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2023-2024学年度湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程（一）检测题
第2章 一元二次方程（一）模拟测试
考试范围：湘教版七年级上册，；考试时间：120分钟
一、单选题（共30分）
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（ ）
x
A． B． C． D．
3．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
4．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，，则的长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．16
5．若实数a在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C．2024 D．2025
7．某市商品房的均价原为18150元，经过连续两次降价后均价为15000元．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．或
9．某中学教师党小组开展民主生活会，为了更好地改进工作，要求小组每位组员给同组的其他教师各提一条建议，该党小组一共收到72条建议，则这组的党员人数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ）
A．36 B．26 C．24 D．10
二、填空题（共24分）
11．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ．
13．关于的方程的一个根是，则另一个根是 ．
14．若点在第二象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是 .
15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
16．对于字母m、n，定义新运算，若方程的解为a、b，则的值为 ．
17．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ．
18．如图，甲、乙两点分别从直径的两端点，出发以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为.则甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动的时间是 .
三、解答题（共66分）
19．（本题6分）用适当的方法解下列方程：
(1)； (2)．
20．（本题6分）先化简，再求值：．其中是方程的根．
21．（本题8分）解方程：
(1) (2)
22．（本题8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)己知5是此方程的一个根，求k的值和这个方程的另一个根
23．（本题8分）已知关于x的一元二次方程．
(1)若这个方程没有实数根，求k的取值范围．
(2)方程的两个根分别为，，若，求的值．
24．（本题10分）读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，
∴，∵，∴，
上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
(1)设，满足等式，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个连续正整数．
25．（本题10分）某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一个月生产80万个，第三个月生产96．8万个．
(1)已知每个月生产量的增长率相等，求前三个月生产量的月增长率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是150万个/月，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少6万个/月，现该公司要保证每月生产内存芯片528万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
26．（本题10分）通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
某小组决定使用20斤清水，对某件存留1斤污水衣服分别进行漂洗，且每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水．
(1)该小组设计了如下两个方案，请你完善方案内容：
方案一：采用一次漂洗的方式.
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；
方案二：采用两次漂洗的方式.
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________；若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________（用含有x的代数式表示）；
通过计算分析，方案__________（“一”或“二”）的漂洗效果更好.
(2)若采用方案二，第一次用__________斤清水，漂洗效果最好，二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的__________．
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2023-2024学年度湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程（一）检测题
第2章 一元二次方程（一）模拟测试
参考答案：
1．D
2．C
3．A
4．C
5．D
6．A
7．D
8．C
9．C
10．C
11．
12．2
13．
14．有两个不相等的实数根
15．
16．6
17．2
18．
【分析】由题意可知乙的运动路程为，甲、乙第一次相遇时一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，利用总路程等于甲的路程加乙的路程列方程即可.
【详解】如下图所示：红色线为甲走的路程，蓝色线为乙走的路程，虚线位置是第一次相遇时，箭头位置是第二次相遇时，
由图可知：甲、乙第一次相遇时，一共行驶的路程为半圆长度，第二次相遇时又行驶了一个圆的长度，故甲、乙行驶的总路程为：
∵乙以的速度匀速运动
∴乙的运动路程为，
根据总路程等于甲的路程加乙的路程列方程
∴
解得：（不符合实际，舍去）
故答案为
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用：行程问题，解决此题的关键是找到图中的等量关系是列出方程.
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再利用开平方的方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
20．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解．
【详解】解：
．
∵是方程的根，
∴，
∴原式．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先去括号，然后移项合并同类项，再利用因式分解法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
22．(1)证明见解析
(2)，方程的另一根为
【分析】本题考查了根与系数的关系．一元二次方程的根与系数的关系为：．也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；
（2）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根．
【详解】（1）证明：∵，
，
无论取何值，，
则，
∴不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入方程可得，
解得：，
当时，原方程为，
解得，
即方程的另一根为．
23．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式；
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：方程没有实数根，
，
；
（2）方程的两个根分别为
，，
，
，
，
．
24．(1)；
(2)，，，．
【分析】（）由已知等式设，得出，结合可得答案；
（）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键掌握知识点的应用及换元思想．
【详解】（1）设，则，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
（2）设最小正整数为，则，
即：，
设，则，解得：，，
∵为正整数，
∴，解得，（舍去），
∴这四个连续正整数为，，，．
25．(1)前三个月生产量的平均增长率为
(2)应该再增加3条生产线
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；
（1）设前三个月生产量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月，根据题意，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设前三个月生产量的月增长率为x，
依题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：前三个月生产量的平均增长率为；
（2）设应该再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/月，
依题意得：，
，
解得：，
又∵在增加产能同时又要节省投入成本，
．
答：应该再增加3条生产线．
26．(1)；；；二
(2)10；
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
（1）数据计算：分别计算出两种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
（2）先利用二次函数求出最值，确定出漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的最小值即可解决问题．
【详解】（1）解：方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用14斤清水，第二次用6斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，
若在第一次用斤清水，第二次用斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
，方案二效果更好；
故答案为：，，；二；
（2）解：，
当时有最大值，分母越大，分数值最小，漂洗效果最好，
第一次用 10斤清水，漂洗效果最好，
二次漂洗后该衣服中存有的污物是原来的
故答案为：二，．
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