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《加减法的关系和加法运算律》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《加减法的关系和加法运算律》单元是属于代数领域第二学段中的重要内容。《数学课程标准》：
在“内容要求”中指出：“探索并理解运算定律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、乘法分配律），能用字母表示运算律。”
在“学业要求”中指出：“能说出运算律的含义，并能用字母表示；能运用运算律进行简便运算，解决相关的简单实际问题，形成运算能力。”
在“教学提示”中指出：“学生初步了解运算的一致性，培养运算能力。通过实际问题和具体计算，引导学生归纳的方法探索运算律、用字母表示运算律，感知运算律是确定算理和算法的重要依据，形成初步的代数思维。”
（二）单元教材内容分析
本单元内容是在学习了四则混合运算的基础上安排的，由“加减法的关系”、“加法运算律”、“减法的性质”、“一个数加(减)接近整百的数”和“聪明的高斯”五部分组成。目的是让学生在实际问题的解决中，了解加减法的互逆关系，掌握加、减法的基本规律，为以后的简便计算打下坚实的基础。
（三）学生认知情况
在学习本单元之前，学生已经学习了加、减法和加减混合运算的内容，对简便计算也有了初步的感知。所以本单元的重点是引导学生归纳、总结加减法的关系及运算定律。使学生初步了解运算的一致性，培养学生的运算能力。
二、单元目标拟定
1. 从学生熟悉的情境出发，使学生亲身经历、感受加减法之间的关系，并用加、减法之间的关系解决问题。
2. 使学生理解并掌握加法交换律和加法结合律，能用字母表示这两个定律，并能进行相应的简便计算。
3. 经历减法的性质的探究过程，能用字母表示减法的性质，并能运用减法的性质进行简算。
4. 掌握一个数加（减）接近整百数的计算方法，能进行相应的简便计算。
5. 在探究数学知识的过程中，培养学生比较、归纳、概括、交流能力和合作意识。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.从学生的生活实际出发，感受加减法各部分之间的关系。
2.使学生理解和掌握加法结合律、加法结合律以及减法的性质，并能用这些定律进行简便计算。
（二）教学难点
理解并掌握加法运算定律、减法的性质和一个数加减接近整百数的简便计算。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》中指出：“探索并理解运算定律（加法交换律和结合律、乘法交换律和结合律、乘法分配律），能用字母表示运算律。”
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*com
注重趣味性，通过具有童话色彩的主题图来创设情境。
2．注重密切联系现实生活，突出解决问题策略的多样性。
3. 注重由生活语言向数学语言的转化。
4. 设置课堂活动，使学生通过探究活动，经历猜想、实验、推理和对照的过程，培养学生的数学能力。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 2
单元主题 单元名称 主要内容 课时
加减法的关系和加法运算律 加减法的关系和加法运算律 加减法的关系 1
加法运算律 1
减法的性质 1
一个数加(减)接近整百的数 1
聪明的高斯 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 □对应 □演绎 归纳 类比 □转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 □比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
2.1《加减法的关系》 目标： 从学生的生活情境出发，让学生去亲身经历、感受加减法各部分之间的关系。 任务一：口算、计算。→ 任务二：研究加减法的关系。 根据这些信息，可以列出哪些算式？ → 1．能口算和计算加减法练习题。 2.能掌握加减法之间的关系。
2.2《加法运算律》 目标： 结合具体情境，理解和掌握加法交换律、结合律的内容。能用字母表示加法运算律，并能运用加法运算律进行简便计算。 任务一：听故事，说一说。 小鸟说的对吗？ → 任务二：探究加法交换律。 算一算，说说你的发现 → 任务三：探究加法结合律。 3个年级共有学生多少人？ → 任务四：探究加法运算律的应用。 3个班共为残疾儿童捐款多少元？ → 1.能说出位置变了，但总量没有变化。 2.能总结出加法交换律，并能用字母表示。 3.能总结出加法结合律，并能用字母表示。 4.能利用加法运算律进行简便计算。
2.3《减法的性质》 目标： 理解并掌握减法的性质，能用字母表示减法的性质。能用简便方法计算并能用减法的性质解决问题。 任务一：练习导入。 说说下面的算式运用了什么定律？ → 任务二：探究减法的性质。还剩多少套服装？ → 1.能利用加法运算律填空，了解简便计算。 2.能总结出减法的性质，并能用字母表示。
2.4《一个数加(减)接近整百的数》 目标： 通过学习理解并掌握一个数加(减)接近整百数的简便计算的方法。正确运用数的凑整（拆分）进行简便计算。 任务一：听故事，说说你能理解这种付钱方法吗？ → 任务二：探究一个数加(减)接近整百的数的简便计算方法。 他共收电费多少元？ → 1．会填空会计算，能理解这种付钱方式。 2.会简便计算一个数加(减)接近整百的数。
2.5《聪明的高斯》 目标： 了解高斯的故事，掌握高斯求和的技巧，并能利用这一技巧解决简单的求和问题。 任务一：练习，认识等差数列。 填一填。 → 任务二：学习高斯的故事，探究等差数列的求和方法。 1.学生能找出数列的规律，能知道这是等差数列。 2.知道高斯的成就，会用等差数列求和公式解决简单的求和问题。
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第五课时
聪明的高斯
（西师版）四年级
上
01
学习目标
内容总览
02
新知导入
03
探究新知
04
课堂练习
05
课堂总结
06
分层作业
核心素养目标
了解高斯的故事，掌握高斯求和的技巧，并能利用这一技巧解决简单的求和问题。
01
02
经历探究过程，培养学生推理能力和解决问题的能力。
03
通过高斯的故事，激发学生学习的兴趣，培养学生的数学思想和探究精神。
新知导入
填 一 填
1）1、2、3、 、5、6、 、8。
2）5、7、9、 、13、15、 19。
4
7
11
17
每一项与它的前一项的差等于同一个数，这样的数列叫等差数列。
新知导入
计 算
1+2+3+4+5+…… +98+99+100=？
你能很快算出这道题的得数吗？
学习任务一
探究等差数列的求和方法
探究新知
聪明的高斯
探究新知
1+2+3+4+5+…… +98+99+100
你知道高斯怎样计算的吗？
高斯计算得对吗？
= ( 1+100）×50
= 5050
= 101×50
探究新知
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
11
11
11
11
11
11×5=55
用10个数验证一下
探究新知
1+2+3+4+5+…… +16+17+18+19+20
21
=21×10=210
用20个数验证一下
高斯的确聪明。
探究新知
你知道吗，还可以这样计算。
1+2+3+…… +98+99+100
+100+99+98+ ……+ 3 + 2 + 1
= (1+100)×100
= 101×100
= 10100
÷2
÷2
÷2
= 5050
探究新知
仔细观察，你能发现什么
1+2+3+…… +98+99+100
= (1 + 100 ) × 100 ÷ 2
首项
末项
项数
= ( + ) × ÷ 2
= 等差数列的和
探究新知
1+2+3+……+(n-2)+(n-1)+n
= (1 + n) × n
÷2
这是等差数列的前n项求和公式。
试
一
试
探究新知
听了这个故事后你有什么感
想？你还知道高斯的哪些故事？
探究新知
表彰高斯的邮票。
探究新知
德国10马克上高斯的头像。
探究新知
高斯和正十七边形
1796年3月,19岁的高斯用圆规和直尺作出了正17边形,解决了两千多年来一直没有解决的一个世界难题。为了纪念他的这一重大成就,于1855年高斯去世后，哥廷根大学按他的遗嘱建造了一座十分独特的纪念碑。它的底部是一个正17边形的台座,台座上面是高斯的雕像。
课堂练习---基础题
1. 计算下面各题。
1+2+3+……+1998+1999 11+12+13+……+30+31
= (1+1999)×1999÷2
= 2000×1999÷2
= 1999000
= (11+31)×21÷2
= 42×21÷2
= 441
课堂练习---基础题
2. 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点也敲一下。问时钟一昼夜敲打多少下？
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)×2+12×2
=78×2+24
=180（下）
答：时钟一昼夜敲打180下。
课堂练习---基础题
在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴。问：
1）最大三角形的面积是多少平方厘米？
2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
（1+3+5+7+9)×12=300(平方厘米）
3+6+9+12+15=45(根）
课堂练习---提高题
4. 已知等差数列2、5、8、11、14……
1）这个数列的第13项是什么？
2）47是其中的第几项？
2+(13-1)×3=38
（47-2）÷3+1=16
课堂练习---拓展题
5. 计算下图一共多少个长方形。
(10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)×(3+2+1)
=55×6
=330（个）
课堂总结
说一说：
通过刚才的学习，你有什么收获？
知道了数学家高斯的故事。
知道了等差数列求前n项和的方法。
分层作业---知识技能类
1. 计算下面各题。
必
做
题
3+7+11+……+91+95+99
10+17+24+……+87+94+101
= (3+99)×25÷2
= 102×25÷2
= 1275
= (10+101)×14÷2
= 111×14÷2
= 777
分层作业---知识技能类
必
做
题
2. 计算。
1000-3-6-9-12-……-51-54
= 1000-（3+6+9+……51+54）
= 1000-（3+54)×18÷2
= 1000-513
= 487
分层作业---知识技能类类
3. 乒乓球小组共15人，开学第一天，每两人握手一次，共握手多少次？
必
做
题
14+13+12+……+3+2+1
=（14+1)×14÷2
=105（次）
答：共握手105次。
分层作业---知识技能类———
选
做
题
4. 一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位。这个剧场共有多少个座位？
36×22+2×（1+2+3+…… +21）
=792+462
=1254（个）
答：这个剧场共有1254个座位。
分层作业---综合实践类作业
你还知道哪位科学家的故事，和同学说一说。
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2.5 聪明的高斯 教学设计
课题 聪明的高斯 单元 第二单元 学科 数学 年级 四年级
教材分析 本节课是西师大版小学数学四年级上册第二单元《加减法的关系和加法运算律》第五节的内容，主要介绍了高斯的故事，和等差数列的求和方法。旨在通过高斯的故事，激发学生学习的兴趣，培养学生的数学思想和探究精神。
学习目标 学习目标描述：了解高斯的故事，掌握高斯求和的技巧，并能利用这一技巧解决简单的求和问题。学习内容分析：“高斯的故事”是在学生学习了加减法的关系和加法运算律的基础上学习的。教材主要介绍了高斯小时候巧算的故事，通过故事揭示了等差数列求和的方法。通过这个故事，培养学生学习数学的兴趣。3. 学科核心素养分析：经历探究过程，培养学生推理能力和解决问题的能力。通过高斯的故事，激发学生学习的兴趣，培养学生的数学思想和探究精神。
重点 掌握高斯求和技巧，掌握其原理。
难点 运用高斯的求和技巧解决较为复杂的求和问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一．新知导入。1．填一填。1）1、2、3、 、5、6、 、8。2）5、7、9、 、13、15、 、 19。教师总结： 每一项与它的前一项的差等于同一个数，这样的数列叫等差数列。2. 计算。1+2+3+4+5+…… +98+99+100=？师：这也是个等差数列，后项比前项多1。你能很快求出和吗？有一位德国的数学家，他小时候很聪明，几秒钟就计算出了结果，他是怎么计算的？今天我们就来研究研究。板书课题：聪明的高斯。 学生独立填写。指名说一说。 通过练习，认识等差数列，为新知识的学习做准备。
讲授新课 学习任务：探究等差数列的求和方法。课件出示视频：聪明的高斯。 观看完视频，你知道高斯怎样计算的吗？教师总结： 1+2+3+4+5+…… +98+99+100 = ( 1+100)×50 =50503. 高斯计算得对吗？我们来验证一下。 1）用10个数验证一下。 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 教师订正。用20个数验证一下。 1+2+3+4+5+…… +16+17+18+19+20 教师订正。 4. 你知道吗，还可以这样计算。把1+2+3+…… +98+99+100，加上相同的一组，只不过倒着写。 1 + 2 + 3+…… + 98 +99 +100+100+99+98+ ……+ 3 + 2 + 1这样上下每一组都是101，共200组，是10100，去掉下边一组，就是除以2，得到结果。你理解吗？5. 仔细观察，你能发现什么？教师总结：这就是等差数列的求和公式。6 . 试一试。1+2+3+……+(n-2)+(n-1)+n教师总结：= (1 + n) × n÷2 这是等差数列的前n项求和公式。7. 链 接 活 动听了这个故事后你有什么感想？你还知道高斯的哪些故事？教师总结。这是表彰高斯的邮票。德国10马克上高斯的头像。高斯和正十七边形1796年3月，19岁的高斯用圆规和直尺作出了正17边形，解决了两千多年来一直没有解决的一个世界难题。为了纪念他的这一重大成就，于1855年高斯去世后，哥廷根大学按他的遗嘱建造了一座十分独特的纪念碑。它的底部是一个正17边形的台座，台座上面是高斯的雕像。 学生认真观看视频。指名说一说。学生独立计算。学生认真听讲。同桌讨论，展示汇报。学生独立完成。指名说一说。 通过观看视频，了解高斯的故事，初步了解等差数列求和方法。培养学生良好的学习习惯。通过说一说，检查学生观看情况。通过独立计算，验证高斯的求和方法，激发学生学习的兴趣。通过认真听讲，初步感知等差数列求和的方法。培养学生良好的学习习惯。通过讨论，发现等差数列求和公式。经过独立计算，使其发现等差数列求和公式。
课堂练习 基础题：计算下面各题。1+2+3+……+1998+1999 11+12+13+……+30+31时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点也敲一下。问时钟一昼夜敲打多少下？在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴。问：1）最大三角形的面积是多少平方厘米？2）整个图形由多少根火柴棍摆成？ 提高题：4. 已知等差数列2、5、8、11、14……1）这个数列的第13项是什么？2）47是其中的第几项？拓展题：5. 计算下图一共多少个长方形。 教师巡视，指导学困生。 学生独立完成。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，语言，有效应用。
课堂小结 师：说一说：通过刚才的学习，你有什么收获？教师总结。 指名说一说。生1：知道了数学家高斯的故事。生2：知道了等差数列求前n项和的方法。 通过师生回顾全课，说说本课所学内容，总结知识，升华认识。
板书 聪明的高斯 1+2+3+……+98+99+100 = (1+100)×50 = 5050 （首项+末项）×项数÷2=等差数列的和
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