(共65张PPT)
1.2 怎样判定三角形相似
第1章 图形的相似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
平行线分线段成比例
相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理2
相似三角形的判定定理3
利用影子测量物体的高度
利用镜子的反射测量物体的高度
构造相似三角形测量不能直接测量的两点间的距离
知识点
平行线分线段成比例
知1－讲
1
1. 平行线分线段成比例的基本事实
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
数学表达式：如图1.2-1，∵ l3 ∥ l4 ∥ l5，
∴=，= ，=.
可简记为：= ，= ，= .
知1－讲
2. 平行线分线段成比例的基本事实的推论
平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
数学表达式：
如图1.2-2，
若DE∥BC，
则= = .
知1－讲
拓展：如图1.2-2 ① 所示，由DE ∥ BC 还可以得到=，=，对于图②，图③也同样成立.
知1－讲
特别解读
1. 所得的成比例线段是指被截直线上的线段,与这组平行线上的线段无关.
2. 由基本事实写比例式时，一定要注意对应线段写在对应的位置上.
3. 无论一组平行线有几条，所截得的对应线段都成比例.
知1－练
例 1
[母题 教材P11 练习T2]如图1.2-3，已知AB ∥CD ∥ EF，AF交BE 于点H.下列结论中, 错误的是( )
A. = B. =
C. = D. =
知1－练
解：根据题意可得= ， = ， = ， = ，故选项A，B，D 正确，选项C 错误.
答案：C
解题秘方：利用平行线分线段成比例的基本事实的推论涉及的图形有“A”型和“X”型，从每种图形中找出成比例线段进行判断.
知1－练
1-1.[中考·丽水] 如图， 五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C 都在横线上. 若线段AB=3，则线段BC 的长是( )
A. B. 1
C. D. 2
C
知1－练
例2
[中考· 临沂] 如图1.2-4，在△ ABC 中，DE ∥ BC， = ，若AC=6，则CE=________.
解题秘方：根据平行线分线段成比例的基本事实的推论列出比例式计算即可.
知1－练
解法一：∵ DE ∥ BC， =，
∴ = = . ∴ = .
∵ AC= 6，∴= .∴ EC= .
知1－练
解法二：∵= ，∴=.
∵DE∥BC，∴= = .
∵AC=6，∴ = . ∴CE= .
知1－练
2-1.[期末· 天津第四十五中学] 如图，已知AB ∥ CD，AD 与BC相交于点O. 若 = ， AD = 10， 则AO=______ .
4
知2－讲
知识点
相似三角形的判定定理1
2
1. 相似三角形的判定定理1 两角分别相等的两个三角形相似.数学表达式：如图1.2-5，在△ ABC 和△ DEF 中，
∵∠ A= ∠ D，且∠ B= ∠ E，
∴△ ABC ∽△ DEF.
知2－讲
2. 常见的相似三角形的类型
(1)平行线型：如图1.2- 6 ①，若DE ∥ BC，则△ ADE ∽△ ABC.
(2)相交线型：如图1.2- 6 ②，若∠ AED= ∠ B，则△ AED ∽△ ABC.
知2－讲
(3)“ 子母” 型：如图1.2- 6 ③，若∠ ACD= ∠ B，则△ ACD ∽△ ABC.
(4)“K ”型：如图1.2- 6 ④，若∠ A= ∠ D= ∠ BCE= 9 0°，则△ ACB ∽△ DEC.
知2－讲
拓展：在图1.2- 6 ④“K”型相似中，只要∠ A= ∠ D=
∠ BCE(不一定非得等于9 0°)，就有△ ACB ∽△ DEC.
∵∠ BCD=∠ B＋∠ A=∠ BCE＋∠ ECD，∠ BCE=∠ A，
∴∠ ECD= ∠ B.
又∵∠ A= ∠ D，∴△ ACB ∽△ DEC.
上面方法可简写为：一线三等角两三角形相似.
知2－讲
特别提醒
●利用两角相等判定两三角形相似时，要注意题目中隐含的角相等的条件，如：公共角，对顶角，等角(或同角)的余角，等角(或同角)的补角，由平行得到的同位角、内错角等，这些相等的角都是常用到的.
●利用两角相等判定两三角形相似应用最广，希望同学们识记这些常见的类型，以便提高解题能力.
知2－练
如图1.2-7，在△ ABC 中，AD 是∠ BAC 的平分线，
AD 的垂直平分线交AD 于点E，交BC 的延长线于点F.求证：△ ABF ∽△ CAF.
例 3
解题秘方：紧扣两组对应角
相等的两三角形相似，由于
∠ BFA 是公共角，因此只需利用图形的相关性质说明∠ B= ∠ 4 即可证明.
知2－练
证明：∵ EF 垂直平分AD，
∴ AF=DF. ∴∠ FAD = ∠ 3 .
∵AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ 1 = ∠ 2 .
又∵∠ B = ∠ 3－∠ 1，∠ 4 = ∠ FAD－∠ 2，
∴∠ B = ∠ 4 .
又∵∠ BFA = ∠ AFC，∴△ ABF ∽△ CAF.
知2－练
3-1. 结合图形及所给条件, 下图中无相似三角形的是( )
C
知2－练
如图1.2-8，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接EC 交对角线BD 于点F，则EF∶FC 等于( )
A. 2 ∶3 B. 1∶3
C. 1∶1 D. 1∶2
例 4
知2－练
解题秘方：根据题意得出△ DEF ∽△ BCF，从而得出DE∶BC=EF∶CF，利用点E 是边AD 的中点得出其比值.
知2－练
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴ AD ∥ BC，AD=BC.
∴∠ DEF= ∠ BCF，∠ FDE= ∠ FBC.
∴△ DEF ∽△ BCF. ∴ DE∶BC=EF∶CF.
∵点E 是边AD 的中点，∴ DE= AD= BC.
∴ EF∶FC=1∶ 2 .
答案：D
知2－练
4-1. 如图，在ABCD中，E 为AD 边上的点，且AD=3AE， 连接CE并延长交BA 的延长线于点F.求证：AB=2AF.
知2－练
知3－讲
知识点
相似三角形的判定定理2
3
相似三角形的判定定理2
两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似.
数学表达式：如图1.2-9，
在△ ABC 和△ DEF 中，
∵=，且∠ B= ∠ E，
∴△ ABC ∽△ DEF.
特别提醒
运用判定定理2 证明三角形相似时，要注意相等的角必须是这两边的夹角.
特别解读：运用该定理寻找条件证明相似时，若已知两边成比例，则去证夹角相等；若已知夹角相等，则去证角的两边对应成比例.
知3－讲
规律方法：(1)一般地，当题目中既有角之间的关系，又有线段之间的比例关系时易采用该定理，运用该定理时，可以类比全等三角形的“SAS”理解，全等是夹等角的两边相等，相似是夹等角的两边对应成比例.
(2)在直角三角形或者正方形网格中，通常借助于边的数量关系得出两个三角形的两组边成比例、夹角相等判定两个三角形相似.
知3－讲
判定正方形网格中两个三角形相似的方法: 运用数形结合的思想解答，首先找出三角形的特殊的角，再找出有与这个角相等的角的三角形，最后证明夹等角的两边对应成比例即可.
易错点津：利用该判定定理时必须注意满足的条件是两边成比例，且其夹角相等，而不是某一边的对角相等，初学者常错误地理解为上述两种条件都可以证明两个三角形相似.
知3－讲
知3－练
[期末改编·青岛三十九中市北分校] 如图1.2-10，在正方形ABCD 中，E，F 分别是边AD,CD 上的点，AE=ED，DF= DC，连接EF
并延长交BC 的延长线于点G.
求证：△ ABE ∽△ DEF.
例 5
知3－练
解题秘方：紧扣两边成比例且夹角相等证明即可.
证明：∵四边形ABCD 为正方形，
∴ AD=AB=DC，∠ A= ∠ D= 9 0°.
∵ AE=ED，∴ = ，AE= AD.
∵ DF=DC，∴ = .∴ = .
∴△ ABE ∽△ DEF.
知3－练
5-1.[月考· 承德第四中学] 如图，已知：∠ BAE= ∠ CAD，AB=20.4，AC=48，AE=17，AD=40.求证：△ ABC ∽△ AED.
知3－练
知4－讲
知识点
相似三角形的判定定理3
4
相似三角形的判定定理3 三边成比例的两个三角形相似.
数学表达式：如图1.2-11，在△ ABC 和△ DEF 中，
∵==，
∴△ ABC ∽△ DEF.
特别解读：应用时要注意比的顺序性，即分子为同一个三角形的三边，分母为另一个三角形的三边，同时要注意边的对应情况，用长边对长边，短边对短边的思路找对应边.
知4－讲
知4－讲
教你一招
判相似，先排序，后求比：根据三角形的三边是否成比例来判断三角形是否相似时，应先将三边按大小顺序排列，再计算它们对应边的比，最后由比值是否相等判断两个三角形是否相似.
知4－练
[母题 教材P18 练习T1]如图1.2-12，已知网格中每个小正方形的边长均为1，则网格中相似的两个三角形是________ .(填序号)
例 6
①③
知4－练
解题秘方：利用勾股定理求出每个三角形各边的长，紧扣三边成比例的两个三角形相似，用计算比较法判断.
知4－练
解：图形①的三边长： ，2， ；
图形②的三边长： ， ，3；
图形③的三边长：2，2 ，2 ；
图形④的三边长： ，3， .
∵= ， = ，∴ ==.
∴图形①与图形③相似
知4－练
6-1.[期中· 北京昌平区] 如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1， △ ABC 和△ DEF 的顶点都在格点上， 判断△ ABC 和△ DEF 是否相似， 并说明理由.
知4－练
知5－讲
知识点
利用影子测量物体的高度
5
1. 测量原理 测量不能到达顶部的物体的高度，在有太阳光的前提下，通常将参照物高及其影长、被测物体高及其影长构造相似三角形模型，利用相似三角形对应边成比例的原理解决.
知5－讲
2. 测量方法 在同一时刻测量出太阳光下参照物和被测物体的影长，再根据参照物的高度和在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例计算出被测物体的高度.
特别提醒：运用此测量方法时，要符合下列两个条件：(1)被测物体的底部能够到达；(2)由于影长会随着太阳的运动而变化，因此要在同一时刻测量参照物与被测物体的影长.
知5－讲
知识储备
同一时刻，同一地点，有比例式：
=
知5－练
[母题 教材P18 例4]小明为了测量旗杆的高度，在某一时刻，身高1.6 m 的小明在阳光下测得他的影长是
0.4 m，同一时刻测得旗杆的影长是5 m，则该旗杆的高度是( )
A. 1.25 m B. 10 m C. 20 m D. 8 m
例 7
知5－练
解题秘方：建立相似三角形模型，利用在同一时刻太阳光下物体的高度与影长成比例求解.
解：设该旗杆的高度是x m. 根据题意得1.6 ∶ 0.4=x ∶5，解得x=20，即该旗杆的高度是20 m.
答案：C
知5－练
7-1.[模拟·北京] 如图(示意图)所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量建筑物CD 的高，已知标杆BE 的高为2.4 m，测得AB=1.8 m，BC=13.2 m，则建筑物CD 的高为_______ m.
20
知6－讲
知识点
利用镜子的反射测量物体的高度
6
1. 测量原理 利用镜子的反射，先根据反射角等于入射角的原理构造相似三角形，再计算所求物体的高度.
2. 测量方法 (1)在观测者与被测物体之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记.
水平放置
知6－讲
(2)测出观测者眼睛到地面的高度.(3)观测者看着镜子来回走动，直至看到被测物体顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，此时测出镜子上的标记位置到观测者脚底的距离及到被测物体底端的距离.(4)根据两角分别对应相等推导出两个三角形相似，利用对应边成比例求出被测物体的高度.
知6－讲
特别提醒
●测量时被测物体与观测者之间不能有障碍物.
●利用物理学中的“反射角等于入射角”及“等角的余角相等”的知识可以知道，反射光线和入射光线与镜面的夹角相等. 找到一对锐角对应相等，创造相似条件.
知6－练
[母题中考· 南充教材P19]挑战自我如图1. 2-13，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一面镜子，然后向后退(保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜
子中看到旗杆的顶端.
例 8
知6－练
已知小菲的眼睛离地面1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m, 则旗杆高度为( )
A.6.4 m B.8 m C.9.6 m D.12 .5 m
知6－练
解题秘方：如图1.2-14，根据镜面反射的性质，易得△ ABC ∽△ EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.
知6－练
解：如图1.2-14，根据题意，得AB=1.6 m，BC=2 m，CD =10 m. ∵ AB ⊥ BD，DE ⊥ BD，∴∠ ABC=
∠ EDC= 90°.
由题易得∠ ACB= ∠ ECD，
∴△ ABC ∽△ EDC.
∴ =，即 =，
∴ DE=8 m. 故旗杆高度为8 m.
知6－练
8-1.[模拟·吉林] 如图，为了测量一栋楼的高度，小王在他的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到楼的顶部. 如果小王身高1.55 m，
他的眼睛距地面1.50 m，同时量得
BC=0.3 m，CE=2 m， 则楼高DE=
_____m.
10
知7－讲
知识点
构造相似三角形测量不能直接测量的两点间的距离
7
1. 测量原理 测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造相似三角形，利用相似三角形的性质计算两点间的距离.
知7－讲
2. 常见的测量方式(1)构造“A”型相似，如图1.2-15 .
(2)构造“X”型相似，如图1.2-16 .
知7－讲
特别解读
利用相似三角形测量高度、宽度等的一般步骤：
(1)利用平行线、标杆等构造相似三角形；
(2)测量相关量的长度；
(3)画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量；
(4)检验并得出答案.
知7－练
[新情境 生活应用]如图1.2-17，我们想要测量河两岸相对的两点A，B 之间的距离(即河宽). 方案：先从B 点出发向与AB成90°角的方向走55 m 到O 处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10 m 到C 处，
在C 处向右转90°，沿CD 方向再走
18 m 到D 处，使得点A，O，D 在同
一条直线上. 那么点A，B 之间的距离是多少？
例 9
知7－练
解题秘方：建立几何(相似三角形)模型，根据测量过程中得到的数据，利用相似三角形对应边成比例求解.
知7－练
解：∵∠ ABO = ∠ DCO= 90°，∠ AOB = ∠DOC，
∴△ AOB ∽△ DOC. ∴ = .
∵ BO=55 m，CO=10 m，CD=18 m，
∴ = . ∴ AB= 99 m.
因此，点A，B 之间的距离是9 9 m.
知7－练
9-1. 如图，身高为1.6 m的小李AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测对岸一棵树CD 的高度，CD 的倒影是C′D，点B，E，D 在同一水平线上，且A，E，C′在一条视线上，河宽BD=12 m，且BE=
2 m，求树CD 的高度.
知7－练
怎样判定三角形相似
相似三角形的判定
平行线分线段成比例
相似三角形的判定定理
相似三角形的应用举例(共22张PPT)
1.3 相似三角形的性质
第1章 图形的相似
知识点
相似三角形对应线段的比
知1－讲
1
1. 性质 相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于相似比.
深度理解
对应高、对应中线与对应角平分线分别是指相似三角形对应边上的高、中线与对应内角的平分线.
知1－讲
特别提醒：(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段.(2)相似比是有顺序的，不能颠倒相似三角形中元素的顺序.
2. 相似三角形周长的比 相似三角形周长的比等于相似比.
知1－练
例 1
[母题 教材P23 例2]如图1.3-1，在△ ABC 中，AD 是边BC上的高，矩形EFGH 内接于△ ABC，且长边FG 在BC 上，AD与EH 的交点为P，矩形相邻两边长的比为1∶2 . 若BC=30 cm，AD=10 cm，求矩形EFGH 的周长.
解题秘方：将矩形周长问题转化为相似三角形对应高的比求解.
知1－练
解：设HG=x cm，则EH=2 x cm.
易得AP⊥ EH，PD=HG=x cm.
∵AD=10 cm，∴ AP=(10 －x)cm.
∵四边形EFGH 为矩形，∴ EH ∥ BC.∴易得
△ AEH ∽△ ABC.∴ = ，即= ，解得x= 6 .
∴ HG= 6 cm，EH=12 cm.
∴矩形EFGH 的周长为2×(6＋12)=3 6(cm).
知1－练
1-1.[月考·济南槐荫区] 如图，在△ ABC 中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH 的一边在BC 上， 点E，F 分别在AB，AC 上，AD 交EF 于点N，则AN 的长为( )
A.15
B.20
C.25
D.30
B
知1－练
[模拟·渭南] 已知两个相似三角形的中线之比为2∶3，
这两个三角形的周长的和是100 cm, 那么较小的三角形的周长为( )
A. 20 cm B.30 cm C.40 cm D.60 cm
例2
知1－练
解题秘方：相似三角形对应中线的比、周长比都等于相似比，所以周长比= 对应中线的比，根据它列方程求解.
知1－练
解：设较小的三角形的周长为x cm, 则较大的三角形的周长为(100－x)cm.
∵两个相似三角形的中线之比为2 ∶ 3，
∴两个相似三角形的相似比为2 ∶ 3 .
∴两个相似三角形的周长比为2 ∶ 3 .
∴ =，解得x=40.
即较小的三角形的周长为40 cm.
答案：C
知1－练
解题通法：用方程求解周长的思路是当问题中出现两个相似三角形的周长和求周长时，一般先将两个三角形的周长都用含有未知数的代数式表示，再根据相似三角形周长的比等于相似比列方程，解方程即可解决问题.
知1－练
2-1.[期末· 枣庄台儿庄区] △ ABC 的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△ DEF， 其最长边为12， 则△ DEF 的周长是( )
A.54
B.36
C.27
D.21
C
知2－讲
知识点
相似三角形面积的比
2
1. 相似三角形面积的比 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
若△ ABC ∽ △ A ′B ′C ′，且它们的相似比为k，则=k2.
2. 相似多边形面积的比 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
知2－讲
活学巧记
相似三角形性质，
每个方面不尽同，
中线高线角分线，
对应比等相似比，
周长比等相似比，
面积的比有平方.
知2－练
[母题 教材P25 习题T4]如图1.3-2，已知DE ∥ BC，且AD∶DB=2 ∶1，则S △ ADE ∶S 四边形BCED=_______.
例 3
知2－练
解题秘方：先证明△ ADE ∽△ ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S △ ADE ∶S 四边形BCED.
解：∵AD∶DB=2 ∶1，∴ =.
∵ DE ∥ BC，∴易得△ ADE ∽△ ABC.
∴= () 2=()2=. ∴ =.
知2－练
3-1.[中考·重庆A 卷改编] 若两个相似三角形周长的比为1 ∶ 4，则这两个三角形面积的比是( )
A.1 ∶ 2
B.1 ∶ 4
C.1 ∶ 8
D.1 ∶ 16
D
知2－练
[母题 教材P23 例1]如图1.3-3，平行于BC 的直线DE 把△ ABC 分成面积相等的两部分，则的值为( )
A. 1 B.
C. －1 D. ＋1
例 4
知2－练
解题秘方：由DE ∥BC 可得出△ ADE ∽△ ABC，利用相似三角形的性质结合S△ ADE=S 四边形BCED，可得出=，结合BD=AB－AD 即可求出的值．
知2－练
解：∵ DE ∥ BC，∴∠ ADE= ∠ B，∠ AED= ∠ C.
∴△ ADE ∽△ ABC. ∴ () 2= ．
∵ S △ ADE=S 四边形BCED，
∴ ()= . ∴ = = －1．
答案：C
知2－练
4-1.[中考·成都]如图，在△ ABC 中，D 是边AB 上一点，按以下步骤作图：
知2－练
①以点A 为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点M，N；②以点D 为圆心，以AM 长为半径作弧，交DB 于点M′；③以点M′为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠ BAC 内部交前面的弧于点N′；④过点N′作射线DN′交BC 于点E. 若△ BDE与四边形ACED 的面积比为4 ∶ 21， 则的值为_______ .
相似三角形的性质
相似三角形的性质
边角
对应边成比例，对应角相等
周长
对应线段
面积
周长比等于相似比
对应高、中线、角平
分线的比等于相似比
面积比等于相似比的平方(共29张PPT)
1．1 相似多边形
第1章 图形的相似
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
相似形
相似多边形的定义和表示方法
相似比的定义和相似多边形的性质
知识点
相似形
知1－讲
1
1. 定义 形状相同的平面图形叫做相似形.
它是判定相似形的唯一条件.
知1－讲
2. 两种关系
(1)相似形之间的关系：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
(2)相似与全等的关系：两个图形的形状相同、大小相等时，它们是全等形. 全等形是相似形的特殊情况，即全等形一定是相似形，但相似形不一定是全等形，只有两个图形的大小相等时，它们才全等.
知1－讲
特别提醒
两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关.
知1－练
例 1
[母题 教材P4 交流与发现]下列图形不是相似形的是( )
A. 用同一底版打印出来的两张大小不等的照片
B. 原图案和用放大镜放大后的图案
C. 某人的侧面照片和正面照片
D. 大小不等的两张同版本的中国地图
知1－练
解：用排除法，B 符合相似形之间的关系，A，D 符合相似形的定义，因此A，B，D 都是相似形，故选C.
答案：C
解题秘方：紧扣相似形的定义及相似形之间的关系解答.
知1－练
1-1. 观察下列各组图形， 其中不相似的是( )
A
知2－讲
知识点
相似多边形的定义和表示方法
2
1. 定义 两个边数相同的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形的各个角对应相等，各边对应成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
2. 表示方法 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，如：四边形ABCD ∽四边形EFGH，读作“四边形ABCD 相似于四边形EFGH”.
知2－讲
特别解读：(1)相似多边形的定义可用来判断两个多边形是否相似.(2)用符号“∽”表示两个图形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
特别提醒
●判定相似多边形的条件：(1)边数相同；(2)所有的角分别对应相等；(3)所有的边对应成比例.
●相似具有传递性.
知2－练
[新考法定义辨析法]期末·淄博张店区下列命题中，正确命题的个数为 ___________.
①所有的正方形都相似. ②所有的菱形都相似.
③边长相等的两个菱形相似.
④对角线相等的两个矩形相似.
例2
1
解题秘方：根据相似多边形的定义判断.
知2－练
解：①所有的正方形，对应角相等，对应边成比例，都相似，正确，符合题意；②所有的菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，所以不一定都相似，错误，不符合题意；③ 边长相等的两个菱形，对应边成比例，比为1，对应角不一定相等，所以不一定都相似，错误，不符合题意；④对角线相等的两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定都相似，错误，不符合题意. 故正确的有1 个.
知2－练
2-1.[期中· 上海奉贤区] 下列说法正确的是( )
A. 有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
B. 两个矩形一定相似
C. 有一个角等于45°的两个等腰三角形相似
D. 相似三角形一定不是全等三角形
A
知3－讲
知识点
相似比的定义和相似多边形的性质
3
1. 相似比的定义 相似多边形对应边的比叫做相似比.
2. 相似多边形的性质 相似多边形的对应边的比相等，对应角相等.
特别提醒
求相似比或利用相似比解答问题时，一定要注意两个相似多边形的先后顺序.
3 . 找相似多边形对应边、对应角的方法
(1)大小找法. 边：两个图形中，长边对应长边，短边对应短边.角：大角对应大角，小角对应小角.
(2)符号找法. 因为在表示两个图形相似时，对应顶点的字母写在对应的位置上，所以对应边、对应角也写在对应的位置上，如：四边形ABCD ∽四边形EFGH，AB 和EF，BC 和FG，CD 和GH 是对应边，∠ B 和∠ F 是对应角.
知3－讲
(3)对应找法. 在相似图形中，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.
知3－讲
知3－讲
特别解读
相似多边形的性质常用来求相似多边形未知边的长度或未知角的度数.当两个多边形全等时，其相似比是1∶1，反之，如果两个相似多边形的相似比是1∶1，那么这两个多边形全等.
知3－练
一般书本的纸张是由原纸张多次对开得到的，如图
1.1-1，矩形ABCD 沿EF 对开后，再把矩形EFCD 沿MN 对开，以此类推，已知各
种开本的矩形都相似，
则=_______．
例 3
知3－练
解题秘方：根据相似多边形的对应边成比例求解.
解：∵矩形ABCD ∽矩形BFEA，
∴ AB∶BF=AD∶BA.∴ AD·BF=AB·BA.
易知BF=AD，∴ AD2=AB2 .∴= =．
知3－练
3-1. 如图， 把矩形ABCD 对折， 折痕为EF， 若矩形ABCD ∽矩形EABF，AB=2.求矩形ABCD 与矩形EABF 的相似比.
知3－练
知3－练
[母题 教材P8 习题T3]如图1.1-2， 梯形ABCD 与梯
形A′B′C ′D′相似，AD ∥ BC，A′D′∥ B′C ′，∠ A= ∠ A′，AD=4，A′D′=
6，AB=6，B′C′=12，
∠ C=60°
例 4
解题秘方：紧扣相似多边形的性质及相似比的定义进行计算.
知3－练
(1)求梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′的相似比k；
解：相似比k = ==.
知3－练
(2)求A′B′和BC 的长；
解：∵梯形ABCD 与梯形A′B′C′D′相似，且由(1)知相似比k =，∴=， = .
知3－练
(3)求∠D′的大小.
解：由题意知，∠D′=∠D.∵AD∥BC，∠C=60°，
∴∠ D=180°－∠ C=120°. ∴∠ D′=12 0°.
知3－练
4-1. 已知四边形HGFE相似于四边形LMNK，如图所示.
(1)求四边形HGFE与四边形LMNK 的相似比；
知3－练
(2)求∠ E， ∠ G，∠ N 的度数；
解：∵四边形HGFE∽四边形LMNK，
∴∠E＝∠K＝67°，∠G＝∠M＝107°，∠H＝∠L＝143°.
∴∠N＝360°－∠K－∠L－∠M＝360°－67°－143°－107°＝43°.
知3－练
(3)求x，y，z 的值．
相似多边形
相似形
相似比
相似多边形的定义
相似多边形的性质(共42张PPT)
1.4 图形的位似
第1章 图形的相似
知识点
位似图形的定义
知1－讲
1
1. 定义
对应边互相平行(或共线)且每对对应点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
知1－讲
特别提醒：位似中心可能位于两个图形的同侧，也可能位于两个图形之间，还可能位于两个图形的内部或边上. 常见位似图形的类型如图1.4-1 所示.
知1－讲
2. 位似与相似的关系
(1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.
(2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此, 位似是相似的特殊情况.
知1－讲
特别警示
位似图形的位似中心有且只有一个.
解题技巧
根据位似图形的定义，位似图形必须符合下面三个条件：
(1) 两个图形相似；
(2) 对应边互相平行(或共线)；
(3) 对应点所在的直线都经过同一个点.三个条件缺一不可.
知1－练
例 1
[母题模拟· 石家庄教材P26 实验与探究]如图1.4-2，不是位似图形的是 ( )
知1－练
解析：根据位似图形的定义，A，B，D 三个选项中的两个图形都是位似图形；C 中的两个图形不符合位似图形的定义，对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形.
答案：C
解题秘方：根据位似图形的定义进行判断.
知1－练
1-1. 如图, 其中属于位似图形的有( )
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
C
知2－讲
知识点
位似图形的性质
2
位似图形的性质
(1)位似图形每组对应点的连线必过位似中心.
(2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
位似比
知2－讲
(3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等.
(4)两个图形位似，则两个图形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
知2－讲
特别解读：
(1)利用位似图形的性质，可以作出已知图形的位似图形，把一个图形放大或缩小，同时也可以利用位似图形的性质确定位似中心，求相似比及图形的周长与面积等.
(2)利用位似图形的性质求位似图形的相似比，先要确定相似的顺序，再确定相似比.
知2－讲
示例
如图1.4- 3，△ ABC 与△ DEF 位似.
===k；
直线AD，BE，CF交于一点O；
AB ∥ DE，BC ∥ EF，AC ∥ DF；
△ ABC ∽△ DEF，
相似比为k.
相等
知2－练
[母题 教材P26 实验与探究(7)]找出如图1.4-4 所示的位似图形的位似中心.
例2
解题秘方：紧扣位似图形每组对应点的连线必过位似中心解答.
知2－练
解：如图1.4-5，点P1，P2，P3 即为所求的位似中心.
知2－练
2-1. 下图中的两个三角形是位似图形, 则它们的位似中心是( )
A. 点 P
B. 点O
C. 点R
D. 点S
A
知2－练
如图1.4-6，四边形ABCD 与四边形AEFG 是位似图形，且AC∶AF=2∶3，则下列结论不正确的是( )
A. 四边形ABCD 与四边形AEFG
是相似图形
B. AD 与AE 的比是2∶3
C. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2∶3
D. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶9
例 3
知2－练
解题秘方：利用位似图形和相似图形的性质进行分析，判断正误.
解：A. 四边形ABCD 与四边形AEFG 是相似图形，故正确；B. AD 与AG 是对应边，故AD∶AG=2 ∶ 3，故错误；C. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的周长比是2 ∶ 3，故正确；D. 四边形ABCD 与四边形AEFG 的面积比是4∶9，故正确．
答案：B
知2－练
3-1.[三模·宁夏] 如图， 以点O 为位似中心，把△ ABC 的各边长放大为原来的2 倍得到△ A′B′C′，以下说法中错误的是( )
A. AO ∶ AA′=1 ∶ 2
B. 点A，O，A′三点在同一条直线上
C.S △ ABC ∶ S △ A ′B ′C ′=1 ∶ 4
D.BC ∥ B′C′
A
知3－讲
知识点
位似图形的画法
3
画位似图形的步骤
(1) 确定位似中心(位似中心可以在两个图形同侧、中间，也可以在两个图形内部，还可以在两个图形的公共边上或两个图形的公共顶点处).
(2)分别连接位似中心和能代表原图形的关键点，并延长.
(3)根据相似比，确定新图形的关键点的位置.
(4)顺次连接所作各点，得到放大或缩小的图形.
知3－讲
易错点
(1)在确定位似比时，要注意明确是原图与新图的相似比，还是新图与原图的相似比，以便确定是将原图放大还是缩小；
(2)由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的.
知3－讲
知3－讲
特别提醒
利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，作图时要弄清楚相似比，分清楚是放大还是缩小，若变换后的图形与原图形的相似比大于1，则是将原图形放大了；若变换后的图形与原图形的相似比小于1，则是将原图形缩小了.
知3－练
[新视角 开放题]如图1.4-7，已知四边形ABCD，将四边形ABCD 放大，使放大后的图形与原图形是位似图形，且放大后的图形与原图形对应线段的比为2 ∶1.
解题秘方：紧扣“位似图形的定义和性质”，按画位似图形的步骤作图.
例 4
知3－练
解：根据位似中心的不同位置情况进行作图. (画法不唯一)
画法一：位似中心在四边形的顶点上，如图1.4-8，以点A为位似中心，四边形A1B1C1D1 就是所求作的图形，
知3－练
画法二：位似中心在四边形的边上，如图1.4-9，以AD 边
上一点为位似中心，四边形A1B1C1D1 就是所求作的图形.
知3－练
4-1.[月考· 芜湖桃园中学] 如图， 图中的小方格是边长为1 的正方形， △ ABC 与△ A1B1C1 是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
知3－练
(1)画出位似中心点O；
解：如图所示．
知3－练
(2)求出△ ABC 与△ A1B1C1 的位似比；
△ABC与△A1B1C1的位似比为AO∶A1O＝6∶12＝1∶2.
知3－练
(3)以点O 为位似中心， 在图中画一个△ A2B2C2， 使它与△ ABC 的位似比等于3 ∶ 2.
解：如图所示．
知4－讲
知识点
平面直角坐标系中的位似
4
1. 位似变换时对应点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，如果位似变换的位似中心是原点，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或－k，即若原图形上某一点的坐标为(x0，y0) ，则新图形上其对应点的坐标为(kx0，ky0)或(－kx0，－ky0).
注意：这里的相似比指的是新图形与原图形的对应边的比.
2. 平面直角坐标系中多边形的位置特征
如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在x 轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大(或缩小)相同的倍数，所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是它们的位似中心.
知4－讲
3 . 位似变换与平移、轴对称、旋转三种变换的联系和区别
(1)位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换是全等变换，而位似变换是相似变换.
知4－讲
①平移变换是横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的距离.
②在轴对称变换中，以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y 轴为对称轴，则纵坐标相等，横坐标互为相反数.
知4－讲
③在旋转变换中，一个图形绕原点旋转18 0°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都分别互为相反数.
④在位似变换中，当以原点为位似中心时，变换后与变换前两个图形对应点的横坐标之比的绝对值、纵坐标之比的绝对值都等于相似比.
知4－讲
知4－讲
特别解读
●在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为k 作位似变换，那么当新图形与原图形在原点的同侧时，原图形上的点(x，y) 对应新图形上的点(kx，ky)；当新图形与原图形在原点的两侧时，原图形上的点(x，y) 对应新图形上的点(－kx，－ky).
●当k>1 时，图形放大为原来的k倍；当0知4－练
[母题模拟· 安徽教材P29 例2]如图1.4-10，已知：△ ABC 三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，1)，C(1，5).
例 5
解题秘方：根据位似中心及位似比作图，利用位似变换的坐标变化规律求对应点的坐标.
知4－练
(1)以点O 为位似中心，在第一象限将△ ABC 放大为原来的2 倍，得到△ A1B1C1，请在网格中画出△ A1B1C1；
解：如图1.4-11，△ A1B1C1 即为所求.
知4－练
(2)若点D(x,y)是△ ABC 内任意一点，点D 在△ A1B1C1内的对应点为D1，则点D1 的坐标为________；
(2x，2y)
知4－练
(3)请用无刻度直尺将线段AB 三等分.
解：如图1.4-11，点G，H 将线段AB 三等分.
做法：取格点M，N，P，Q，连接MP，NQ，分别交AB 于点G，H，此时， = =， = =，即点G，H 将线段AB 三等分.
知4－练
5-1.[期中·济南槐荫区] 如图，已知点O 是坐标原点，A，B 两点的坐标分别为(3，－ 1)，(2，1). 以O 点为位似中心在y 轴的左侧将△ OAB 放大到原图的2 倍， 画出对应的△ OA′B′，并写出点A的对应点A′的坐标.
知4－练
解：作△OA′B′如图所示：
点A′的坐标为(－6，2)．
图形的位似
位似图形
画法
坐标规律
定义
性质
