(共19张PPT)
2.1 锐角三角比
第2章 解直角三角形
知识点
锐角三角比的定义
知1－讲
1
1. 定义 如图2 .1-1， 在△ ABC 中，∠ C= 9 0°.
(1)正弦：在Rt △ ABC 中，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的正弦，记作sinA.
如图2 .1-1，sinA===.
知1－讲
(2)余弦：在 Rt △ ABC 中，我们把锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠ A 的余弦，记作cosA.
如图2 .1-1，cosA= ==.
知1－讲
(3)正切：在Rt △ ABC 中，我们把锐角A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作tan A.
如图2 .1-1，tanA===.
锐角A 的正弦、余弦、正切统称锐角A
的三角比.
知1－讲
2. 表示法
(1)在sinA，cosA，tanA 中，三角比的符号一定要小写，不能大写.
(2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角比习惯上省略角的符号，如sinA，cosα 等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角比不能省略角的符号，如sin ∠ ABC，sin ∠ 1 等.
知1－讲
特别提醒
1. 正弦、余弦、正切的定义是在直角三角形中针对锐角定义的，其本质是两条线段的长度之比.
2. 正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关.
知1－讲
3. 由于直角三角形的斜边长大于直角边长，且各边的长均为正数，所以锐角三角比的值都是正实数，且00.
4. sin2A 表示(sinA)2，
cos2A 表示(cosA)2，
tan2A 表示(tanA)2.
知1－练
例 1
[母题 教材P40 例1]如图2.1-2，在Rt △ ABC 中，∠C=90°，∠ A，∠B，∠ C 的对边分别为a，b，c. 已知a=6，b=8，求∠ A 的正弦、余
弦、正切的值.
解题秘方：紧扣正弦、余弦、正切的定义求解.
知1－练
解：在Rt △ ABC 中，∵∠ C= 9 0°，a= 6，b=8，
∴ c= = =10 .
∴ sinA===，cosA===，tanA===
知1－练
1-1.(教材P40 练习T2 变式)在Rt △ ABC中， ∠ C=90°，AC= ，BC=4， 求∠ A，∠ B 的锐角三角比.
知1－练
知1－练
如图2.1-3，在4×4 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，△ ABC 的顶点都在格点上，则图中
∠ ABC 的正弦值是_______．
例2
知1－练
解：由图可知，AC2=2 2＋4 2=20，BC2=12＋2 2=5，
AB2=32＋42=25，∴ AC2＋BC2=AB2 .
∴△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB= 90°.
∴ sin ∠ ABC==.
解题秘方：先根据勾股定理的逆定理判断出△ ABC 的形状，再由锐角三角比的定义即可得出结论．
知1－练
2-1.[模拟· 佛山]如图， 在网格中， 小正方形的边长均为1，△ AOB 的顶点都在格点上， 则∠ OAB 的正弦值是_______ .
知1－练
例 3
[新考向生活中的数学]如图2 .1-4 是一种方便携带的折叠凳子的侧面示意图，已知凳面AB 与水平地面CD 平行，且AB=CD，凳腿AD=BC=4 dm，当凳腿AD 与水平地面CD 的夹角为α 时人坐着最舒服, 此时凳面AB 离水平地面CD 的高度为( )
A.4sinαdm B.4cosαdm
C. dm D. dm
知1－练
答案：A
解题秘方：首先连接AC，BD，证出四边形ACDB 是矩形，再在直角三角形中根据锐角三角比的定义求出AC 或者BD 的长即可.
解：连接AC，BD.∵ AB ∥ CD，AB=CD，AD=BC，
∴四边形ACDB 是矩形. ∴∠ ACD= 9 0°.
∵∠ ADC=α，AD=4 dm，∴ AC=AD·sin ∠ADC=4sinα dm，
即此时凳面AB 离水平地面CD 的高度为4 sinαdm .
知1－练
3-1.[模拟· 聊城]在Rt△ ABC 中，∠ABC=90° . 若AC=100，sinA= ，则AB的长是( )
A. B. C. 60 D. 80
D
知1－练
3-2.(教材P41 习题T5 变式)在Rt △ ABC中，∠ C=90°，tanA=，AC=6, 则AB 的长为( )
A. 6 B. C. 10 D. 8
C
锐角三角比
锐角
三角比
正弦
余弦
正切
定义
计算
利用锐角三角比的定义求三角比
利用锐角三
角比的定义
求线段的长(共43张PPT)
2.4 解直角三角形
第2章 解直角三角形
知识点
解直角三角形的定义
知1－讲
1
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形.
知1－讲
特别提醒：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中,已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).
(2)一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明, 则不包括求面积.
知1－讲
深度理解
●已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件，三角形的大小不唯一，即有无数个三角形符合条件.
●已知一角一边时，角必须为锐角，因为若已知直角，则不能求解.
解直角三角形就是把所有的未知元素求出来的过程，不是只求单独的一条未知边或一个未知角.
知1－练
例 1
[母题 教材P49 观察与思考]根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.
A. ①②③ B. ②④ C. 只有② D. ②④⑤
知1－练
解题秘方： 紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答.
特别提醒：解直角三角形时，求某些未知量的方法往往不唯一，选择关系式通常遵循以下原则：1. 尽量选择可以直接应用原始数据的关系式；2 . 尽量选择便于计算的关系式；3 . 能用乘法计算的要避免使用除法计算.
知1－练
解：①能够求解；②不能求解；③能够求解；④能够求解；⑤能够求解.
答案：C
知1－练
1-1.(教材P50 例2变式) 在Rt △ ABC中， ∠ C=90 °， 已知∠ A，b，解直角三角形就是要求出( )
A. c
B. a，c
C. ∠ B，a，c
D. ∠ B，a，c，S△ ABC
C
知2－讲
知识点
直角三角形中的边角关系
2
1. 直角三角形中的边角关系：在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，∠ A，∠ B，∠C 所对的边分别为a，b，c，那么除∠C 外的五个元素之间有如下关系.
(1)三边之间的关系：a2＋b2=c2(勾股定理).
(2)两锐角之间的关系：∠ A ＋ ∠ B= 9 0°.
知2－讲
(3)边角之间的关系：
sinA==，sinB==；
cosA==，cosB==；
tanA==，tanB==.
知2－讲
2. 运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形：
(1) 两锐角之间的关系：∠ A=9 0°－ ∠ B，∠ B=9 0°－ ∠ A；
(2)三边之间的关系：a= ，b=，c= ；
(3) 边角之间的关系：a=csinA，a=ccosB，a=btanA；b=csinB，b=ccosA，b=atan B.
知2－讲
活学巧记
有斜求对乘正弦，
有斜求邻乘余弦，
无斜求对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边，那么就用斜边长乘该锐角的正弦，其他的意思可类推.
知2－练
[母题模拟· 北京教材P52 练习T1]已知：如图2 .4-1，在△ ABC 中，CD⊥ AB，sinA=，CD=4，AB=5，求AD 的长和tanB 的值.
例2
解题秘方：解题的关键是先找出直角三角形，再根据直角三角形的边角关系解题即可.
知2－练
解：∵ CD ⊥ AB，∴∠ CDA= ∠ CDB= 90°.
在Rt △ ADC 中， ∵ sinA==，CD=4，
∴ AC=5 . 根据勾股定理可得AD= =3 .
又∵ AB=5，∴ BD=AB－AD=2 .
∴在Rt △ CBD 中，tanB==2 .
知2－练
2-1.[模拟·宜昌] 如图， 在Rt △ ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠ A ≠ 45 °， 则下列比值中不等于cosB 的是( )
A. B.
C. D.
C
知3－讲
知识点
解直角三角形的四种基本类型
3
图形 已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边，一直 角边(如c， a) (1)b= ；
(2)由sinA=求∠ A；
(3)∠ B=90°－∠ A
两直角边(a，b) (1)c= ；
(2)由tanA=求∠ A；
(3)∠ B=90°－∠ A
知3－讲
图形 已知类型 已知条件 解法步骤
一边一锐角 斜边，一锐角(如c，∠ A) (1)∠ B=90°－∠ A；
(2)由sinA=，得a=c·sin A；
(3)由cosA=，得b=c·cosA
一直角边，一锐角(如a，∠ A) (1)∠ B=90° －∠ A；
(2)由tanA=，得b=；
(3)由sinA=，得c=
知3－讲
教你一招
解直角三角形的一般方法：
在解直角三角形时，应求出所有未知元素.首先要分析出直角三角形中的已知元素，根据已知元素利用适当的边角关系进行求解. 求边的长度时，为减小误差，一般要选择题目中的原始数据，尽量避免用中间所得的结果计算.
知3－练
[母题 教材P52 习题T1(1)]根据下列条件，解直角三角形：
例 3
解题秘方：紧扣直角三角形的边角关系选择适合的关系式求解.
知3－练
(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=20，c=20 ；
解：在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，a=20，c=20 ，
则sinA===，
∴∠ A=45°. ∴∠ B= 90°－∠ A=45°. ∴ b=a=20 .
知3－练
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a=2 ，b=2.
解：在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，a=2 ，b=2，
则c= a2＋b2 = 12＋4 =4 .∵ tanA=== ，
∴∠A= 6 0°. ∴∠ B=9 0°－∠A= 90°－60°=3 0°.
知3－练
方法点拨：解直角三角形选择关系式常遵循的原则：当已知中有斜边时，优先考虑用正弦或余弦，无斜边时，就用正切；当所求的元素既可以用乘法又可以用除法求解时，优先考虑用乘法；在解题过程中，既可以用原始数据又可以用解题过程中得到的数据时，优先考虑用原始数据.
知3－练
3-1. 在直角三角形ABC 中，∠ C=90°，a，b，c 分别为∠ A，∠ B， ∠ C 的对边，根据下列条件解直角三角形.
(1)a=6，b=2 ；
知3－练
(2)a=5，c=5 .
解：b＝5，∠A＝∠B＝45°.
知3－练
[母题 教材P52 习题T1(2)] 根据下列条件，解直角三角形：
解题秘方：求边时，一般用未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一个锐角三角比.
例 4
知3－练
(1)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=30°，b=12；
解：在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，∠ A=30°，
∴∠ B= 90°－∠ A= 60°.
∵ tanA=，∴=.∴ a=4. ∴ c=2a=8 .
知3－练
(2)在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，c=6.
解：在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，∠ A= 60°，
∴∠ B= 90°－∠ A=30°.
∵ sinA=，∴=. ∴ a=3 .
由勾股定理，得b= c2－a2 ==3 .
知3－练
4-1.(教材P52 习题T1(2) 变式) 在直角三角形ABC 中，∠ C=90°，a，b，c 分别为∠ A，∠ B，∠ C 的对边，其中∠ B=60°，c=14，根据条件解直角三角形.
知4－讲
知识点
非直角三角形问题的解法
4
1. 在解非直角三角形时，常用的方法就是通过作高(或作垂线)构造直角三角形.
2. 常见类型
(1)三角形作高法；(2)梯形作高法；(3)四边形两边延长线相交法；(4)四边形对角线连接法.
知4－讲
特别提醒
在通过作高构造直角三角形时，常通过非特殊角的顶点作高，把特殊角转化到直角三角形中，方便求解.
知4－练
[新视角实践探究题中考·遂宁]某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：
例 5
知4－练
实践探究活动记录表 活动内容 测量湖边A，B 两处的距离 成员 组长：××× 组员：×××××××××××× 测量工具 测角仪，皮尺等 测量示意图 说明：因为湖边A，B 两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C. 可测量C 处到A，B 两处的距离. 通过测角仪可测得∠ A，∠ B，∠ C 的度数.
知4－练
实践探究活动记录表 测量数据 角的度数 ∠ A=30°
∠ B=45°
∠ C=105°
边的长度 BC=40.0 米
AC=56.4 米
知4－练
数据处理组得到上面数据以后做了认真分析. 他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A，B 之间的距离. 于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容.
知4－练
已知：如图2 .4-2，△ ABC 中，∠ A=30 °，∠ B=
45 °，______________.(从记录表中再选一个条件填入横线)
求：线段AB 的长. (为减小结果的误差，
若有需要， 取1.41， 取1.73，
取2 .45 进行计算，最后结果保留整数.)
知4－练
解题秘方：紧扣化斜为直法，通过作高把斜三角形转化为两个直角三角形求解.
知4－练
解：①当填入AC=5 6 .4 米时，
作CD ⊥ AB 于点D，在Rt △ ACD 中，∠ A=30 °，AC=
56 .4 米，∴ CD=AC=28 .2 米，AD= CD=28.2 米.
在Rt △ BCD 中，∠ B=45°，CD=28 .2 米，
∴∠ BCD=45°. ∴ BD=CD=28 .2 米.
∴ AB=AD＋BD=28 .2 ＋28.2 ≈ 77(米).
知4－练
②当填入BC=40 .0 米时，
作CD ⊥ AB 于点D，在Rt △ BCD 中，∠B=45°，BC=
40.0 米，∴∠ BCD=45°. ∴ BD=CD=BC ≈ 28 .2 米.
在Rt △ ACD 中，∠ A=30°，DC≈28 .2 米，
∴ AD=≈ 28.2 米.
∴ AB=AD＋BD ≈ 28.2 ＋28.2 ≈ 77(米).
知4－练
5-2.[模拟·临沂] 如图， 在△ ABC 中，AC=4 ，BC=6，∠ C 为锐角且tanC=1.
知4－练
(1)求△ ABC 的面积；
知4－练
(2)求AB 的长；
知4－练
(3)求cos∠ ABC的值.
解直角三角形
解直角三角形
依据
定义
条件
三边关系
两锐角关系
边角关系(共51张PPT)
2.5 解直角三角形的应用
第2章 解直角三角形
知识点
解直角三角形在实际中的应用
知1－讲
1
1. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
(1)画出平面图形，将实际问题抽象为数学问题，转化为解直角三角形的问题.
(2)根据已知条件的特点，灵活选用锐角三角比等知识解直角三角形.
(3)得到数学问题的答案.(4)得到实际问题的答案.
知1－讲
2. 解决实际问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示
图形 关系式 图形 关系式
AC=BC·tanα， AG=AC＋BE BC=DC－BD=AD·
(tanα －tanβ )
知1－讲
图形 关系式 图形 关系式
AB=DE=AE·tanβ ，CD=CE＋DE=AE·(tanα ＋tanβ ) BD=BC－DC=AC·
(－)，
AG=AC＋CG=AC＋BE
知1－讲
图形 关系式 图形 关系式
BC=BD＋DC=AD·(＋) BC=BE＋EF＋CF=BE＋AD＋CF=AD＋h·(＋)
知1－讲
特别提醒
1. 当实际问题中涉及的图形可以直接转化为直角三角形时，可利用解直角三角形的知识直接求解.
2. 在解直角三角形时，若相关的角不是直角三角形的内角，应利用平行线的性质或互余、互补的角的性质将其转化为直角三角形的内角，再利用解直角三角形的知识求解.
3. 问题中有两个或两个以上的直角三角形，当其中一个直角三角形不能求解时，可考虑分别由两个直角三角形找出含有相同未知元素的关系式，运用方程求解.
知1－练
例 1
京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图2.5－1 所示，在岸边分别选定了点A，B 和点C，D，先用卷尺量得AB=160 m，CD=40 m，再
用测角仪测得∠ CAB=30 °，∠
DBA=60 °，求该段运河的河宽
(即CH 的长).
知1－练
解题秘方：作高将实际问题转化为解直角三角形问题.
解：如图2 .5－1，过点D 作DE ⊥ AB，垂足为点E，
易得四边形CHED 为矩形，∴ HE=CD=40 m.
设CH=DE=x m，在Rt △ BDE 中，
∠ DBA= 6 0°，∴ BE=x m.
知1－练
在Rt △ ACH 中，∠ CAB=3 0°，∴ AH= x m.
由AH＋HE＋EB=AB=160 m，得3x＋40＋x=160，
解得x=30 ，即CH=30 m，
则该段运河的河宽为30 m．
知1－练
1-1. 如图所示，优优同学想测量某河段的宽度，河对岸的直线m 上有两棵大树A，B，优优同学在河边与直线m 平行的直线n 上取相距300 m的C，D 两点，用测角仪测得∠ ACB=15°，∠ BCD = 120 ° ，∠ ADC=30 °，AE ⊥n 于点E，根据以上数据，
请你计算该河段AE 的宽度.(结
果保留根号)
知1－练
知1－练
知1－练
例2
[中考·长沙] 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A，B 两地间的公路进行改建．如图2.5－2，A，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶．已知BC=
80 千米，∠ A=45°，∠ B=
30 °．(结果精确到0. 1 千米，
参考数据： ≈ 1.41， ≈ 1.73)
知1－练
解题秘方：过点C 作AB 的垂线CD, 构造出两个直角三角形,然后解直角三角形即可.
知1－练
(1)开通隧道前，汽车从A 地到B地大约要走多少千米？
解：如图2 .5－2，过点C 作AB 的垂线CD，垂足为点D.
∵ sin30°=，BC=80千米，
∴ CD=BC·sin30°=80×=40(千米).
∵ sin45°=，∴ AC===40(千米).
∴ AC＋BC=40＋80 ≈ 40×1.41＋8 0 =136 .4(千米).
知1－练
(2)开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米？
解：∵ cos30°=，BC=80 千米，
∴ BD=BC·cos3 0°=80×=40 (千米).
∵ tan45°=，CD=40 千米，
∴ AD===40(千米).
知1－练
∴ AB=AD＋BD=40＋40 ≈ 40＋ 40×1.73=10 9.2(千米).
∴ AC＋BC－AB ≈ 136 .4－10 9.2=27.2(千米)．
故开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走27.2 千米．
知1－练
教你一招：解直角三角形的实际应用问题的求解方法：
(1)根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；
(2)若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角比求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角比求解.
知1－练
2-1. 如图，沿AB 的方向开山修路，为了加快速度，
要在小山的另一边同时施工，从AB 上取一点C，取
∠ ACD=136°，测得CD=500 m，DE ⊥ AE， 点A，C，E 在同一直线上，那么开挖点E 离点D 的距离是( )m.
A. 500sin44° B. 500cos44°
C. 500tan44° D.
A
知1－练
2-2.[模拟·武汉] 如图， 沿AB 方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB 上湖的另一边的D 处同时施工，取∠ ABC=150 °，BC=1 600 m，CD=1 000 m，则B，D 两点之间的距离是_____________m.
知2－讲
知识点
解直角三角形在解仰角和俯角问题中的应用
2
1. 仰角和俯角的定义
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角；视线在水平线下方的角叫做俯角.
知2－讲
2. 示图(如图2 .5－3 所示)
知2－讲
特别提醒
●仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”.
●实际问题中遇到仰角或俯角时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
知2－练
[母题中考· 菏泽教材P57练习T1] 无人机在实际生活中的应用广泛，如图2.5－4 所示，某人利用无人机测大楼的高度BC，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80 米，点A 处俯角为60 °，楼顶C 点处的俯角为30 °，已知点A 与大楼的距
离AB 为70 米(点A，B，C，P 在同一
平面内)，求大楼的高度BC(结果保留
根号).
例 3
知2－练
解题秘方：实际问题中遇到仰角或俯角问题时，要放在直角三角形中或转化到直角三角形中，注意确定水平线.
知2－练
解：如图2 .5－4，过P 作PH⊥ AB 于点H，
过C 作CQ ⊥ PH 于点Q，而CB ⊥ AB，
则四边形CQHB 是矩形，
∴ QH=BC，BH=CQ.
由题意可得AP=80 米，∠ PAH=60 °，∠ PCQ=30 °，
AB=70 米，∴ PH=AP·sin60°=80×=40 (米)，
知2－练
AH=AP·cos6 0°=80×=4 0(米).
∴CQ=BH=70－40 =30(米). ∴PQ=CQ·tan30°=10 米.
∴ BC=QH=PH－PQ=40 －10 =30 (米).
∴大楼的高度BC 为30 米.
知2－练
3-1. 如图，某校数学兴趣小组在A 处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E 处的仰角为21.8°，仪器与气球的水平距离BC 为20 米， 且距地面高度AB 为1.5 米，则气球顶部离地面的高度CE 是_____米.( 结果精确到0.1 米，sin21.8 ° ≈ 0.371 4，
cos21.8 ° ≈ 0.928 5，
tan21.8°≈ 0.400 0)
9.5
知3－讲
知识点
解直角三角形在解方向角中的应用
3
方向角的定义
从正北方向或正南方向到目标方向所形成的锐角叫做方向角.
如图2 .5－5，目标方向线OA，OB，OC 的方向角分别可以表示为北偏东30 °，南偏东45°，北偏西3 0 °，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏东45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向，南偏西45°习惯上又叫做西南方向.
知3－讲
特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点的指北方向线起，按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，变化范围为0°~3 6 0°，而方向角的变化范围是0°~9 0°.
知3－讲
知3－讲
特别提醒
●因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏……”“南偏……”的形式.
●解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.
知3－练
[母题 教材P57 练习T2]如图2. 5－6，某巡逻艇计划以40 海里/时的速度从A 处向正东方向的D 处航行，出发1. 5 时到达B 处时，突然接到C 处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60 海里/ 时的速度向北偏东30°方向的C 处航行，到达C 处后测得A 处位
于C处的南偏西60°方向，解救后巡
逻艇又沿南偏东45°方向航行到D 处．
例 4
知3－练
(1)求巡逻艇从B 处到C 处用的时间.
解题秘方：根据外角的性质和等角对等边求出BC 的长，
即路程，则时间=，代入计算.
知3－练
解：AB=1.5×4 0 = 60(海里).
由题意得∠ ACF= 60°，∠ EBC=30°，
∴∠ A= 90°－ 60°=30°，∠ CBF= 90°－30°= 60°.
∵∠CBF= ∠A＋ ∠ACB，∴∠ ACB= 60°－30°=30°.
∴∠ ACB= ∠ A=3 0°.∴ BC=AB= 60 海里. ∴=1(时).
故巡逻艇从B 处到C 处用的时间为1 时.
知3－练
(2)求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里(结果精确到1 海里，参考数据： ≈ 1.73， ≈ 2.45).
解题秘方：原计划的路程为AD 的长，实际的路程为AB＋BC＋CD，相减即可.
知3－练
解：∵∠ FCD=45°，∠ CFD= 90°，
∴△ CFD 是等腰直角三角形.
∴ FD=FC=BC·sin60°=30 海里.
∴ CD= FC=3 0 海里.
又∵∠ BCF= 60°－30°=30°，
∴BF=BC·sin30°=30 海里. ∴ AB＋BC＋CD－(AB＋BF＋FD)=BC＋CD－BF－FD=60＋30 －30－30 ≈ 52(海里).
故巡逻艇实际比原计划多航行了约52 海里．
知3－练
4-1.[中考·聊城] 东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应. 如图所示，城门楼B 在角楼A的正东方
向520 m 处，南关桥C 在城门楼B
的正南方向1 200 m 处.
知3－练
在明珠大剧院P 测得角楼A 在北偏东68.2°方向，南关桥C 在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P 四点在同一平面内)，求明珠大剧院到龙堤BC 的距离(结果精确到1 m). ( 参考数据：sin68.2°≈ 0.928，cos68.2°≈ 0.371，tan68.2°≈ 2.500，sin56.31°≈ 0.832，cos56.31°≈ 0.555，tan56.31°≈ 1.500)
知3－练
知3－练
知4－讲
知识点
解直角三角形在解坡角和坡度问题中的应用
4
1. 坡角和坡度(坡比)的定义
(1)坡角：坡面与水平面所成的夹角，如图2 .5-7 中的锐角α .
(2)坡度(坡比)：我们通常把坡面的铅直高度h 和水平距离l 的比叫做坡度(坡比)(如图2 .5-7 所示)，坡度(坡比)可写成i = h ∶ l 的形式，在实际应用中常表示成1∶ x 的形式.
知4－讲
坡度是两条线段的比值，不是度数.
2. 坡度与坡角的关系
i== tanα，即坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大.
知4－讲
知4－讲
特别提醒
1. 表示坡度时，通常把比的前项取作1，后项可以是小数.
2. 物体的倾斜程度通常可用物体的坡度表示，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之，坡度越小，坡角越小，坡面越缓.
知4－练
[母题中考· 仙桃教材P58 例4]为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图2 .5-8，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3∶4 是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比. 已知斜坡CD的长度为20 米，∠C=18 °，求斜坡AB的长. (结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈ 0.31，
cos18°≈ 0.95，tan18°≈ 0.32)
例 5
知4－练
解题秘方：过点D 作DE ⊥ BC 于E, 根据勾股定理, 坡比和锐角三角比进行计算即可解答.
知4－练
解：过点D 作DE ⊥ BC，垂足为E，易得DE=AF.
∵斜面AB 的坡度i=3 ∶4，∴=.
∴设AF=3x 米，则BF=4x 米.
在Rt △ ABF 中，AB= = =5x(米).
知4－练
在Rt △ DEC 中，∠ C=18°，CD=20 米，
∴ DE=CD·sin18°≈ 20×0 .31= 6 .2(米).
∴ AF=DE ≈ 6 .2 米. ∴ 3x ≈ 6 .2，解得x ≈.
∴ AB ≈ 10 .3 米.∴斜坡AB 的长约为10 .3 米.
知4－练
5-1. 如图，某小型水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，DC ∥ AB，测得迎水坡的坡角α =30°，已知背水坡的坡比为1.2 ∶ 1， 坝顶部宽为2 m，坝高为6 m， 则坝底AB 的长为__________ .
解直角三角形的应用
解直角三角形的应用
仰角和俯角问题
方向角问题
坡角和坡度问题
一般步骤
一般测量问题(共28张PPT)
2.2 30°，45°，60°角的三角比
第2章 解直角三角形
知识点
特殊角的三角比
知1－讲
1
1. 30°，45°，60°角的三角比
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
知1－讲
30° 45° 60°
图形
知1－讲
2. 拓展 3 0°，45°，6 0°角的三角比的记忆法：
三十、四十五、六十度，三角比要记住，
分母弦二切是三，分子要把根号添，
一二三来三二一，切值三、九、二十七，
正弦正切递增值，余弦递减恰相反.
知1－讲
特别提醒
1. 能利用特殊锐角的三角比的值进行计算，也可由特殊角的三角比的值求出相应的锐角.
2. 2sin60°表示sin60°的2倍，书写时省略2 与sin60°之间的乘号，且应将数字2放在前面，不要写成sin60°·2，以免误以为是sin120° .
知1－练
例 1
(1)已知∠α=45°，求2sin2α－2 sinα·tan α＋tan2α.
解题秘方：用代入法求值.
解：原式=(sinα－ tanα)2=(sin45 °－tan45° ) 2 =( ×－1)2= 0 .
知1－练
(2)[母题 教材P44 习题T1]计算tan245 °＋－3cos230°.
解题秘方：用代入法求值.
解：原式=×12＋－3×()2=＋4－=2 .
知1－练
1-1. 计算：
(1)2sin 245 ° ＋ sin60° ＋sin30°；
(2)[中考· 济宁]－2cos30°＋|－2|＋2－1；
知1－练
(3)|－ |＋(－2 024)0－2sin45° － ()－1.
知1－练
[母题 教材P44 习题T4 ]在Rt △ ABC 中，∠C=90°，根据下列条件求∠ A，∠ B 的度数：(1)a=8 ，b=8 ；(2)a=4 ，c=8.
解题秘方：先画出图形，(1)由∠ A 的正切值求出∠ A，再利用∠ A，∠ B 的互余关系求出∠ B.(2)由∠ A 的正弦值求出∠ A，再利用∠ A，∠ B 的互余关系求出∠ B.
例 2
知1－练
解：(1)如图2 .2-1 ① . 在Rt △ ABC 中，tanA===，∴∠ A=30°. ∴∠ B=90°－∠ A=90°－30°=60°.
知1－练
(2)如图2 .2-1 ② . 在Rt △ ABC 中，sinA== =，∴∠ A=45°. ∴∠ B= 90°－∠A= 90°－45°=45°.
知1－练
2-1. 已知α 为锐角，且sin(α －10 °)=，则α 等于______.
2-2.[月考·聊城] 在△ ABC 中, 若|2cosA－1|＋2(1－tanB)2=0,则∠ C 的度数是( )
A. 45° B.60° C. 75° D.105°
70°
C
知2－讲
知识点
同一锐角的三角比之间的关系
2
关系 项目 速记内容 巧记关系式
平方关系 同一个锐角α 的正弦值与余弦值的平方和等于1 sin2α＋cos2α=1
商的关系 同一个锐角α 的正弦与余弦的比值等于它的正切值 tanα=
知2－讲
同一锐角的三角比之间的关系的推导：
如图2 .2-2 所示，在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，∠ A=α .
∵ sinα=，cosα=，tanα=，
∴ sin2α＋cos2α=()2＋()2===1，
=== tanα，即sin2α+cos2α=1，tanα= .
知2－讲
特别提醒
已知sinα，cosα，tanα 中的任意一个，根据关系式可求出另外两个.
知2－练
[母题 教材P44 习题T3]已知∠ A 是锐角，且cosA= ，则tanA= ______.
例 3
知2－练
解题秘方：本题主要考查了同角的三角比，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α＋cos2α=1，tanα= ，据此即可求解.
知2－练
解：∵ sin2A＋cos2A=1，即sin2A＋()2=1，
∴ sin2A=.
∵∠ A 是锐角，∴ 0 ﹤ sinA ﹤ 1. ∴ sinA=.
∴ tanA= ==.
知2－练
另解
如图2.2-3， 由cosA=，设AC=5x，则AB=13x,由勾股定理得
BC=12x, ∴ tanA===.
知2－练
3-1. 已知tanα =5，则=_________.
知3－讲
知识点
互余两角的三角比之间的关系
3
语言描述 图示 公式推导
一个锐角的正弦值等于其余角的余弦值，一个锐角的余弦值等于其余角的正弦值 如图2.2-4， 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，
∵ sinA=，cosB=，cosA=，sinB=，∴ sinA=cosB，cosA=sinB.
知3－讲
语言描述 图示 公式推导
互余两角的正切值的乘积等于1. 如图2.2-4， 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，a，b 为两直角边，∵ tan A=，tanB=，∴ tanA·tanB=·=1.
知3－讲
深度理解
锐角三角比之间的关系都可用定义推理得出.
知3－练
[荣德原创题] 若α 为锐角，且sin(40°－α)=cos(10°＋3α)，则α 的度数是( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
例 4
知3－练
解题秘方：根据一个锐角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即可求解.
解：∵ sin(40°－α)= cos(10°＋3α)，
∴ 40°－α＋10°＋3α= 90°，解得α=20°.
答案：D
知3－练
4-1. 如果α 是锐角，且sinα = ， 那么cos(90°－α) 的值为( )
A. B. C. D.
B
30°，45°，60°角的三角比
特殊角的三角比
由特殊角的三角
比计算式子的值
计算
由三角比求角的度数
由特殊角的三角比探索三角比的变化规律(共26张PPT)
2.3 用计算器求锐角三角比
第2章 解直角三角形
知识点
用科学计算器求任一锐角的三角比或求锐角
知1－讲
1
1. 利用计算器求锐角三角比
(1)当锐角以“度”为单位时，可先按 sin (或 cos 、tan )键，然后输入锐角的度数(可以是整数，也可以是小数)，最后按 = 键，就可以在屏幕上显示出结果.
知1－讲
(2)当锐角以“度、分、秒”为单位时, 要借助 DMS 键计算，按键顺序是sin ( 或cos 、tan )、度数、DMS 、分数、DMS 、秒数、DMS 、= .
知1－讲
2. 已知锐角三角比求锐角的度数
如果是特殊角(30°，45°，60°角)的三角比的值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角比的值，应利用计算器求角的度数. 求角的度数要先按 2ndF 键，将sin 、cos 、tan 键转化成它们的第二功能键；当三角比的值为分数时，应先化成小数.
知1－讲
特别提醒
1. 不同型号计算器的按键顺序有可能不同，使用前要仔细阅读计算器的使用说明书.
2. 用科学计算器进行运算时，输入的数字的顺序与书写时的顺序不一定相同，比如sin213° 15′输入时应为(sin13° 15′)2.
知1－练
例 1
[母题 教材P45 例1 ]用计算器求sin16 °，cos 42 °，
tan85 °，sin72°38′25″的值.
解题秘方：按计算器的使用说明求值.
知1－练
解：sin16 °的按键顺序为 sin 1 6 = ，显示结果为
0.275 637 355；
cos42°的按键顺序为cos 4 2 = ，显示结果为0.743 144 825；
tan85°的按键顺序为tan 8 5 = ，显示结果为11.430 052 3；
sin72°3 8′2 5″的按键顺序为sin 7 2 DMS 3 8 DMS
2 5 DMS = ，显示结果为0 .9 54 45 0 312 .
知1－练
1-1.[模拟· 东营]若用科学计算器计算tan35°12′的值，按键顺序正确的是( )
A. tan 3 5 · 1 2 =
B. tan 3 5 DMS 1 2 =
C. 2ndF tan 3 5 DMS 1 2 =
D. tan 3 5 DMS 1 2 DMS =
D
知1－练
[母题 教材P47 例3 ]根据下列三角比的值求锐角A 的度数(精确到1″)：
(1)sin A=0.9816； (2)cosA=0.860 7；(3)tanA=0.189 0.
解题秘方：按计算器的使用说明依次按键.
例 2
知1－练
解：在角的度量单位为“度”的状态下，
(1)按下列顺序依次按键： 2ndF sin 0 · 9 8 1 6 = ，屏幕上显示78 .9 91 8 4 0 39°，即锐角A ≈ 78 .9 91 8 4 0 39°，再按 DMS 键，将它换算成“度、分、秒”的形式，屏幕上显示78°59′3 0 .63″，所以锐角A ≈ 78°59′31″.
知1－练
(2)按下列顺序依次按键： 2ndF cos 0 · 8 6 0 7 = ，
屏幕上显示3 0 .6 0 4 73 0 0 7°，即锐角A ≈ 3 0 .6 0 4 73 0 0 7°，再按DMS 键，将它换算成“度、分、秒”的形式，屏幕上显示3 0°3 6′17.0 3″，所以锐角A ≈ 3 0°3 6′17″.
知1－练
(3)按下列顺序依次按键：2ndF tan 0 · 1 8 9 0 = ，
屏幕上显示10 .70 2 657 49 °，即锐角A ≈ 10 .70 2 657
49 °，再按DMS 键，将它换算成“度、分、秒”的形式，屏幕上显示10°4 2′9.57″，所以锐角A ≈ 10°4 2′10″
知1－练
2-1. 锐角A 满足cosA=，利用计算器求∠ A的度数时， 依次按键2ndF cos ( 1 ÷ 2 ) = ，则计算器上显示的结果是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
C
知2－讲
知识点
锐角三角比的规律
2
1. 当0 °<α<90 °时，sinα，tanα 的值随α 的增大而增大，而cosα 的值随α 的增大而减小. 任意锐角的正弦、余弦、正切值都是正实数，并且00.
2. 若∠ A，∠ B 都是锐角，且∠ A＋ ∠ B= 9 0°，则sinA= cosB，sinB= cosA.
知2－讲
特别提醒
此知识点的结论可以在解答选择题、填空题时使用，不能在证明题中作为证明依据.
知2－练
[母题 教材P46 挑战自我]用计算器计算后填写表格.(精确到0.01)
0.17
例 3
锐角α 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70°
sinα
cosα
0.34
0.50
0.64
0.77
0.87
0.94
0.98
0.94
0.87
0.77
0.64
0.50
0.34
知2－练
解题秘方：利用计算器填表，进而观察随着度数的增加，正弦值、余弦值怎样变化，从而解决问题(2)和(3).
知2－练
(1)观察上表，你发现sinα，cosα 的值随锐角α 怎样变化？
解：sinα 的值随锐角α 的增大而增大，cosα 的值随锐角
α 的增大而减小.
知2－练
(2)根据你探索到的规律，比较下列各组式子的大小：
① sin16°，sin28°，sin56°，sin78°；
② cos16°，cos28°，cos56°，cos78°.
sin16°cos16°>cos2 8°>cos5 6°>cos78°.
知2－练
(3)比较大小：
当0°<α<45°时，sinα _____cosα；
当α=45°时，sinα _____ cosα；
当45°<α<90°时，sinα _____ cosα.
<
=
>
知2－练
3-1. 利用sinα 的值随锐角α 变化的规律判断：若A. 30° <α <60° B. 30° <α <90°
C. 0° <α <60° D. 60° <α <90°
A
知2－练
3-2.( 教材P49 习题T5 变式) 若三个实数α ，β ，γ 满足sin48° =α ，cos48° =β ，tan48° =γ ，则α ，β ，γ 由小到大的顺序为 _________.
β＜α＜γ
知2－练
在Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，cosA= ，则sinB 的值
为( )
A. B. C. D.
例 4
知2－练
解题秘方：由∠ C= 90°知，∠ A 与∠ B 互余，则由互余两角的三角比的关系可以直接得出答案.
解：∵在Rt △ ABC 中，∠ C= 90°，cosA=，
∴ sinB= cosA=.
答案：D
知2－练
4-1. 在Rt △ ABC 中，∠ C=90°，sinA= ,则cosB=( )
A. B. C. D.
C
用计算器求锐角三角比
计算
用计算器求锐角三角比
用计算器探索三角比的变化规律
用计算器根据三角比求角的度数
