在处取极小值，所以，
得，
此时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取极小值，符合题意．
所以，．
又，所以综上，，．
由知，
列表如下：
由于，故时，．
【解析】在处取得极小值，求导可求出的值，结合单调性解答的值；
求出函数在上的单调区间，从而得出函数的最大值．
16.【答案】解：样本中名学生每周阅读时间的均值为：，
即，又，
所以．，
所以
，
所以全年级学生中每周阅读时间不高于小时的人数大约为：人．
因为．，所以每周阅读时间在小时以上的概率为，可得，
故，，，，，，
随机变量的分布列为：
故E，
【解析】由直方图求出均值，结合服从正态分布，计算即可求解；
求出服从二项分布，利用二项分布的知识与性质求出分布列、均值与方差．
17.【答案】解：
偏好新能源汽车 偏好燃油车 合计
岁
岁以上
合计
，
则能在犯错误的概率不超过的前提下，认为偏好新能源汽车与年龄有关．
按照分层随机抽样，从偏好新能源汽车的车主中选取人，其中在岁年龄段的人数为，岁以上的人数为，
从人中任意取人，共有种情况，其中恰有人在岁年龄段的有种情况，故人中恰有人在岁年龄段的概率为．
【解析】先完成列联表，再由公式求出，与临界值表对照，即可求解；
根据古典概型的计算公式进行求解即可。
18.【答案】解：由题意知，向量的“伴随函数”为，
所以 ，
令，上式化为，
所以，，，
即．
设，，
因为，
所以，
令，
若满足
则时，，其中，，
此时，即，，故．
从而，
等号当且仅当时成立，
所以的最小值为，此时．
【解析】由“伴随函数”的定义和三角函数的诱导公式，计算可得所求值；
设向量坐标，由向量的坐标运算和二次函数最值，可得结论．
19.【答案】解：由题知，
，，，，，，，
所以．
对，，是否属于进行讨论
含的的个数为，
此时在映射下，；
不含的的个数为，
此时在映射下，；
所以所有中的总个数和的总个数均为；
含的的个数为，
此时在映射下，
不含的的个数为，
此时在映射下，；
所以所有中的总个数和的总个数均为，
含的的个数为，
此时在映射下，，
不含的的个数为，
此时在映射下，，；
所以所有中的总个数和的总个数均为，
综上，所有的总和为；
对于给定的，考虑在映射下的变化，
由于在的所有非空子集中，含有的子集共个，
所以在映射下变为，
不含的子集共个，在映射下变为，
所以在映射下得到的所有的和为
；
同理，在映射下得到的所有的和为
；
所以所有的总和为．
【解析】先理解映射的定义，即可求解；
对，，是否属于进行讨论，即可求解．
对于给定的，考虑在映射下的变化，在映射下变为，所以在映射下得到的所有的和为；同理，在映射下得到的所有的和为即可解答．
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