湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
1.(2024高二下·涟源月考)设集合,,若集合,则集合M的子集个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解:因为集合,,
所以,集合,则集合M的子集个数是.
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则和子集的定义,进而得出集合M的子集个数.
2.(2024高二下·涟源月考)若则( )
A.9 B.53 C.81 D.243
【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解:因为,
所以,,
则,
所以,.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法,进而得出函数的值.
3.(2024高二下·涟源月考)已知a,b表示两条直线,α表示平面,若,,则b与α的位置关系是( )
A. B.
C.b与α相交 D.以上都有可能
【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解:在正方体中,
所以,由得到b与平面的位置关系是或或b与α相交.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、直线在平面内的位置关系判断方法、直线与平面相交的位置关系判断方法,进而得出直线b与平面α的位置关系.
4.(2024高二下·涟源月考)同时掷两个骰子,向上的点数之和为3的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解:同时掷两个骰子,则所有可能结果有个,
其中向上的点数之和有共2个,
则向上的点数之和为3的概率为.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式,进而得出同时掷两个骰子,向上的点数之和为3的概率.
5.(2024高二下·涟源月考)已知向量,,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解:因为向量,,且,
所以,,则.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式,进而得出的值.
6.(2024高二下·涟源月考)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.3
【答案】A
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征
【解析】【解答】解:设上底面半径为r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,所以S侧面积=π(r+3r)l=84π,r=7
故选A
【分析】设出上底面半径为r,利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,求出上底面半径,即可.
7.(2024高二下·涟源月考)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:因为,
所以,又因为
联立(1),(2)得出,
则.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式,再结合平方法和二倍角的正弦公式得出的值.
8.(2024高二下·涟源月考)已知函数,关于的性质,有以下四个推断:
①的定义域是; ②的值域是;
③是奇函数; ④是区间上的增函数.
其中推断正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数单调性的判断与证明;函数的奇偶性
【解析】【解答】解:因为函数,
对于①,函数的定义域是,所以①对;
对于②,因为,所以,,
因为,所以,函数的值域是,所以②对;
对于③,因为的定义域为R,又因为,
所以,函数f(x)是奇函数,所以③对;
对于④,因为函数在区间上为增函数,在区间上为减函数,
又因为函数是奇函数,所以,函数在区间上为增函数,在区间上为减函数,所以④错.
综上所述,推断正确为①②③.
故答案为:C.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域求解方法、值域的求解方法、奇函数的定义、增函数的定义,进而找出推断正确的序号.
9.(2024高二下·涟源月考)若复数z满足(i是虚数单位),则下列说法正确的是( )
A.z的共轭复数为
B.z的模为13
C.z的虚部为
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算;复数的模;复数运算的几何意义
【解析】【解答】解:因为复数z满足(i是虚数单位),
所以,.
对于A,z的共轭复数为,所以A错;
对于B,z的模为,所以B错;
对于C,z的虚部为,所以C对;
对于D,z在复平面内对应的点为且位于第四象限,所以D对.
故答案为:CD.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z,再结合复数与共轭复数的关系、复数求模公式、复数的虚部的定义、复数的几何意义,进而找出说法正确的选项.
10.(2024高二下·涟源月考)已知,且,则( )
A.xy的最小值为 B.xy的最大值为
C.的最小值为8 D.的最大值为8
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,且,
则,
所以,,当且仅当时等号成立,
即时等号成立,所以A错,B对;
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以C对,D错.
综上所述:BC.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和满足的条件以及“1”的代换,进而找出正确的选项.
11.(2024高二下·涟源月考)在四棱锥中,底面ABCD,,,,且二面角为60°,则( )
A.
B.二面角为60°
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.
【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用;球内接多面体;二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解:对于A,因为
所以,由余弦定理可得,
则再由勾股定理可得,所以A错;
对于D,因为所以,三角形为正三角形,
取BC的中点为E,连接PE,AE,则,
因为底面ABCD,,所以,,又因为,
所以,,又因为所以,
则为二面角P-BC-A的平面角,所以,所以,
所以D对;
对于B,因为,所以,同理可证,
所以,即为二面角P-DC-B的平面角,因为,
所以,,则二面角为60°,所以B对;
对于C,设O为三棱锥P-ABC外接球的球心,取的中心为F,连接OF,OA,
则OA为三棱锥P=ABC外接球的半径,
因为,
所以,三棱锥的外接球的表面积为,所以C对.
故答案为:BCD.
【分析】利用已知条件结合余弦定理和勾股定理得出PD的长,从而判断出选项A;利用正三角形三线合一得出线线垂直,再结合线线垂直和线面垂直的关系,进而得出二面角P-BC-A的平面角,再由正切函数的定义,进而得出PA的长,从而判断出选项D;利用勾股定理得出线线垂直,再结合二面角的定义和正切函数的定义,进而得出二面角的平面角,从而判断出选项B;利用中点的性质和线线平行的判断方法,进而判断出线线平行,再结合勾股定理得出三棱锥外接球的半径,从而由球的表面积公式得出三棱锥的外接球的表面积,进而判断出选项C,从而找出正确的选项.
12.(2024高二下·涟源月考)一组数据为12,13,15,12,24,则众数为 .
【答案】12
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解:一组数据为12,13,15,12,24,则众数为12.
故答案为:12.
【分析】利用已知条件结合众数的定义,进而得出众数的值.
13.(2024高二下·涟源月考)中,,,,则的面积= .
【答案】
【知识点】余弦定理;三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:在中,,,,
则的面积为.
故答案为:.
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出三角形的面积.
14.(2024高二下·涟源月考)已知,,则 .
【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解:因为,所以,又因为,
所以,,
所以,,则.
故答案为:2.
【分析】利用已知条件结合特殊角对应的函数值求解方法得出角的值,再结合代入法和诱导公式以及同角三角函数基本关系式得出角的正切值,再由两角和的正切公式,进而得出的值.
15.(2024高二下·涟源月考)(1)解不等式:.
(2)已知,求的值。
【答案】(1)因为,所以.
(2)因为,则
【知识点】一元二次不等式及其解法;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合一元二次不等式求解方法,从而解出不等式.
(2)利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出的值.
16.(2024高二下·涟源月考)为了提高学生安全意识,迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛,加强对学生的安全教育,通过知识竞赛的形式,不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处,还教会了同学们溺水自救的方法,提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下:甲:92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组20名同学的成绩,将成绩分成[100,110),[110,120),[120,130),[130.140),[140,150]五组,并画出了其频率分布直方图.
(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数,并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数;
(2)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩,求取出的2个人的成绩不在同一组的概率.
【答案】(1)∵,
∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为,众数为;
(2)甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个,
乙组20名同学的成绩不低于140分的有个,
记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”,
任意选出2个成绩的所有样本点共个,
其中两个成绩不是同一组的样本点共个,
∴.
【知识点】众数、中位数、平均数;古典概型及其概率计算公式;用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合频率分布直方图求百分位数求解方法得出甲组20名同学成绩的第80百分位数,再结合频率分布直方图求众数的方法,进而估计出乙组20名同学成绩的众数.
(2)利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积,再结合频率等于频数除以样本容量的公式,进而得出甲组20名同学的成绩不低于140分的人数和乙组20名同学的成绩不低于140分的人数,再根据组合数公式和古典概型求概率公式,进而得出取出的2个人的成绩不在同一组的概率.
17.(2024高二下·涟源月考)已知函数.
(1)若是奇函数,求实数a的值;
(2)若,求在上的值域.
【答案】(1)由题意,
∴,
∴,
∴;
(2)∵,
∴,,
令,则,
令,,
设,则,
∴,
∴在上单调递减,
∴,即,
同理可证在上单调递增,
∴,即,
故函数的值域为.
【知识点】函数的值域;函数单调性的性质;奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合奇函数的定义,进而得出实数a的值.
(2)利用已知条件结合函数的解析式和代入法得出a的值,进而得出函数的解析式,再结合换元法和函数的单调性,进而得出函数在上的值域.
18.(2024高二下·涟源月考)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)设角A的平分线交BC于D,且,若,求的面积.
【答案】(1)由已知及余弦定理得,整理得,
所以,
又,所以,即角C的大小为.
(2)由(1)知,依题意画出图形.在中,,,
由正弦定理得,又中,,所以,故.
因为是角的平分线,所以,所以为等膘三角形,且.
所以的面积.
【知识点】正弦定理;余弦定理;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合余弦定理和三角形中角C的取值范围,进而得出角C的大小.
(2)由(1)得出的角C的值和正弦定理以及三角形内角和为180°的性质,再结合角平分线的性质和等腰三角形的性质,进而由三角形的面积公式得出三角形的面积.
19.(2024高二下·涟源月考)如图,在直三棱柱中,D是BC的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,,,求几何体的体积.
【答案】(1)证明:连接,与交于点O,连接DO,由直三棱柱性质可知,侧棱垂直于底面,侧面为矩形,
所以O为中点,则.
又因为平面,平面,所以平面.
(2)解:由于是直棱柱,所以侧棱长就是几何体的高,又,
所以底面为直角三角形,
所以,,
所以.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题;直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合直三棱柱的性质和中点的性质,进而得出线线平行,再结合线线平行证出线面平行.
(2)利用已知条件结合直棱柱的结构特征得出线线垂直,再结合直角三角形的机构特征和三棱柱以及三棱锥的体积公式,从而由作差法得出几何体的体积.
1 / 1湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
1.(2024高二下·涟源月考)设集合,,若集合,则集合M的子集个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2024高二下·涟源月考)若则( )
A.9 B.53 C.81 D.243
3.(2024高二下·涟源月考)已知a,b表示两条直线,α表示平面,若,,则b与α的位置关系是( )
A. B.
C.b与α相交 D.以上都有可能
4.(2024高二下·涟源月考)同时掷两个骰子,向上的点数之和为3的概率是( )
A. B. C. D.
5.(2024高二下·涟源月考)已知向量,,且,则( )
A. B. C. D.
6.(2024高二下·涟源月考)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )
A.7 B.6 C.5 D.3
7.(2024高二下·涟源月考)若,则( )
A. B. C. D.
8.(2024高二下·涟源月考)已知函数,关于的性质,有以下四个推断:
①的定义域是; ②的值域是;
③是奇函数; ④是区间上的增函数.
其中推断正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2024高二下·涟源月考)若复数z满足(i是虚数单位),则下列说法正确的是( )
A.z的共轭复数为
B.z的模为13
C.z的虚部为
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10.(2024高二下·涟源月考)已知,且,则( )
A.xy的最小值为 B.xy的最大值为
C.的最小值为8 D.的最大值为8
11.(2024高二下·涟源月考)在四棱锥中,底面ABCD,,,,且二面角为60°,则( )
A.
B.二面角为60°
C.三棱锥的外接球的表面积为
D.
12.(2024高二下·涟源月考)一组数据为12,13,15,12,24,则众数为 .
13.(2024高二下·涟源月考)中,,,,则的面积= .
14.(2024高二下·涟源月考)已知,,则 .
15.(2024高二下·涟源月考)(1)解不等式:.
(2)已知,求的值。
16.(2024高二下·涟源月考)为了提高学生安全意识,迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛,加强对学生的安全教育,通过知识竞赛的形式,不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处,还教会了同学们溺水自救的方法,提高了应急脱险能力.现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下:甲:92,96,99,103,104,105,113,114,117,117,121,123,124,126,129,132,134,136,141,142.抽取了乙组20名同学的成绩,将成绩分成[100,110),[110,120),[120,130),[130.140),[140,150]五组,并画出了其频率分布直方图.
(1)根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数,并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数;
(2)现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩,求取出的2个人的成绩不在同一组的概率.
17.(2024高二下·涟源月考)已知函数.
(1)若是奇函数,求实数a的值;
(2)若,求在上的值域.
18.(2024高二下·涟源月考)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角C的大小;
(2)设角A的平分线交BC于D,且,若,求的面积.
19.(2024高二下·涟源月考)如图,在直三棱柱中,D是BC的中点.
(1)求证:平面;
(2)若,,,求几何体的体积.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解:因为集合,,
所以,集合,则集合M的子集个数是.
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合交集的运算法则和子集的定义,进而得出集合M的子集个数.
2.【答案】D
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解:因为,
所以,,
则,
所以,.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合分段函数的解析式和代入法,进而得出函数的值.
3.【答案】D
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解:在正方体中,
所以,由得到b与平面的位置关系是或或b与α相交.
故答案为:D.
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、直线在平面内的位置关系判断方法、直线与平面相交的位置关系判断方法,进而得出直线b与平面α的位置关系.
4.【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解:同时掷两个骰子,则所有可能结果有个,
其中向上的点数之和有共2个,
则向上的点数之和为3的概率为.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式,进而得出同时掷两个骰子,向上的点数之和为3的概率.
5.【答案】A
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解:因为向量,,且,
所以,,则.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示和同角三角函数基本关系式,进而得出的值.
6.【答案】A
【知识点】旋转体(圆柱/圆锥/圆台/球)的结构特征
【解析】【解答】解:设上底面半径为r,因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,所以S侧面积=π(r+3r)l=84π,r=7
故选A
【分析】设出上底面半径为r,利用圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,求出上底面半径,即可.
7.【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式;运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解:因为,
所以,又因为
联立(1),(2)得出,
则.
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合诱导公式和同角三角函数基本关系式,再结合平方法和二倍角的正弦公式得出的值.
8.【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法;函数的值域;函数单调性的判断与证明;函数的奇偶性
【解析】【解答】解:因为函数,
对于①,函数的定义域是,所以①对;
对于②,因为,所以,,
因为,所以,函数的值域是,所以②对;
对于③,因为的定义域为R,又因为,
所以,函数f(x)是奇函数,所以③对;
对于④,因为函数在区间上为增函数,在区间上为减函数,
又因为函数是奇函数,所以,函数在区间上为增函数,在区间上为减函数,所以④错.
综上所述,推断正确为①②③.
故答案为:C.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域求解方法、值域的求解方法、奇函数的定义、增函数的定义,进而找出推断正确的序号.
9.【答案】C,D
【知识点】复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算;复数的模;复数运算的几何意义
【解析】【解答】解:因为复数z满足(i是虚数单位),
所以,.
对于A,z的共轭复数为,所以A错;
对于B,z的模为,所以B错;
对于C,z的虚部为,所以C对;
对于D,z在复平面内对应的点为且位于第四象限,所以D对.
故答案为:CD.
【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z,再结合复数与共轭复数的关系、复数求模公式、复数的虚部的定义、复数的几何意义,进而找出说法正确的选项.
10.【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解:因为,且,
则,
所以,,当且仅当时等号成立,
即时等号成立,所以A错,B对;
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以C对,D错.
综上所述:BC.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和满足的条件以及“1”的代换,进而找出正确的选项.
11.【答案】B,C,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用;球内接多面体;二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解:对于A,因为
所以,由余弦定理可得,
则再由勾股定理可得,所以A错;
对于D,因为所以,三角形为正三角形,
取BC的中点为E,连接PE,AE,则,
因为底面ABCD,,所以,,又因为,
所以,,又因为所以,
则为二面角P-BC-A的平面角,所以,所以,
所以D对;
对于B,因为,所以,同理可证,
所以,即为二面角P-DC-B的平面角,因为,
所以,,则二面角为60°,所以B对;
对于C,设O为三棱锥P-ABC外接球的球心,取的中心为F,连接OF,OA,
则OA为三棱锥P=ABC外接球的半径,
因为,
所以,三棱锥的外接球的表面积为,所以C对.
故答案为:BCD.
【分析】利用已知条件结合余弦定理和勾股定理得出PD的长,从而判断出选项A;利用正三角形三线合一得出线线垂直,再结合线线垂直和线面垂直的关系,进而得出二面角P-BC-A的平面角,再由正切函数的定义,进而得出PA的长,从而判断出选项D;利用勾股定理得出线线垂直,再结合二面角的定义和正切函数的定义,进而得出二面角的平面角,从而判断出选项B;利用中点的性质和线线平行的判断方法,进而判断出线线平行,再结合勾股定理得出三棱锥外接球的半径,从而由球的表面积公式得出三棱锥的外接球的表面积,进而判断出选项C,从而找出正确的选项.
12.【答案】12
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解:一组数据为12,13,15,12,24,则众数为12.
故答案为:12.
【分析】利用已知条件结合众数的定义,进而得出众数的值.
13.【答案】
【知识点】余弦定理;三角形中的几何计算
【解析】【解答】解:在中,,,,
则的面积为.
故答案为:.
【分析】利用已知条件结合三角形的面积公式得出三角形的面积.
14.【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解:因为,所以,又因为,
所以,,
所以,,则.
故答案为:2.
【分析】利用已知条件结合特殊角对应的函数值求解方法得出角的值,再结合代入法和诱导公式以及同角三角函数基本关系式得出角的正切值,再由两角和的正切公式,进而得出的值.
15.【答案】(1)因为,所以.
(2)因为,则
【知识点】一元二次不等式及其解法;同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合一元二次不等式求解方法,从而解出不等式.
(2)利用已知条件结合同角三角函数基本关系式得出的值.
16.【答案】(1)∵,
∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为,众数为;
(2)甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个,
乙组20名同学的成绩不低于140分的有个,
记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”,
任意选出2个成绩的所有样本点共个,
其中两个成绩不是同一组的样本点共个,
∴.
【知识点】众数、中位数、平均数;古典概型及其概率计算公式;用样本估计总体的百分位数
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合频率分布直方图求百分位数求解方法得出甲组20名同学成绩的第80百分位数,再结合频率分布直方图求众数的方法,进而估计出乙组20名同学成绩的众数.
(2)利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组矩形的面积,再结合频率等于频数除以样本容量的公式,进而得出甲组20名同学的成绩不低于140分的人数和乙组20名同学的成绩不低于140分的人数,再根据组合数公式和古典概型求概率公式,进而得出取出的2个人的成绩不在同一组的概率.
17.【答案】(1)由题意,
∴,
∴,
∴;
(2)∵,
∴,,
令,则,
令,,
设,则,
∴,
∴在上单调递减,
∴,即,
同理可证在上单调递增,
∴,即,
故函数的值域为.
【知识点】函数的值域;函数单调性的性质;奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合奇函数的定义,进而得出实数a的值.
(2)利用已知条件结合函数的解析式和代入法得出a的值,进而得出函数的解析式,再结合换元法和函数的单调性,进而得出函数在上的值域.
18.【答案】(1)由已知及余弦定理得,整理得,
所以,
又,所以,即角C的大小为.
(2)由(1)知,依题意画出图形.在中,,,
由正弦定理得,又中,,所以,故.
因为是角的平分线,所以,所以为等膘三角形,且.
所以的面积.
【知识点】正弦定理;余弦定理;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合余弦定理和三角形中角C的取值范围,进而得出角C的大小.
(2)由(1)得出的角C的值和正弦定理以及三角形内角和为180°的性质,再结合角平分线的性质和等腰三角形的性质,进而由三角形的面积公式得出三角形的面积.
19.【答案】(1)证明:连接,与交于点O,连接DO,由直三棱柱性质可知,侧棱垂直于底面,侧面为矩形,
所以O为中点,则.
又因为平面,平面,所以平面.
(2)解:由于是直棱柱,所以侧棱长就是几何体的高,又,
所以底面为直角三角形,
所以,,
所以.
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题;直线与平面平行的判定
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合直三棱柱的性质和中点的性质,进而得出线线平行,再结合线线平行证出线面平行.
(2)利用已知条件结合直棱柱的结构特征得出线线垂直,再结合直角三角形的机构特征和三棱柱以及三棱锥的体积公式,从而由作差法得出几何体的体积.
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