山西省吕梁市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学 （PDF版，含答案）

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高一数学答案
一、单项选择题
1.C 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C
二、多项选择题
9.BC 10.ACD 11.ABC
三、填空题
12.36 13. 0.72 14. 91
4
四、解答题
15.解：（1）由 a+0.10+0.20+0.30+0.35=1，解得 a=0.05，.............................1 分
m = 10 = 100, = 0.35 ×100=35，............................3 分
0.1
而每组的频率/组距分别为0.005,0.010,0.020,0.030,0.035，............................6 分
所以频率分布直方图如下所示：
...........................7 分
（2）该区可以评为“一马当先区”，理由如下：...........................8 分
因为参赛者得分分数不低于 70 的频率为 0.2+0.30+0.35=0.85>80%，所以满足参赛者得分分
数不低于 70 的人数至少要占 80%以上.............................10 分
又参赛者得分分数的平均数为
55 0.05 65 0.10 75 0.20 85 0.30 95 0.35 83 80，.........12 分
所以该区可以评为“一马当先区”..........13 分
16.解（1）因 AB是 O的直径，则 BC AC，.........................1 分
因 PA垂直于 O所在的平面 ABC，BC 平面 ABC，则 BC AP，...............2 分
因 AC∩AP A,AC,AP 平面 PAC，则 BC 平面 PAC，................3 分
OF // BC,所以OF 平面 PAC，.........................4 分 F
又OF 平面 POF，则平面 PAC 丄平面 PFO；.......................5 分
（2）解 1.如图，过 A 作 PC 垂线，垂足为 D.........................6 分
因平面PAC丄平面PBC，平面PAC∩平面 PBC PC， AD 平面 PAC，则 AD 平面 PBC，
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.......................7分
即 AD 为点 A 到平面 PBC 的距离. .......................8 分
又 PA 3, AC 1， PA垂直于 O所在的平面 ABC
则 PA AC PC PA2 .. ....A..C...2... ....2.........9 分
PA AC PC PA2 AC 2 2 ......................... 10 分
则在△PAC S 1中， PAC PA AC
1 PC PA AC 3 AD AD .............. 12 分
2 2 PC 2
即点 A 到平面 PBC 3的距离为 .............. 13 分
2
因点 F 为线段 AC 的中点，点 F 到平面 PBC的距离为点 A 到平面 PBC 的距离的一半，（14 分）
即点 F到平面PBC的距离为 3
4
..................15 分
解 2. 如图，过 F 作 PC 垂线，垂足为 H.........................6 分
由（1）知 BC 平面 PAC， BC 平面 PBC,所以平面PAC丄平面PBC，平面 PAC∩平面
PBC PC ， FH 平面 PAC，则 FH 平面 PBC，
.......................9分
即 FH 为点 F 到平面 PBC 的距离. .......................10 分
又 PA 3, AC 1， PA垂直于 O所在的平面 ABC
则 PA AC PC PA2 .. ....A..C...2... ....2.........11 分
H
F
PA AC PC PA2 AC 2 2 ......................... 12 分
△PAC S 1 1 PA AC 3则在 中， .............. 14 分 PAC PA AC PC AD AD 2 2 PC 2
因为 FH 为 ADC 3的中位线，所以 FH 4
即点 F 到平面 PBC 的距离为 3 （15 分）
4
解 3：等体积法
设底面圆半径为 r，∴AB=2r
2
∵AC=1，∠ACB = 90° ∴BC= 4r2 1 = 16r 1 ..............6 分
4 2
∴Rt 2BFC 的面积S 1△BFC = BC FC =
16r 1.............7 分
2 8
∴V = 1 S PA = 3× 16r
2 1
P BFC △BFC .............8 分3 24
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又∵由（1）知，BC⊥ 面 PAC，PA⊥ 面 ABC
∴BC⊥ PC，PA⊥ AC，∴△ PBC与△ PAC为直角三角形 ............9 分
∵PA= 3，AC=1，
∴PC=2， ∴S = 1
2
△PBC PC BC =
16r 1 ............10 分
2 2
设 F 到平面 PBC 的距离为 d ...........11 分
由VP BFC = VF BPC ............12 分
2
得1 d S 3× 16r 1
3 △PBC
= ............13 分
24
∴d = 3， ............14 分
4
∴F 到平面 PBC 的距离为 3. ............15 分
4
17.【解析】
(1) 1 S 1 AB BC sin ABC 3 3解 ：由已知 △ABC ，.........1 分2 2
3
sin ABC ..........2 分
2
π
∵ ABC是锐角，∴ ABC ．..................3 分
3
由余弦定理可得 AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos ABC 7，则 AC 7．.............4 分
∵ DAB DCB
π
，∴BD 是四边形 ABCD外接圆的直径，.................6 分
2
ABC BD AC 7 2 2 21∴BD 是 外接圆的直径，利用正弦定理知 .............9 分
ABC 3 3
2 S 1解 ：由已知 △ABC AB BC sin ABC
3 3
，.........1 分
2 2
sin ABC 3 ..........2 分
2
ABC π∵ 是锐角，∴ ABC ．..................3 分
3
设 BD x， DBC ，则 .....................4 分
ABD
3
在 BDC 2中 C , cos
2 x
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3 ....................6 分
在 ADB中 A , cos( )
2 x 3
3 2
, 3cos 2cos( ),.............7分
cos( ) cos 3
3
3cos 2cos cos 2sin sin , cos 3 21 ,........8分
3 3 7 7
x 2 2 21 ,BD 2 21 ...............9分
cos 3 3
解 3：由已知 S 1 AB BC 3 3△ABC sin ABC ，....................1 分2 2
sin ABC 3 ................2 分
2
π
∵ ABC是锐角，∴ ABC ．..................3 分
3
在 ABC中由余弦定理可得 AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos ABC 7，
则 AC 7．............4 分
设 BD x，由 DAB DCB
π
， AB 3，BC 2，
2
所以 AD= x2 9，DC= x2 4 ……………………………………………………5 分
π 2π
∵四边形 ABCD 中, ABC ，则 ADC ，………………………………6 分
3 3
∴在 ADC 中，AC2 = AD2 + DC2 2AD DC cos∠ADC............7 分
∴7 = x2 9 + x2 4+ x2 9 x2 4
整理得：3x4 67x2 28 × 13 = 0(0 < x < 10)
解得：x = 2 21 或 x = 13(舍) ………………………………………8 分
3
∴BD=2 21 ……………………………………………………………9 分
3
DAB DCB π（2）由 2 21，BD ， AB 3， BC 2，
2 3
则 AD 3 ,CD 4 3 ,................12 分
3 3
又 ABC
π 2π
，则 ADC ，..................13 分
3 3
S 1 1 3 4 3 3 3因此 △ACD AD CD sin ADC ，2 2 3 3 2 3
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故△ACD 3的面积为 ．............15 分
3
18.说明：不写出样本点集合只有个数也给分
解：（1）记名称为神舟第 i号飞船为 ai，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取 1 艘”的样本
空间为Ω1= a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12, a13, a14, a15, a16, a17, a18, ，共 18 个样本
点................................2 分
设“神舟飞船的发射时间恰好是在 10 月份”为事件 A,则 A= a5, a6, a11, a13, a17 ，
共 5 个样本点，..............4 分
P(A) = 5所以 ........................6 分
18
(2)“A 组从飞行时长（包括预计飞行时长）大于 4 个月的神舟飞船中随机选取 2 艘”的样本空
间为Ω2= （a13, a14）,（a13, a15）,（a13, a16），（a13, a17），（a13, a18）（a14, a15）（a14, a16
），（a14, a17），（a14, a18），（a15, a16），（a15, a17），（a15, a18），（a16, a17），（a16, a18），（
a17, a18） ,共 15 个样本点..........................8 分
“B 组从飞行时长（包括预计飞行时长）小于 5 天的神舟飞船中随机选取 2 艘”的样本空间为
Ω3= （a1, a5）,（a1, a6）,（a1, a7），（a5, a6），（a5, a7）（a6, a7） ,共 6个样本点............10分
设“A 组选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)大于 4 个月的神舟飞船中随机选取 2
艘恰好在 10 月或 11 月份”为事件 M，则 M= （a13, a15）（a13, a17）（a15, a17） ，共 3 个样本
点，..............11 分
所以 P(M) = 3 = 1......................12 分
15 5
设“B组选中的神舟飞船的飞行时长(包括预计飞行时长)小于 5天的神舟飞船中随机选取 2艘
恰好在 10 月或 11 月份”为事件 N，则 N= （a1, a5）（a1, a6）（a5, a6） ，共 3 个样本点，
...........................13 分
所以 P(N) = 3 = 1.......................14 分
6 2
设“两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在 10 月或 11 月份”为事件 C,
1 1 1
两组选择互不影响，所以事件 C 的概率为 P(MN) = P(M)P(N) = × = .....................17 分
5 2 10
19.解：（1）证明：如图，依题意， ⊥ 交 于 点， ⊥ 交 于 点，
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则∠ 是二面角 的平面角． ....................2分
在△ 中和△ 中分别用余弦定理，得
2 = 2 + 2 2 cos ， ......................3分
2 = 2 + 2 2 cos ， ...................4分
两式相减得 2 2 + 2 2 2 cos + 2 cos = 0，
∴2 cos = 2 2 + 2 cos ， ....................5分
两边同除以 2 ，得 cos = cos cos + sin sin cos . .....................6分
（2）①由平面 1 1 ⊥平面 ，知 = 90°， .....................7分
∴由（1）得 cos∠ 1 = cos∠ 1 cos∠ ， ......................9分
∵cos∠ 1 = 60°，cos∠ = 45°，
∴cos∠ = 1 × 2 = 21 ． .......................10分2 2 4
②在直线 1上存在点 ，使 //平面 1 1． .......................11分
连结 1 ，延长 1 至 ，使 = 1 ，连结 ， .......................12分
在棱柱 1 1 1 1中， 1 1// ， // ，
∴ 1 1// ，∴四边形 1 1 为平行四边形，
∴ 1 // 1 ． .......................13分
在四边形 1 中， 1 // ，∴四边形 1 为平行四边形，
∴ 1 // ，∴ 1 // ， ...................14分
又 1 平面 1 1， 平面 1 1，....................15分
∴ //平面 1 1． ..................16分
∴当点 在 1 的延长线上，且使 = 1 时， //平面 1 1．.....................17分
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