2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

2023-2024学年天津市河西区高一下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
1.下列情况适合用抽样调查的是( )
A. 调查某化工厂周围个村庄是否受到污染 B. 调查某批次汽车的抗撞击能力
C. 调查某班学生的身高情况 D. 学校招聘，对应聘人员进行面试
2.已知事件的概率均不为，则的充要条件是( )
A. B.
C. D.
3.下列命题正确的是
A. 一条直线和一点确定一个平面 B. 两条相交直线确定一个平面
C. 四点确定一个平面 D. 三条平行直线确定一个平面
4.容量为的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
频数
则样本数据落在区间的频率为( )
A. B. C. D.
5.随机掷两枚质地均匀的骰子，它们“向上的点数之和不超过”的概率记为，“向上的点数之和大于”的概率记为，“向上的点数之和为偶数”的概率记为，则( )
A. B. C. D.
6.铁棍的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从时到时每隔一个小时测得同一根铁棍的长度依次为，，，，，，，单位：，则( )
A. 铁棍的长度的极差为 B. 铁棍的长度的众数为
C. 铁棍的长度的中位数为 D. 铁棍的长度的第百分位数为
7.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：
若，，则；
若，，则；
若，，，则；
若，，则．
其中正确命题的序号是( )
A. B. C. D.
8.袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个黑球，从袋中随机摸出个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为( )
A. B. C. D.
9.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，当点在线段上运动时，下列四个结论：
；；平面；平面．
其中恒成立的为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.某中学高一年级有名学生，高二年级有名学生，高三年级有名学生．用比例分配的分层随机抽样的方法从高三年级抽取了人，则从高二年级应抽取的学生人数为
11.某人打靶时连续射击两次，事件“至多一次中靶”的对立事件为
12.若一组样本数据，，，，的平均数为，则该组样本数据的方差为 ．
13.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为，，的中点，则与所成的角的余弦值为 ．
14.从数字，，，，，中任取个数，组成没有重复数字的两位数，则这个两位数是的倍数的概率为 这个两位数是偶数的概率为
15.如图，在一个的二面角的棱上有，两点，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，并且都垂直于棱，若，，则的长为
三、解答题：本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将只小鼠随机分成两组，每组只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如图直方图：
记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为．
求乙离子残留百分比直方图中的值且估计甲离子残留百分比的中位数；
从组小鼠和组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于的概率为多少．
17.甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．
Ⅰ求甲第二次答题通过面试的概率；
Ⅱ求乙最终通过面试的概率；
Ⅲ求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．
18.如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，，分别是棱，的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ若二面角为，
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.两次都中靶
12.
13.
14.或或
15.
16.
由频率分布直方图可得：且，
解得，
甲离子残留百分比的中位数为．
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于的概率为，
组所取小鼠体内测得离子残留百分比高于的概率为，
所以两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于的概率为．
17.Ⅰ设甲第二次答题通过面试为事件，则．
Ⅱ设乙最终通过面试为事件，对立事件为乙最终没通过面试，
，
．
Ⅲ设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试，
，
．
18.Ⅰ证明：连接，，
底面是平行四边形，
为中点，
是棱的中点．
在中，，
又平面，平面，
平面．
同理可证，平面．
又，，面，
平面平面，
平面，
平面；
Ⅱ证明：如图，连接，．
，，，
，．
又为的中点，
，，
即为二面角的平面角，
即，．
中，，
，同理，
而，且，平面，
平面，
平面，
平面平面；
解：由知，，，
，，
，
，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则有，，，
，，
，，
设平面的法向量为，
，
，
令，则，，
故，
，分别是棱，的中点，
，，
，
设直线与平面所成角为，
，
即直线与平面所成角的正弦值为．
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