2023-2024学年江苏省常州市溧阳市高一下学期期末教学质量调研数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省溧阳市高一下学期期末教学质量调研
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个射击选手连续射击次，成绩如下：
成绩环数
次数
则该选手射击成绩的中位数为( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.从某班学号为到的十名学生其中含学生甲中抽取名学生参加某项调查，现用抽签法抽取样本不放回抽取，每次抽取一个号码，共抽次，设甲第一次被抽到的可能性为，第二次被抽到的可能性为，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.正方体中，直线与平面所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.若甲组样本数据数据各不相同的平均数为，方差为，乙组样本数据，，，的平均数为，则下列说法错误的是( )
A. 的值为 B. 两组样本数据的样本极差不同
C. 两组样本数据的样本中位数一定相同 D. 乙组样本数据的标准差为
6.函数的值域是( )
A. B. C. D.
7.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则 ( )
A. B. C. 或 D. 或
8.在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 若，是方程的两解，则
D.
10.某市高一年级举行了阶段性检测，为了了解本次检测的学生成绩情况，从中抽取了名学生的成绩成绩均为正整数，满分为分作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则( )
A. 图中
B. 估计该市全体学生成绩的平均分为
C. 若对成绩前的学生进行奖励，则受奖励学生的考试成绩大约至少为分
D. 若在的样本成绩对应的学生包括学生甲和乙中随机选取两名进行访谈，则甲、乙两人至少抽到一人的概率为
11.已知正方体棱长为，点是侧面上的动点不含边界，下列结论正确的是( )
A. 三棱锥的体积为
B. 存在点，使得平面
C. 若，则三棱锥的外接球体积为
D. 若为线段的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一只不透明的口袋内装有个小球，其中个白球、个黑球．现有放回地从袋中依次摸出个球，则前两次摸出的球均为白球的概率为 ．
13.在中，角，，所对应的边分别为，，，若，，则 ．
14.如图，展现的是一种被称为“旋四角反棱柱”的十面体，其上下底面平行且均为正方形，上下底面的中心所在直线垂直于两底面．已知此多面体上下底面的边长为，上下底面之间的距离为，则此十面体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，为线段的中点，若，，求：
线段的长；
的面积．
16.本小题分
如图所示，在三棱锥中，，，点，分别为线段，的中点．
若平面平面，证明：；
证明：平面；
求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数的最小正周期为．
求的值；
若关于的方程在上有解，求的取值范围；
若关于的对称点在的图象上，求．
18.本小题分
在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜的频率为，乙获胜的频率为为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金．
求前两局乙均获胜的概率；
前局打成：时，
求乙最终获得全部奖金的概率；
若比赛此时因故终止，有人提出按分配奖金，你认为分配合理吗为什么
19.本小题分
如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点．现在固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
如图，当底面水平放置时，水面高为多少
当水面经过线段时，水面与地面的距离为多少
试分析容器围绕从图的放置状态旋转至水面第一次过顶点的过程中不包括起始和终止位置，水面面积的取值范围．假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：由题意可得：，
所以线段的长为．
由题意可得：，，
则，
且，则，
所以的面积．
16.解：因为点，分别为线段，的中点，则，
且平面，平面，可得平面，
又因为平面，平面平面，则，
所以．
由题意可知：为边长为的等边三角形，且分别为线段的中点，
则，
又因为为等腰直角三角形，且斜边，则，
由可知，即，
且，平面，
所以平面．
取的中点，连接，
由题意可知：，则，且，
由可知：平面，且平面，则，
由，平面，可得平面，
由平面，可得，
可知二面角的平面角为，且，
可得，
所以二面角的余弦值为．
17.解：由题意可得：
，
且，可得，解得．
由可知：，
因为，可得，
因为，则，可得，
则，所以的取值范围为．
因为关于的对称点，
由题意可得：，即，
则，
整理可得，可得或，
若，则，可得；
若，可得；
综上所述：或．
18.解：依题意，前两局乙均获胜的概率为．
乙最终获得全部奖金的事件，有以和两种情况，
若以获胜，则乙连胜两局，概率为，
若以获胜，则乙第、局输局，第局胜，概率为，
所以乙最终获得全部奖金的概率为．
由知，继续比赛，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率为，
所以按分配奖金，不合理，应按将奖金分配给甲乙
19.解：记水面与棱分别交于点，
当侧面水平放置时，水是以为底，高为的直棱柱，
因为，分别为棱的中点，
所以，所以水的体积为，
当底面水平放置时，设水面高为，
则，解得，
即当底面水平放置时，水面高为．
因为三棱柱体积为，
所以三棱锥的体积为，
空气部分的体积为，
因为，所以当水面经过线段时，水面与棱交于点，如图，
由得，
记的中点为，连接，则，
因为，所以，
又平面，平面，所以，，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
所以直线在平面内的投影为，
所以为直线与水平面所成角，
又，所以，
所以，
因为，所以水面到地面的距离为．
由上可知，水面第一次过顶点之前，水面与棱相交，如图：
记的中点分别为，在上，且，，
易知，为正三角形，设，
则，所以，
整理得，
又因为平面，平面，平面平面，
所以与的交点必在上，所以为棱台，
所以，
整理得，
联立可得，，
因为，所以为平行四边形，
所以，
易知为等腰梯形，所以为等腰梯形的高，
所以水面面积，
则
当水面刚好过点时，，解得，
则，，
由题意可知，则，
记，，
由二次函数性质可知，，即，
所以，所以，
即水面面积的取值范围为．
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