河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·河北期中）已知，则的虚部为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．
2．（2024高一下·河北期中）若向量，，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·河北期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（ ）
A．FG B．EH C．EF D．BC
4．（2024高一下·河北期中）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．
5．（2024高一下·河北期中）向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·河北期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形（ ）
7．（2024高一下·河北期中）已知正方形ABCD的边长为，则的值为（ ）
A．-6 B．-5 C．-4 D．-3
8．（2024高一下·河北期中）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度（ ）
A．200米 B．202米 C．204米 D．206米
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·河北期中）下列命题正确的是（ ）
A．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与直线平行
B．若直线与平面相交，则平面内没有直线与直线平行
C．已知两条相交直线m，n，若平面，则平面
D．已知直线m，n，平面，若，则
10．（2024高一下·河北期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一下·河北期中）已知圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，SA，SB是两条母线，是SB的中点，则（ ）
A．圆锥SO的体积为
B．面积的最大值为
C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D．圆锥SO的内切球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．（2024高一下·河北期中）若，则 .
13．（2024高一下·河北期中）如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为 ．
14．（2024高一下·河北期中）若均为单位向量，且的取值范围是，则的取值范围是 .
四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·河北期中）已知，其中．
（1）若为纯虚数，求的共轭复数；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
16．（2024高一下·河北期中）已知向量，满足．
（1）若向量，的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求向量，的夹角.
17．（2024高一下·河北期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求外接圆的半径，
（2）若的面积为，求的大小及的周长．
18．（2024高一下·河北期中）如图，在长方体中，E，F分别为的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
19．（2024高一下·河北期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则的虚部为2.
故答案为：A.
【分析】根据复数的加减运算求得z，再根据复数的概念判断即可.
2．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且满足，所以，解得，
则的取值集合为.
故答案为：C.
【分析】根据向量平行的坐标表示，列式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：将展开图还原直观图，如图所示：
因为，所以与共面、与共面、与共面，
则与直线是异面直线的是.
故答案为：C.
【分析】将展开图还原直观图，根据图形判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，如图所示：
因为，，所以，
所以，则，
则的面积为．
故答案为：D.
【分析】将直观图还原为原图，求出，再求，根据三角形面积公式求解即可.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图，取，则．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据向量的线性运算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，根据正弦定理可得：，
即，所以，所以是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
，
故．
故答案为：A.
【分析】根据平面向量的线性运算结合向量的数量积运算求解即可.
8．【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设米，因为在点处测得点的仰角为，所以，
则米，因为点处测点的仰角为，所以米，
由余弦定理，
可得，解得．
故答案为：C.
【分析】设米，由题意表示出，，再利用余弦定理求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若直线与平面平行，则直线与平面的无数条直线平行，故A正确；
B、直线与平面相交，则直线与平面的任意直线不平行，故B正确；
C、已知两条相交直线，平面，则与平面的位置关系不确定，故C错误；
D、已知直线，平面，，则与平行或异面，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面和平面与平面之间的基本关系，逐项分析判断即可.
10．【答案】A,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为，所以，解得.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的乘除运算，结合复数相等的充要条件列方程组，求解即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；余弦定理
【解析】【解答】解：A、因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，
所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，
又因为，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确；
B、当为轴截面时，在中，，因为，
所以此时为钝角，又，
当时，的面积最大，且最大值为2，故B错误；
C、当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为，如图所示：
在中，，
由余弦定理可得：，故C正确；
D、当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，
设的内切圆半径为，则，解得，
则内切球的表面积为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，进而求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可判断A；确定当时的面积最大，即可判断B；如图，确定点A到点P的最小距离为，利用余弦定理计算即可判断C；的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，结合等面积法求出内切圆半径计算即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，则，解得．
故答案为：2.
【分析】根据复数的几何意义可得，求解即可.
13．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：该青铜器的容积约为．
故答案为：.
【分析】由题意，根据圆台体积公式计算即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，设，
则，，
因为的取值范围是，所以，
所以的取值范围是，
又因为，
当时，；
当时，，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：.
【分析】由题意，设，根据条件得到的取值范围，再利用，分类讨论的取值范围，结合三角函数的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：因为为纯虚数， 所以，解得，
则，故的共轭复数为．
（2）解：因为在复平面内对应的点在第二象限 ，所以，
即，解得，故的取值范围是．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数列方程组求得m，再利用共轭复数概念求解即可；
（2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可.
16．【答案】（1）解：．
（2）解：由，可得，
所以，
故．
（3）解：由题意得，即，得，
所以，
因为，所以，
即向量的夹角为．
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义求解即可；
（2）由题意，可得，求出即可；
（3）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可.
17．【答案】（1）解：因为，所以，即，
又因为，所以，
因为，所以.
（2）解：的面积，则，
因为，所以或．
当时，由余弦定理可得，解得，则的周长为；
当时，由余弦定理可得，解得，则的周长为，
综上可知，的周长为或．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得，再次利用正弦定理求解即可；
（2）根据三角形的面积公式可得或，利用余弦定理分别求出a，再求周长即可.
18．【答案】（1）证明：在长方体中，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）证明：取BC的中点，连接FG，EG，如图所示：
因为E，F分别为的中点，所以，
又，所以，
因为，所以平面平面，
又平面EFG，所以平面.
（3）解：取的中点，连接，如图所示：
则要求作的截面为四边形，
在矩形中，，
所以，解得，
所以截面的周长为．
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据线面平行的判定定理可得平面，由（1）可得平面，截面面面平行的判定定理与性质证明即可；
（3）确定要求作的截面为四边形，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.
19．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以.
（2）解：延长AF交BC于，延长BF交AC于如图所示：
根据题意可得．因为，所以，
设，且，则
同理可得，
则，
因为，所以，
又，
所以，故的取值范围是
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据同角三角函数基本关系以及正弦定理化简可得，
再利用余弦定理求解即可；
（2）延长交于，延长交于，则，设，
且，分别求出，再根据三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质求解即可.
1 / 1河北省九校联盟2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024高一下·河北期中）已知，则的虚部为（ ）
A．2 B．4 C．-2 D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的加减运算
【解析】【解答】解：因为，所以，则的虚部为2.
故答案为：A.
【分析】根据复数的加减运算求得z，再根据复数的概念判断即可.
2．（2024高一下·河北期中）若向量，，则的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为向量，且满足，所以，解得，
则的取值集合为.
故答案为：C.
【分析】根据向量平行的坐标表示，列式求解即可.
3．（2024高一下·河北期中）如图，这是一个正方体的平面展开图，若将其还原成正方体，下列直线中，与直线AD是异面直线的是（ ）
A．FG B．EH C．EF D．BC
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：将展开图还原直观图，如图所示：
因为，所以与共面、与共面、与共面，
则与直线是异面直线的是.
故答案为：C.
【分析】将展开图还原直观图，根据图形判断即可.
4．（2024高一下·河北期中）如图，的斜二测直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】平面图形的直观图；斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：将直观图还原为原图，如图所示：
因为，，所以，
所以，则，
则的面积为．
故答案为：D.
【分析】将直观图还原为原图，求出，再求，根据三角形面积公式求解即可.
5．（2024高一下·河北期中）向量在正方形网格中的位置如图所示，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：如图，取，则．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据向量的线性运算求解即可.
6．（2024高一下·河北期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形（ ）
【答案】A
【知识点】正弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，根据正弦定理可得：，
即，所以，所以是等腰三角形.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用正弦定理化边化角，得角的关系即可判断三角形形状.
7．（2024高一下·河北期中）已知正方形ABCD的边长为，则的值为（ ）
A．-6 B．-5 C．-4 D．-3
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
，
故．
故答案为：A.
【分析】根据平面向量的线性运算结合向量的数量积运算求解即可.
8．（2024高一下·河北期中）财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点，点在大厦底部的射影为点，两个测量基点B，C与在同一水平面上，他测得米，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则财富汇大厦的高度（ ）
A．200米 B．202米 C．204米 D．206米
【答案】C
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：设米，因为在点处测得点的仰角为，所以，
则米，因为点处测点的仰角为，所以米，
由余弦定理，
可得，解得．
故答案为：C.
【分析】设米，由题意表示出，，再利用余弦定理求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的行6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高一下·河北期中）下列命题正确的是（ ）
A．若直线与平面平行，则平面内有无数条直线与直线平行
B．若直线与平面相交，则平面内没有直线与直线平行
C．已知两条相交直线m，n，若平面，则平面
D．已知直线m，n，平面，若，则
【答案】A,B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A、若直线与平面平行，则直线与平面的无数条直线平行，故A正确；
B、直线与平面相交，则直线与平面的任意直线不平行，故B正确；
C、已知两条相交直线，平面，则与平面的位置关系不确定，故C错误；
D、已知直线，平面，，则与平行或异面，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】根据空间中的直线与直线、直线与平面和平面与平面之间的基本关系，逐项分析判断即可.
10．（2024高一下·河北期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为，所以，解得.
故答案为：AD.
【分析】根据复数的乘除运算，结合复数相等的充要条件列方程组，求解即可.
11．（2024高一下·河北期中）已知圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，SA，SB是两条母线，是SB的中点，则（ ）
A．圆锥SO的体积为
B．面积的最大值为
C．当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为
D．圆锥SO的内切球的表面积为
【答案】A,C,D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的体积和表面积；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；余弦定理
【解析】【解答】解：A、因为圆锥SO的侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，
所以扇形的弧长为，即圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得，
又因为，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确；
B、当为轴截面时，在中，，因为，
所以此时为钝角，又，
当时，的面积最大，且最大值为2，故B错误；
C、当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点A到点P的最小距离为，如图所示：
在中，，
由余弦定理可得：，故C正确；
D、当为轴截面时，的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，
设的内切圆半径为，则，解得，
则内切球的表面积为，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，进而求出圆锥的高，结合圆锥体积公式计算即可判断A；确定当时的面积最大，即可判断B；如图，确定点A到点P的最小距离为，利用余弦定理计算即可判断C；的内切圆半径即圆锥SO的内切球半径，结合等面积法求出内切圆半径计算即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．（2024高一下·河北期中）若，则 .
【答案】2
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：，则，解得．
故答案为：2.
【分析】根据复数的几何意义可得，求解即可.
13．（2024高一下·河北期中）如图，这是一件古代的青铜器，其盛酒部分可近似地视为一个圆台，该圆台的上底面、下底面的半径分别为，高为，则该青铜器的容积约为 ．
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：该青铜器的容积约为．
故答案为：.
【分析】由题意，根据圆台体积公式计算即可.
14．（2024高一下·河北期中）若均为单位向量，且的取值范围是，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意，设，
则，，
因为的取值范围是，所以，
所以的取值范围是，
又因为，
当时，；
当时，，
综上所述，的取值范围是，
故答案为：.
【分析】由题意，设，根据条件得到的取值范围，再利用，分类讨论的取值范围，结合三角函数的性质求解即可.
四、解答颗：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·河北期中）已知，其中．
（1）若为纯虚数，求的共轭复数；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为为纯虚数， 所以，解得，
则，故的共轭复数为．
（2）解：因为在复平面内对应的点在第二象限 ，所以，
即，解得，故的取值范围是．
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；共轭复数
【解析】【分析】（1）根据复数为纯虚数列方程组求得m，再利用共轭复数概念求解即可；
（2）根据复数的几何意义列不等式组，求解即可.
16．（2024高一下·河北期中）已知向量，满足．
（1）若向量，的夹角为，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求向量，的夹角.
【答案】（1）解：．
（2）解：由，可得，
所以，
故．
（3）解：由题意得，即，得，
所以，
因为，所以，
即向量的夹角为．
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义求解即可；
（2）由题意，可得，求出即可；
（3）由垂直关系的向量表示可得，结合数量积的定义计算即可.
17．（2024高一下·河北期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）若，求外接圆的半径，
（2）若的面积为，求的大小及的周长．
【答案】（1）解：因为，所以，即，
又因为，所以，
因为，所以.
（2）解：的面积，则，
因为，所以或．
当时，由余弦定理可得，解得，则的周长为；
当时，由余弦定理可得，解得，则的周长为，
综上可知，的周长为或．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得，再次利用正弦定理求解即可；
（2）根据三角形的面积公式可得或，利用余弦定理分别求出a，再求周长即可.
18．（2024高一下·河北期中）如图，在长方体中，E，F分别为的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）已知，以为直径的球的表面积为，设三点确定平面，在答题卡的图中作出平面截四棱柱所得的截面（写出作法），并求截面的周长．
【答案】（1）证明：在长方体中，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面.
（2）证明：取BC的中点，连接FG，EG，如图所示：
因为E，F分别为的中点，所以，
又，所以，
因为，所以平面平面，
又平面EFG，所以平面.
（3）解：取的中点，连接，如图所示：
则要求作的截面为四边形，
在矩形中，，
所以，解得，
所以截面的周长为．
【知识点】球的体积和表面积；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）根据线面平行的判定定理可得平面，由（1）可得平面，截面面面平行的判定定理与性质证明即可；
（3）确定要求作的截面为四边形，根据勾股定理和球的表面积公式计算即可求解.
19．（2024高一下·河北期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
由正弦定理得，
则，
因为，所以.
（2）解：延长AF交BC于，延长BF交AC于如图所示：
根据题意可得．因为，所以，
设，且，则
同理可得，
则，
因为，所以，
又，
所以，故的取值范围是
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；同角三角函数间的基本关系；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，根据同角三角函数基本关系以及正弦定理化简可得，
再利用余弦定理求解即可；
（2）延长交于，延长交于，则，设，
且，分别求出，再根据三角恒等变换化简，结合正弦函数的性质求解即可.
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