辽宁省七校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024高一下·辽宁月考）设，则＝（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
2．（2024高一下·辽宁月考）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4）
C．（﹣1，4） D．（1，4）
3．（2024高一下·辽宁月考）已知且，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．（2024高一下·辽宁月考）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
5．（2024高一下·辽宁月考） 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米．
A． B． C． D．
6．（2024高一下·辽宁月考）在中，已知，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．（2024高一下·辽宁月考） 若函数f（x）＝sin（ωx+） （ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，]∪[，] B．（0，]∪[，]
C．[，] D．[，]
8．（2024高一下·辽宁月考） 在△ABC中，已知＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·辽宁月考）下列关于几何体的描述错误的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
10．（2024高一下·辽宁月考）已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称
C．函数在上为增函数
D．设，则在内有20个零点
11．（2024高一下·辽宁月考）已知△ABC，H、O分别为该三角形的垂心、外心，则下列结论正确的是（ ）
A．若A（0，2），B（1，0），C（2，﹣1），则在上的投影向量为()
B．若且，则
C．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别a，b，c，则“acosA＝bcosB”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件
D．若，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高一下·辽宁月考） 函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）＝ ．
13．（2024高一下·辽宁月考）如图是我国古代米斗，米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．加上米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为（其厚度忽略不计），则其外接球的表面积为 ．
14．（2024高一下·辽宁月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，D为的中点，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·辽宁月考） 设复数＝2+ai（其中a∈R），＝3﹣4i．
（1）若+是实数，求z1 的值；
（2）若是纯虚数，求的虚部及||．
16．（2024高一下·辽宁月考） 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积．
17．（2024高一下·辽宁月考）已知.
（1）若在（）上单调，求m的最大值；
（2）若函数在上有两个零点，，求实数k的取值范围及的值.
18．（2024高一下·辽宁月考）如图，在平面四边形ABCD中，已知，，△ABC为等边三角形，记．
（1）若，求△ABD的面积；
（2）若，求△ABD的面积的取值范围．
19．（2024高一下·辽宁月考） 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量”
（1）设函数，求函数g（x）的相伴向量
（2）记的“相伴函数”为f（x），若方程在区间[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣4ab+3b2＝-1，向量的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
则＝(-1+i)+(-1-i)=-2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系得出复数.
2．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量=-=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【分析】顺序求出有向线段，然后由=-求之．
3．【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，，则，（1），
又因为，（2），联立(1)和(2)，
则，
当时，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合同角三角函数基本关系式得出角的正弦值和余弦值，进而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：因为锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又因为23cos2A+cos2A＝0，所以，，
即，又因为A为锐角，所以，，所以，，
又因为a＝7，c＝6，由余弦定理得出，
所以，，因为，则，则b＝5.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和解一元二次方程的方法得出角A的余弦值，再结合余弦定理和三角形边长b的取值范围，进而得出b的值.
5．【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示为该组合体上半部分圆锥轴截面，
由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形，
则有，解得，
则上半部分圆锥的侧面积为，
下半部分圆柱的侧面积为，
则该组合体的表面积（不含底面）为：.
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案.
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由题意可得，
即，由正弦定理可得：，
即，则，因为，
则，又因为，
所以，，
所以，，因为，所以，，
综上可知，三角形为等边三角形.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，再根据数量积可得，则得到，进而判断出三角形的形状.
7．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数y=sinx的单调区间为
令解得
若函数f（x）＝sin（ωx+） （ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，
则，解得由得出，
当k=-1时，，又因为，所以，；当k=0时，，符合题意.
综上所述，ω的取值范围是（0，]∪[，].
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的单调性与正弦型函数的最值的关系，再结合赋值法得出满足要求的实数ω的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在△ABC中，设因为
所以，所以，，
所以，因为sinA≠0，所以，cosC=0，所以，，
因为＝9，S△ABC＝6，所以，
所以，，根据直角三角形可得bc=15，
在中，解得a=4，b=3，c=5，
以AC所在直线为x轴，以BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
可得p为线段AB上的一点，则存在实数使得
设
则由
所以，则4x+3y=12，
则，
所以，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合两角和的正弦公式和数量积的定义以及三角形的面积公式、正切函数的定义得出三角形边长a，b的值，再结合建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和平面向量基本定理以及向量的坐标运算，进而得出4x+3y=12，再利用“1"的代换和均值不等式求最值的方法得出的最小值.
9．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的两个扣在一起的斜棱柱组成的
多面体就不是棱柱，所以A错；
对于B，有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体，只有各个梯形的腰延长交于一点时，
该多面体才是棱台，所以B错；
对于C，长方体是四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，所以C错；
对于D，根据正棱锥的定义，可得正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，所以D对.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合棱柱、棱锥、棱台、正棱锥的结构特征，进而找出关于几何体的描述错误的选项.
10．【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；图形的对称性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，根据题意可得则即，所以A对；
对于B，由选项A可知，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后可得
，因为为奇函数，其图象关于原点对称，所以B对；
对于C，因为，则，所以，函数在上为减函数，所以C错
对于D，则
所以，函数g(x)为奇函数，当时，令
所以，因为，所以，
所以，共有个零点，所以D错.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的对称性和正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而判断出选项A；再利用的值得出函数的解析式，再根据正弦型函数的图象变换和奇函数的图象的对称性，从而判断出选项B；利用x的取值范围和正弦型函数的图象判断出函数的单调性，进而判断出选项C；利用函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再结合奇函数的定义判断出函数g(x)为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和函数零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出函数在内的零点个数，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，
所以，在上的投影向量为所以A对；
对于B，若且，
则即
解得，所以B对；
对于C，在△ABC中，acosA＝bcosB，由正弦定理可得
所以，sin2A=sin2B，所以，即，
所以，三角形△ABC不一定是等腰三角形，所以C错；
对于D，因为H为垂心，所以设
由，得出，
所以，同理可得，
解得，所以，，
所以，，所以D错.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合三角形垂心和外心的性质，再结合数量积求投影向量的方法、数量积的定义、充分条件和必要条件判断方法、数量积的运算法则和三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式，进而找出结论正确的选项.
12．【答案】1
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），
所以，，则，所以，，
因为，所以，，则，
所以，，则.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的部分图象求出正弦型函数的解析式，再结合代入法得出函数的值.
13．【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意，米斗的示意图如下：
设棱台上底面中心为，下底面中心为，
由棱台的性质可知，外接球的球心O落在直线上，
由题意可知，该四棱台上、下底面边长分别为4和2，侧棱长为，
则所以，，
设外接球的半径为R，则，因为垂直于上、下底面，
所以，，即，又因为，
联立解得，所以，该米斗的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据棱台和球的性质得出外接球的球心O落在直线上，根据勾股定理列式求出球的半径，再根据球的表面积公式可得该米斗的外接球的表面积.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
所以，则，作
因为mn=64，以A为原点，建立平面直角坐标系，
所以，由两点间距离公式可得，
因为当且仅当时等号成立，
所以，，此时.
故答案为：.
【分析】利用已知条件计算求出角A的值，再建系得出点的坐标，从而由两点距离公式和均值不等式求最值的方法得出BD的最小值.
15．【答案】（1）∵复数＝2+ai（其中a∈R），＝3﹣4i，i为虚数单位，
∴+＝5+（a﹣4）i，
∵+是实数，
∴a﹣4＝0，解得a＝4，
∴ ＝（2+4i）（3﹣4i）＝22+4i；
（2）∵是纯虚数，
即＝＝＝+i是纯虚数，
∴，解得a＝，
则z1＝2+i，
则z1的虚部为，
|z1|＝＝．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法运算法则和复数为实数的判断方法，进而得出a的值，从而得出复数，再结合复数的乘法运算法则得出复数 .
（2）利用复数的乘除法运算法则和纯虚数的判断方法，进而得出复数，从而得出复数的虚部，再结合复数求模公式得出复数的模.
16．【答案】（1）设圆锥的底面圆半径为r，则r＝＝，
∴根据题意可得该几何体的体积为：
＝；
（2）由（1）可知圆锥母线长为＝，
∴根据题意可得该几何体的表面积为：
＝24++2π．
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合棱柱和圆锥的体积公式，从而由作差法得出该几何体的体积.
(2)由（1）结合勾股定理可知圆锥母线长，再结合组合体求表面积公式和作差法得出该几何体的表面积．
17．【答案】（1），
，
，
+
因为，所以，
若在（）上单调，所以，
解得：，所以的最大值为；
（2）由（1）可知，在上有两个零点，，
即与在上有2个交点，
，，设，
即与，有2个交点，
在单调递增，在单调递减，
，，，
则，解得：
并且，与关于对称，即，
所以+
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，进而得出化简函数为正弦型函数，再结合x的取值范围和正弦型函数的单调性，进而得出实数m的取值范围，从而得出m的最大值.
(2)由（1）可知，在上有两个零点，，再利用函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，从而由正弦函数的单调性得出实数k的取值范围，再由正弦函数的对称性，进而得出的值，再根据两角差的正切公式得出的值.
18．【答案】（1）解：在△ACD中，由余弦定理得，，
所以，所以，
又因为△ABC为等边三角形，
所以，且，
所以
（2）解：不妨设．
在△ACD中，由余弦定理得，
，
．
在△ACD中，由正弦定理，，即，
所以．
所以
，
又因为，
所以，
所以，
即△ABD的面积的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可；
利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积公式求得，结合的范围即可求出面积的范围.
19．【答案】（1）因为，
所以函数g（x）的相伴向量为；
（2）由题意，的“相伴函数”f（x）＝0×sinx+2×cosx＝2cosx，
方程为，x∈[0，2π]，
则方程，x∈[0，2π]有四个实数解，
所以，x∈[0，2π]有四个实数解，
令，x∈[0，2π]，
①当x∈[0，π]，，
②当x∈（π，2π]，，
据此作出g（x）的图像：
由图可知，当1≤k＜3时，函数g（x）与y＝k有四个交点，
即实数k的取值范围为[1，3）；
（3）向量的“相伴函数”，
其中，，.
当，即时，取最大值，
所以，
所以，
令，则，
所以，解得：，
所以，
因为单调递增，
所以，
所以.
【知识点】函数单调性的性质；平面向量的正交分解及坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，进而化简函数g(x)的解析式，再根据“相伴向量”定义得出函数g（x）的相伴向量的坐标.
(2)利用已知条件结合“相伴函数”定义和方程的根的个数与函数g（x）与y＝k的交点个数的等价关系和分段函数的图象，进而得出实数k的取值范围.
(3)利用向量的“相伴函数定义和辅助角公式和正弦型函数的图象求最值的方法，再结合二倍角的正切公式和判别式法得出m的取值范围，再根据函数的单调性得出tan2x0的取值范围.
1 / 1辽宁省七校2023-2024学年高一下学期6月月考数学试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在题目给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2024高一下·辽宁月考）设，则＝（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
则＝(-1+i)+(-1-i)=-2.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则得出复数z，再结合复数与共轭复数的关系得出复数.
2．（2024高一下·辽宁月考）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（ ）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4）
C．（﹣1，4） D．（1，4）
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量=-=（﹣7，﹣4）；
故答案为：A．
【分析】顺序求出有向线段，然后由=-求之．
3．（2024高一下·辽宁月考）已知且，则为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，，则，（1），
又因为，（2），联立(1)和(2)，
则，
当时，
则.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合同角三角函数基本关系式得出角的正弦值和余弦值，进而得出的值.
4．（2024高一下·辽宁月考）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A+cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【答案】D
【知识点】二倍角的余弦公式；余弦定理
【解析】【解答】解：因为锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又因为23cos2A+cos2A＝0，所以，，
即，又因为A为锐角，所以，，所以，，
又因为a＝7，c＝6，由余弦定理得出，
所以，，因为，则，则b＝5.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式和解一元二次方程的方法得出角A的余弦值，再结合余弦定理和三角形边长b的取值范围，进而得出b的值.
5．（2024高一下·辽宁月考） 毡帐是蒙古族牧民居住的一种房子，内部木架结构，外部毛毡围拢，建造和搬迁都很方便，适合牧业和游牧生活．如图所示，某毡帐可视作一个圆锥与一个圆柱的组合体，下半部分圆柱的高为2.5米；上半部分圆锥的母线长为米，轴截面（过圆锥轴的截面）是面积为平方米的等腰钝角三角形，则建造该毡帐（不含底面）需要毛毡（ ）平方米．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示为该组合体上半部分圆锥轴截面，
由于其母线长为米，轴截面是面积为平方米的等腰钝角三角形，
则有，解得，
则上半部分圆锥的侧面积为，
下半部分圆柱的侧面积为，
则该组合体的表面积（不含底面）为：.
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用圆锥的结构特征求出圆锥的高和底面半径，由此求出上半部分圆锥和下半部分圆柱的侧面积，进而计算可得答案.
6．（2024高一下·辽宁月考）在中，已知，且满足，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由题意可得，
即，由正弦定理可得：，
即，则，因为，
则，又因为，
所以，，
所以，，因为，所以，，
综上可知，三角形为等边三角形.
故答案为：C.
【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，再根据数量积可得，则得到，进而判断出三角形的形状.
7．（2024高一下·辽宁月考） 若函数f（x）＝sin（ωx+） （ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（ ）
A．（0，]∪[，] B．（0，]∪[，]
C．[，] D．[，]
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数y=sinx的单调区间为
令解得
若函数f（x）＝sin（ωx+） （ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，
则，解得由得出，
当k=-1时，，又因为，所以，；当k=0时，，符合题意.
综上所述，ω的取值范围是（0，]∪[，].
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合正弦函数的单调性与正弦型函数的最值的关系，再结合赋值法得出满足要求的实数ω的取值范围.
8．（2024高一下·辽宁月考） 在△ABC中，已知＝9，sinB＝cosAsinC，S△ABC＝6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在△ABC中，设因为
所以，所以，，
所以，因为sinA≠0，所以，cosC=0，所以，，
因为＝9，S△ABC＝6，所以，
所以，，根据直角三角形可得bc=15，
在中，解得a=4，b=3，c=5，
以AC所在直线为x轴，以BC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图：
可得p为线段AB上的一点，则存在实数使得
设
则由
所以，则4x+3y=12，
则，
所以，的最小值为.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合两角和的正弦公式和数量积的定义以及三角形的面积公式、正切函数的定义得出三角形边长a，b的值，再结合建系的方法得出点的坐标和向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示和平面向量基本定理以及向量的坐标运算，进而得出4x+3y=12，再利用“1"的代换和均值不等式求最值的方法得出的最小值.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（2024高一下·辽宁月考）下列关于几何体的描述错误的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；棱台的结构特征
【解析】【解答】解：对于A，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的两个扣在一起的斜棱柱组成的
多面体就不是棱柱，所以A错；
对于B，有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体，只有各个梯形的腰延长交于一点时，
该多面体才是棱台，所以B错；
对于C，长方体是四棱柱，直四棱柱不一定是长方体，所以C错；
对于D，根据正棱锥的定义，可得正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，所以D对.
故答案为：ABC.
【分析】利用已知条件结合棱柱、棱锥、棱台、正棱锥的结构特征，进而找出关于几何体的描述错误的选项.
10．（2024高一下·辽宁月考）已知函数图像的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像关于原点对称
C．函数在上为增函数
D．设，则在内有20个零点
【答案】A,B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；图形的对称性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，根据题意可得则即，所以A对；
对于B，由选项A可知，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后可得
，因为为奇函数，其图象关于原点对称，所以B对；
对于C，因为，则，所以，函数在上为减函数，所以C错
对于D，则
所以，函数g(x)为奇函数，当时，令
所以，因为，所以，
所以，共有个零点，所以D错.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的对称性和正弦型函数的最小正周期公式得出的值，从而判断出选项A；再利用的值得出函数的解析式，再根据正弦型函数的图象变换和奇函数的图象的对称性，从而判断出选项B；利用x的取值范围和正弦型函数的图象判断出函数的单调性，进而判断出选项C；利用函数f(x)的解析式求出函数g(x)的解析式，再结合奇函数的定义判断出函数g(x)为奇函数，再结合奇函数的图象的对称性和函数零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出函数在内的零点个数，从而判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高一下·辽宁月考）已知△ABC，H、O分别为该三角形的垂心、外心，则下列结论正确的是（ ）
A．若A（0，2），B（1，0），C（2，﹣1），则在上的投影向量为()
B．若且，则
C．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别a，b，c，则“acosA＝bcosB”是“△ABC为等腰三角形”的充分不必要条件
D．若，则
【答案】A,B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，
所以，在上的投影向量为所以A对；
对于B，若且，
则即
解得，所以B对；
对于C，在△ABC中，acosA＝bcosB，由正弦定理可得
所以，sin2A=sin2B，所以，即，
所以，三角形△ABC不一定是等腰三角形，所以C错；
对于D，因为H为垂心，所以设
由，得出，
所以，同理可得，
解得，所以，，
所以，，所以D错.
故答案为：AB.
【分析】利用已知条件结合三角形垂心和外心的性质，再结合数量积求投影向量的方法、数量积的定义、充分条件和必要条件判断方法、数量积的运算法则和三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式，进而找出结论正确的选项.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高一下·辽宁月考） 函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，则f（）＝ ．
【答案】1
【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：因为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜），
所以，，则，所以，，
因为，所以，，则，
所以，，则.
故答案为：1.
【分析】利用已知条件结合正弦型函数的部分图象求出正弦型函数的解析式，再结合代入法得出函数的值.
13．（2024高一下·辽宁月考）如图是我国古代米斗，米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具．为使坚固耐用，米斗多用上好的木料制成．加上米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品．已知一个斗型（正四棱台）工艺品上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为（其厚度忽略不计），则其外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：由题意，米斗的示意图如下：
设棱台上底面中心为，下底面中心为，
由棱台的性质可知，外接球的球心O落在直线上，
由题意可知，该四棱台上、下底面边长分别为4和2，侧棱长为，
则所以，，
设外接球的半径为R，则，因为垂直于上、下底面，
所以，，即，又因为，
联立解得，所以，该米斗的外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】根据棱台和球的性质得出外接球的球心O落在直线上，根据勾股定理列式求出球的半径，再根据球的表面积公式可得该米斗的外接球的表面积.
14．（2024高一下·辽宁月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，D为的中点，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理可得，由余弦定理可得，
所以，则，作
因为mn=64，以A为原点，建立平面直角坐标系，
所以，由两点间距离公式可得，
因为当且仅当时等号成立，
所以，，此时.
故答案为：.
【分析】利用已知条件计算求出角A的值，再建系得出点的坐标，从而由两点距离公式和均值不等式求最值的方法得出BD的最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·辽宁月考） 设复数＝2+ai（其中a∈R），＝3﹣4i．
（1）若+是实数，求z1 的值；
（2）若是纯虚数，求的虚部及||．
【答案】（1）∵复数＝2+ai（其中a∈R），＝3﹣4i，i为虚数单位，
∴+＝5+（a﹣4）i，
∵+是实数，
∴a﹣4＝0，解得a＝4，
∴ ＝（2+4i）（3﹣4i）＝22+4i；
（2）∵是纯虚数，
即＝＝＝+i是纯虚数，
∴，解得a＝，
则z1＝2+i，
则z1的虚部为，
|z1|＝＝．
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的加法运算法则和复数为实数的判断方法，进而得出a的值，从而得出复数，再结合复数的乘法运算法则得出复数 .
（2）利用复数的乘除法运算法则和纯虚数的判断方法，进而得出复数，从而得出复数的虚部，再结合复数求模公式得出复数的模.
16．（2024高一下·辽宁月考） 如图，一个几何体是由一个正三棱柱内挖去一个倒圆锥组成，该三棱柱的底面正三角形的边长为2，高为4．圆锥的底面内切于该三棱柱的上底面，顶点在三棱柱下底面的中心处．
（1）求该几何体的体积；
（2）求该几何体的表面积．
【答案】（1）设圆锥的底面圆半径为r，则r＝＝，
∴根据题意可得该几何体的体积为：
＝；
（2）由（1）可知圆锥母线长为＝，
∴根据题意可得该几何体的表面积为：
＝24++2π．
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合棱柱和圆锥的体积公式，从而由作差法得出该几何体的体积.
(2)由（1）结合勾股定理可知圆锥母线长，再结合组合体求表面积公式和作差法得出该几何体的表面积．
17．（2024高一下·辽宁月考）已知.
（1）若在（）上单调，求m的最大值；
（2）若函数在上有两个零点，，求实数k的取值范围及的值.
【答案】（1），
，
，
+
因为，所以，
若在（）上单调，所以，
解得：，所以的最大值为；
（2）由（1）可知，在上有两个零点，，
即与在上有2个交点，
，，设，
即与，有2个交点，
在单调递增，在单调递减，
，，，
则，解得：
并且，与关于对称，即，
所以+
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二倍角的正弦公式和余弦公式以及辅助角公式，进而得出化简函数为正弦型函数，再结合x的取值范围和正弦型函数的单调性，进而得出实数m的取值范围，从而得出m的最大值.
(2)由（1）可知，在上有两个零点，，再利用函数的零点与两函数的交点的横坐标的等价关系，从而由正弦函数的单调性得出实数k的取值范围，再由正弦函数的对称性，进而得出的值，再根据两角差的正切公式得出的值.
18．（2024高一下·辽宁月考）如图，在平面四边形ABCD中，已知，，△ABC为等边三角形，记．
（1）若，求△ABD的面积；
（2）若，求△ABD的面积的取值范围．
【答案】（1）解：在△ACD中，由余弦定理得，，
所以，所以，
又因为△ABC为等边三角形，
所以，且，
所以
（2）解：不妨设．
在△ACD中，由余弦定理得，
，
．
在△ACD中，由正弦定理，，即，
所以．
所以
，
又因为，
所以，
所以，
即△ABD的面积的取值范围为．
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】利用余弦定理和三角形的面积公式求解即可；
利用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换和三角形的面积公式求得，结合的范围即可求出面积的范围.
19．（2024高一下·辽宁月考） 设O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为f（x）＝asinx+bcosx（x∈R），称为函数f（x）＝asinx+bcosx的“相伴向量”
（1）设函数，求函数g（x）的相伴向量
（2）记的“相伴函数”为f（x），若方程在区间[0，2π]上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；
（3）已知点M（a，b）满足a2﹣4ab+3b2＝-1，向量的“相伴函数”f（x）在x＝x0处取得最大值，当点M运动时，求tan2x0的取值范围。
【答案】（1）因为，
所以函数g（x）的相伴向量为；
（2）由题意，的“相伴函数”f（x）＝0×sinx+2×cosx＝2cosx，
方程为，x∈[0，2π]，
则方程，x∈[0，2π]有四个实数解，
所以，x∈[0，2π]有四个实数解，
令，x∈[0，2π]，
①当x∈[0，π]，，
②当x∈（π，2π]，，
据此作出g（x）的图像：
由图可知，当1≤k＜3时，函数g（x）与y＝k有四个交点，
即实数k的取值范围为[1，3）；
（3）向量的“相伴函数”，
其中，，.
当，即时，取最大值，
所以，
所以，
令，则，
所以，解得：，
所以，
因为单调递增，
所以，
所以.
【知识点】函数单调性的性质；平面向量的正交分解及坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合两角差的正弦公式和两角和的余弦公式，进而化简函数g(x)的解析式，再根据“相伴向量”定义得出函数g（x）的相伴向量的坐标.
(2)利用已知条件结合“相伴函数”定义和方程的根的个数与函数g（x）与y＝k的交点个数的等价关系和分段函数的图象，进而得出实数k的取值范围.
(3)利用向量的“相伴函数定义和辅助角公式和正弦型函数的图象求最值的方法，再结合二倍角的正切公式和判别式法得出m的取值范围，再根据函数的单调性得出tan2x0的取值范围.
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