2024年甘肃省兰州市中考数学真题(含答案)

甘肃省兰州市2024届中考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的绝对值是( )
A. B. C. D.
2．已知，则的补角是( )
A. B. C. D.
3．2024年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好.一季度全市地区生产总值87790000000元.数据87790000000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4．计算：( )
A.a B. C. D.
5．一次函数的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6．如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是( )
A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行 D.对顶角相等
7．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为( )
A. B. C. D.
8．七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具，现将1个七巧板，2个九连环，1个华容道，2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中（每个盒子装1个），所有盒子除里面的玩具外均相同.从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是( )
A. B. C. D.
9．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则( )
A. B.4 C. D.1
10．数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
11．如图，在中，，，，则( )
A. B. C. D.
12．如图1，在菱形中，，连接，点M从B出发沿方向以的速度运动至D，同时点N从B出发沿方向以的速度运动至C，设运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则菱形的边长为( )
A. B. C. D.
二、填空题
13．因式分解______.
14．如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F，若，则______.
15．“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是1cm和10cm，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则______.
16．甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高.其中正确的是______.（填序号）
三、解答题
17．计算：.
18．解不等式组：.
19．先化简，再求值：，其中.
20．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积.
21．如图，在中，，D是的中点，，，.
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长.
22．在校园科技节期间，科普员为同学们进行了水火箭的发射表演，图1是某型号水火箭的实物图，水火箭发射后的运动路线可以看作是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能，同学们进一步展开研究.如图2建立直角坐标系，水火箭发射后落在水平地面A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时，从发射到着陆过程中，水火箭距离地面的竖直高度与离发射点O的水平距离的几组关系数据如下：
水平距离 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
（1）根据上表，请确定抛物线的表达式；
（2）请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为时，水火箭距离地面的竖直高度.
23．观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”，如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①本条的两端分别记为点M，N，先将木条的端点M与点A重合，任意摆放木条后，另一个端点N的位置记为点B，连接；
②木条的端点N固定在点B处，将木条绕点B顺时针旋转一定的角度，端点M的落点记为点C（点A，B，C不在同一条直线上）；
③连接并延长，将木条沿点C到点B的方向平移，使得端点M与点B重合，端点N在延长线上的落点记为点D；
④用另一根足够长的木条画线，连接，，则画出的是直角.
操作体验：（1）根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法，如图2，，请画出发点A为顶点的直角，记作；
推理论证：（2）如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据：
证明：，
与是等腰三角形.
，.（依据1______）
.
，（依据2______）
，
.
依据1：______；依据2：______；
拓展探究：（3）小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角，记作，使得直角边（或）在直线l上.（保留作图痕迹，不写作法）
24．为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平，现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定（成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；待提高：）.对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下.
信息一：体育成绩的人数（频数）分布图如下.
信息二：美育成绩的人数（频数）分布表如下.
分组
人数 m 7 2 7
信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下（共20个点）.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______；
（2）下列结论正确的是______；（填序号）
①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的；
②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；
③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；
（3）请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数.
25．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，，，；当摆球运动至点C时，，.（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）
实验图示
解决问题：根据以上信息，求的长.（结果精确到）
参考数据：，，，，，.
26．如图，内接于，为的直径，点D为上一点，，延长至E，使得.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长.
27．综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且.
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明：
【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，.试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值.
28．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在的延长线上，使得，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如图1，，，是线段外一点，在的延长线上，且，因为点Q在线段上，所以点P是线段的“延长2分点”.
（1）如图1，已知图形：线段，，，在，，中，______是图形的“延长2分点”；
（2）如图2，已知图形：线段，，，若直线上存在点P是图形的“延长2分点”，求b的最小值：
（3）如图3，已知图形：以为圆心，半径为1的，若以，，为顶点的等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”.请直接写出t的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：的绝对值是，
故选：A.
2．答案：A
解析：，
补角为：.
故选A.
3．答案：C
解析：数据87790000000用科学记数法表示为.
故选：C.
4．答案：D
解析：
故选：D.
5．答案：B
解析：，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限；
故选：B.
6．答案：B
解析：，
福大街与平安大街互相平行，
判断的依据是：内错角相等，两直线平行，
故选：B.
7．答案：C
解析：点D，E，分别为，的中点，
为的中位线，
；
故选：C.
8．答案：D
解析：一共6个盒子里面有6个益智玩具，6个益智玩具中有1个七巧板，
从这6个盒子中随机抽取1个盒子，抽中七巧板的概率是：，
故选：D.
9．答案：D
解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故选：D.
10．答案：A
解析：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故选A.
11．答案：B
解析：，，
，
，
，
.
故选：B.
12．答案：C
解析：根据题意知，，，
四边形为菱形，，
，
过点M作于点H，连接交于点O，如图，
则，
那么，的面积为，
设菱形的边长为a，
，
点M和点N同时到达点D和点C，此时的面积达到最大值为，
，解得，（负值舍去），
.
故选：C.
13．答案：
解析：.
故答案为：.
14．答案：2
解析：四边形为正方形，为等边三角形，，，
，，，，
，
；
故答案为：2.
15．答案：108
解析：根据题意得：点P移动的距离为，
，
解得：.
故答案为：108.
16．答案：①②
解析：根据图象可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定，故①正确；根据图象可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高，故②正确；如果每人再射击一次，但乙的成绩不一定比甲高，只能是可能性较大，因为乙的平均成绩更高，但是波动较大，故③错误.
故答案为：①②.
17．答案：
解析：原式
.
18．答案：
解析：，
由①，得：；
由②，得：；
不等式组的解集为：.
19．答案：，
解析：原式
；
当时，原式.
20．答案：（1），
（2）
解析：（1）反比例函数与一次函数的图象交于点，
，，
，，
反比例函数为：，一次函数的解析式为：.
（2），
，
轴于点C，交一次函数的图象于点D，
点B的横坐标为4.点D的横坐标为4.
，，
，，
，
过点B作轴交一次函数的图象交于点E，过点A作与点F，
，点E的纵坐标为，
，
把代入，得，
，
点，
，
.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：，D是BC的中点，
，
，
，
，
又，
，
四边形是矩形.
（2）由（1）可知四边形是矩形.
，，，
D是的中点，
，
在中，，
，
，
即，
.
22．答案：（1）抛物线的表达式
（2）水火箭距离地面的竖直高度5米
解析：（1）根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式，
由表格得抛物线的顶点坐标为，则，解得，
则抛物线的表达式.
（2）由题意知，则，
那么，水火箭距离地面的竖直高度5米.
23．答案：（1）见详解
（2）等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理
（3）见详解
解析：（1）
（2）依据1：等边对等角（等腰三角形的性质）；依据2：三角形内角和定理；
故答案为：等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理；
（3）
24．答案：（1）4
（2）①③
（3）18
解析：（1），
故答案为：4.
（2）①根据20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计图可知：
体育成绩低于80分的人数有8人，
体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的，故①正确.
②一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，
中位数位于之间，
即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误.
③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确，
故有①③正确，
故答案为①③.
（3）根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人.
故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有人.
25．答案：的长为
解析：，，；
，
，
，
，，
，
；
的长为.
26．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）连接，则：，
，
为的直径，
，
，
，，
，
，
，
，
，即：，
，
是的半径，
是的切线；
（2），
，
由（1）知：，
，
由（1）知：，
又，
，
，
，，
，即：，
解得：（舍去）或，
.
27．答案：（1）见详解
（2）四边形为平行四边形
（3）
解析：（1）证明：为等边三角形，
，，
绕点M逆时针旋转得到，
，，
，
，，
，
；
（2）四边形为平行四边形，理由如下，
，，
，
绕点M逆时针旋转得到，
，，，
，
则，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
则四边形为平行四边形.
（3）如图，过点A作，使，连接、，，延长，过点G作于点O，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点G、M、C三点共线时，的值最小，最小值为的值，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最小值为.
28．答案：（1），
（2）
（3）或
解析：（1）作线段以原点为位似中心，位似比为的位似图形，
，，
，，
点P是图形的“延长2分点”，
点P在线段上，
，在线段上，
，是图形的“延长2分点”；
故答案为：，；
（2）作以原点为位似中心，位似比为的位似图形，如图，
，，
，，
直线上存在点P是图形的“延长2分点”，
直线与有交点，
当过点时，b值最小，
把，代入，得：，
b的最小值为；
（3）作以原点为位似中心，位似比为的位似，
，，，
，，，
等腰直角三角形上存在点P，使得点P是图形的“延长2分点”，
当与有交点时，满足题意，
当与相切时，如图，则：或，
时，满足题意；
当与相切时，且切点为G，连接，则：，
为等腰直角三角形，
为等腰直角三角形，
，，，，
轴，
，
以为圆心，半径为1的，
T点在直线上，，
，
，
或，
；
综上：或.