2023-2024学年陕西省宝鸡市高二年级下学期期末测试数学试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省宝鸡市高二年级下学期期末测试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.一批产品共件，其中有件不合格品，从中任取件，则恰有件不合格品的概率是( )
A. B. C. D.
3.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
4.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
5.等差数列前项和为，若，，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
6.设，为两个事件，已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.设，，随机变量的分布列如下表所示，则当在上变化时，下列说法正确的是( )
A. 增大，增大
B. 增大，减小
C. 为定值，先增大后减小
D. 为定值，先减小后增大
8.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有( )
A. 如果人全部为男生，那么有种不同的选法
B. 如果人中男生女生各有人，那么有种不同的选法
C. 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有种不同的选法
D. 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有种不同的选法
10.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为设为成活沙柳的株数，下列说法正确的是( )
A. 数学期望
B. 标准差
C. 至多有株沙柳成活的概率为
D. 若有株或株以上的沙柳未成活，则需要补种沙柳的概率为
11.若，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两个线性相关变量与的统计数据如表：
其回归直线方程是，则相应于点的残差为 ．
13.设曲线在点处的切线与直线垂直，则________．
14.在的二项展开式中，只有第项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在时有极值．
求常数，的值；
求在区间上的最值．
16.本小题分
某校为了解学生对体育锻炼时长的满意度，随机抽取了位学生进行调查，结果如下：
回答“满意”的人数占被调查人数的一半，且在回答“满意”的人中，男生人数是女生人数的；在回答“不满意”的人中，女生人数占．
请根据以上信息填写下面列联表，判断是否有的把握认为学生对体育锻炼时长的满意度与性别有关？
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
附：
参考公式：，其中．
为了解增加体育锻炼时长后体育测试的达标效果，一学期后对这名学生进行体育测试，将测试成绩折算成百分制，规定不低于分为达标，超过的学生达标则认为达标效果显著．已知这名学生的测试成绩服从正态分布，试判断该校增加体育锻炼时长后达标效果是否显著？
附：若，，则，，．
17.本小题分
我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从年到年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额单位：百万元对年收入的附加额单位：百万元的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
投入额
年收入的附加额
求证：，；
求年收入的附加额与投入额的经验回归方程．
参考数据：，，．
参考公式：在经验回归方程中，，．
18.本小题分
为贯彻落实立德树人根本任务，坚持五育并举，某市委托厦门中学生助手调查学生对足球的喜爱程度，调查显示该市喜爱足球运动的学生占全市学生的，喜爱足球运动的学生中男、女生人数比例为．
在喜爱足球运动的学生中按性别比例分配样本，用分层抽样的方法抽取人，再从中随机选取人进行访谈．设随机选出的人中女生人数为，求的分布列和数学期望；
学生甲断言“在全市学生中随机选取人，这人中喜爱足球运动的人数至少比不喜爱足球运动的人数多的概率超过”该学生判断是否正确？说明理由．
19.本小题分
已知函数
Ⅰ设是的极值点，求，并讨论的单调性；
Ⅱ当时，证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
由题知：
联立、结合，有舍或．
所以，，经检验，符合题意；
当，时，
故方程有根或，
由，
得或
由得，
函数的单调增区间为：，减区间为：．
函数在处取得极大值，在处取得极小值；
经计算，，，，
所以函数的最小值为，最大值为．

16.解：补充列联表如图：
满意 不满意 合计
男生
女生
合计
则，
所以有的把握认为学生对于体育锻炼时长的满意度与性别有关。
因为学生的测试成绩服从正态分布，所以，，且，
所以
．
答：该校增加锻炼时长后达标效果显著．
17.证明：
，
；
解：，，
由公式得，，
又因为，
所以，
所以年收入的附加额与投入额的线性回归方程为，
18.解：在喜爱足球运动的学生中按性别比例分配分层抽样抽取人，其中男生人，女生人，
则随机选出的人中女生人数的所有可能取值为，，，
，，，
则的分布列为：
所以．
设全市学生随机选取的人中喜爱足球运动的人数为，则∽，
设事件“喜爱足球运动的人数至少比不喜爱足球运动的人数多”，
则．
所以，则该学生判断正确．
19.Ⅰ解：，是的极值点，
，解得，经检验，满足题意，
所以函数，其定义域为，
，
设，，
则，所以在上为增函数，
又，所以当时，，即；当时，，．
所以在上为减函数，在上为增函数；
Ⅱ证明：当，时，，
故要证当时，，只需证明当时．
当时，函数在上为增函数，且，．
故在上有唯一实数根，且．
当时，，当时，，
从而当时，取得最小值，
由，得，．
故．
综上，当时，．
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