4.4* 数学归纳法 教学设计

数学归纳法
教学目标：
（1）通过实例及合作探究，了解数学归纳法的产生过程，并理解数学归纳法的原
理与实质；
掌握数学归纳法证明问题的三个步骤，初步会用“数学归纳法”证明与自然
数有关的简单命题；
通过数学归纳法进一步反思归纳法的思想，并理解数学归纳法的核心—递推
思想。
通过师生、生生的互动交流过程，从各层次认识所学问题和方法的本质，享
受这个过程所带来的各种认识和收获，在学习交流中不断提高辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力. 为下一步的学习奠定良好的基础。
教学重点：
数学归纳法的原理及步骤
教学难点：
数学归纳法中递推思想的理解
教 具：多媒体
教学方法：合作探究、分层推进教学法
教学过程：
复习回顾，引入新课：
从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字了。第一天先生教给他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推就可以了。从此，他决定不再去上学了，父母问他为何不去上学，他自豪地说：“我都学会了”。父母要他写出自己的名字“万百千”，你能猜想出他会怎么去写自己的名字吗？
让学生通过故事分析出归纳推理得到的结论是不可靠的。
我们知道对于数列{an}，已知a1＝1，且（n＝1，2，3…）通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．
要证明这个猜想，同学们自然就会从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
二、 创设情境 合作探究 ：
【创设情景】
同学们都见过或玩过多米诺骨牌游戏，
（播放多米诺骨牌录像）
大家想一下满足怎样的条件，所有多米诺
骨牌就都能倒下：
(1) 第 块骨牌倒下；
(2) 任意 的两块骨牌， 块倒下一
定导致 倒下。
只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定
可以 倒下．
【合作探究】
你认为证明数列的通项公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
神奇的对比 多米诺骨牌 数学命题证明
目标 每块骨牌倒下 每个值都成立
要求 （1）第一块要倒下（2）若前块倒下，则后块也倒下 时要成立若时成立，则时也成立
结论 由（1）（2）知游戏成功 由（1）（2）知命题成立
由此，尝试着归纳出这种方法的原理及步骤：
【数学归纳法的原理及步骤】
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值（）时命题成立；
（2）（归纳递推）假设()时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法可以用下面的框图表示：
有了此法，前面的猜想就可进行证明了。
【证明】
证明：（1）当时，由已知知：猜想成立。
（2）假设当
那么，， 所以，当n=k+1时，猜想也成立。
综合（1）、（2），所以猜想对于成立。
【点评】数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。由此题可看出，若知道了递推关系，用数学归纳法证明是很简洁的。
三、典例示范 加深理解：
例1.用数学归纳法证明（）
【分析】证明与自然数n有关的等式问题，用数学归纳法还是比较方便的，要注意数学归纳法的步骤的规范性，不要丢掉关键的字或词，如：当n=k+1时命题也成立中的“也”字。
∴时，原不等式也成立 由1、2知当 时，原不等式都成立。
思维拓展训练：
用数学归纳法证明＋＋…＋＝(n∈N*)．
证明　①当n＝1时，左边＝＝，
右边＝＝，
左边＝右边．
所以当n＝1时等式成立．
②假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即：
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，左边＝
[＋＋…＋]＋
＝＋＝
＝＝＝右边．
∴当n＝k＋1时等式成立．
由①②知，对一切n∈N*等式成立．
例2.已知数列，计算,根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。
解：
思维拓展训练：
已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.
(1)求a2，a3；
(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．
解　(1)a2＝＝，a1＝，
则a2＝，类似地求得a3＝.
(2)由a1＝，a2＝，a3＝，…，
猜得：an＝.
证明：①当n＝1时，由(1)可知等式成立；
②假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，
那么，当n＝k＋1时，由题设an＝，
得ak＝，ak＋1＝，
所以Sk＝k(2k－1)ak＝k(2k－1)＝，
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－.
因此，k(2k＋3)ak＋1＝，所以ak＋1＝＝.
这就证明了当n＝k＋1时命题成立．
由①②可知命题对任何n∈N*都成立．
当堂检测 巩固所学：
1．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为__________.
3．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则n＝1时f(n)是__________.
4．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为________.
5.用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证的等式是________．
6.用数学归纳法证明(1－)(1－)(1－)·…·(1－)＝(n≥2，n∈N*)．
五、思悟小结：
基本知识：
（1）数学归纳法的原理与实质；
（2）数学归纳法的步骤；
（3）数学归纳法中的递推的内涵。
思想方法：
（1）数学归纳法；
（2）递推的思想方法。
题目类型：
（1）利用数学归纳法证明与自然数n有关的等式问题；
（2）利用数学归纳法证明关于数列的公式（通项、前n项和）；
六、布置作业：
导学案《基础智能检测》
板书设计：
数学归纳法
证明步骤：
（1）证明当取第一个值（）时命题成立；
（2）假设()时命题成立，证明当时命题也成立。
（3）由（1）（2）得命题成立。
若n＝k (k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
验证n＝n0时命题成立．
命题对从n0从开始所有的正整数n都成立．
归纳奠基 归纳递推
可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数表示为,可以猜想
下面我们用数学归纳法证明这个猜想。