2023-2024学年吉林省“三区九校”高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省“三区九校”高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知是两个单位向量，则下列四个结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.如图，正方形边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是( )
A. B. C. D.
4.从，，，，中任取两个不同的数，记为，则为正整数的概率为( )
A. B. C. D.
5.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，高三二班各名同学的体温记录从低到高：
高三一班：，，，，，，，，，单位：，
高三二班：，，，，，，，，，单位：
则高三一班这组数据的第百分位数和高三二班第百分位数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.已知，为异面直线，平面，平面，直线满足，，则( )
A. 且 B. 且
C. 与相交，且交线垂直于 D. 与相交，且交线平行于
7.随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有人，第二组中女性球迷有人，则第二组中男性球迷的人数为( )
A. B. C. D.
8.已知中，角对应的边分别为，，，是的中点且，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. B. 在上的投影向量为
C. 与共线的单位向量的坐标为 D. 向量，夹角的余弦值为
10.已知事件则下列说法正确的是( )
A. 若则
B. 若互斥，则
C. 若独立，则
D. 若独立，则
11.已知四边形是等腰梯形如图，，，，将沿折起，使得如图，连结，，设是的中点下列结论中正确的是( )
A. B. 点到平面的距离为
C. 平面 D. 四面体的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的上，下底面半径分别为和，母线长为则该圆台的表面积为 ．
13.已知事件、互斥，，且，则 ．
14.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为，下沿为，某班数学小组在斜坡坡脚处测得浮雕下沿的仰角满足，在斜坡上的处测得满足已知斜坡与地面的夹角为满足，，则浮雕的高度上下沿之间的距离为___ ___．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是复数，为纯虚数，的实部为为虚数单位．
求复数
求的模．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角；
若，且，求的面积．
17.本小题分
某校对年高一上学期期中数学考试成绩单位：分进行分析，随机抽取名学生，将分数按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
请完成以下问题：
估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；
为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
18.本小题分
在四棱锥中，平面，，分别为，的中点，．
求证：平面平面
求二面角的大小．
19.本小题分
国务院正式公布的第一批全国重点文物保护单位名单中把全国重点文物保护单位下述简称为“第一批文保单位”分为六大类其中“：革命遗址及革命纪念建筑物”、“：石窟寺”、“：古建筑及历史纪念建筑物”、“：石刻及其他”、“：古遗址”、“：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的个“第一批文保单位”所在区分布如下表：
行政区 门类 个数
东城区 ：革命遗址及革命纪念建筑物
：古建筑及历史纪念建筑物
西城区 ：古建筑及历史纪念建筑物
丰台区 ：革命遗址及革命纪念建筑物
海淀区 ：古建筑及历史纪念建筑物
房山区 ：古建筑及历史纪念建筑物
：古遗址
昌平区 ：古建筑及历史纪念建筑物
：古墓葬
某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；
小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；
现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取个单位进行常规检查记抽到海淀区的概率为，抽不到海淀区的概率为，试判断和的大小．
答案解析
1.
【解析】解：，
所以其共轭复数为，
故选B．
2.
【解析】解：对于，因为是两个单位向量，但两者方向不一定相同，
所以不一定成立，故 A错误；
对于，，显然不一定成立，故 B错误；
对于，，则，故 C错误；
对于，，故 D正确．
故选：．
3.
【解析】在直观图中，，
所以在原图中，如图，
所以原图形的面积是．
故选：．
4.
【解析】从，，，，中任取两个不同的数，记为，共有个基本事件，分别为，，
记“为正整数”为事件，
所以事件包含个基本事件：，
故其概率为．
故选：．
5.
【解析】，
故从小到大，选取第个数据作为高三一班这组数据的第百分位数，即；
，故从小到大，选取第个和第个数据的平均数作为第百分位数，
即．
故选：．
6.
【解析】解：由平面，直线满足，且，所以．
又平面，，所以．
由直线为异面直线，且平面平面，
则与相交，否则，若，则推出，与异面矛盾，
所以相交，且交线平行于．
故选D．
7.
【解析】由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频率之和为，
第二组频率为．
因为第四组与第五组共有人，所以样本容量，
所以第二组人数为，所以第二组中男性球迷人数为．
故选：．
8.
【解析】因为，所以，
由正弦定理得，可得，即，
所以，
又，则，
是的中点，，故，
两边平方得，
，故，
其中，故当且仅当时符号成立，
解得．
故选：
9.
【解析】对于，，故 A正确；
对于，在方向上的投影向量，故 B错误；
对于，与共线的单位向量为，即或，故 C错误；
对于，，故 D正确．
故选：．
10.
【解析】若，则，故 A正确；
因为，互斥，所以，故 B正确；
因为，独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率，由概率大于零可知：不一定成立，故 C错误；
因为，独立，所以，故 D正确．
故选：．
11.
【解析】解：因为，，
所以为等腰直角三角形，过做，交于，如图所示：
所以，即，又，，
所以，则，
对于：因为，，
，平面，
所以平面，平面，
所以，若，
且，平面，
则平面，平面，
所以，
与已知矛盾，所以与不垂直，故A错误；
对于：连接，如图所示，
在中，，所以，又，，
所以，所以，
又因为，，平面，
所以平面，平面，
所以，即为直角三角形，
在中，，所以，
因为是的中点，
所以的面积为面积的一半，所以，
因为，，
所以，
所以即为点到平面的距离，
因为，设点到平面的距离为，
则，即，
所以，所以点到平面的距离为，故B正确；
对于：因为，平面，平面，
所以平面，
若平面，且平面，
所以平面平面，与已知矛盾，故C错误．
对于：因为，所以的外接圆圆心为的中点，
又因为，所以的外接圆圆心为的中点，
根据球的几何性质可得：四面体的外接球心为，
又为球上一点，在中，
所以外接球半径，
所以四面体的外接球表面积，故D正确．
故选BD．
12.
【解析】由题意知该圆台的表面积为：．
故答案为：
13.
【解析】解：事件、互斥，且，

解得，
．
故答案为：．
14.
【解析】过作于点，则四边形是矩形，
在中，，
所以，
在中，，，
所以，
所以，，
所以，
在中，
，
而，
所以，
所以．
故答案为：．
15.（1）
设，
由 为 纯虚数，则，得
由的实部为，则，
所以；
（2），
．
【解析】设，由已知条件列方程求出即可；
由复数的乘法化简，再由模长公式计算即可．
16.（1）因为，，
所以由正弦定理得，
，
又，所以，
又，
所以．
（2）由，则，
故，，所以，
所以，
又，整理得，
则，
解得，
所以 的 面积为．
【解析】根据正弦定理求出，再由，得；
由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可．
17.（1）由，得，
数学成绩在的频率依次为：，
样本平均值为：，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．
（2）依题意，分数段内人数为，分数段内人数为，
按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，
则需在分数段内抽人，记为，在分数段内抽人，记为，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间，共个样本点，
而的对立事件，有个样本点，于是，
所以抽取的这名学生至少有人在内的概率为．
【解析】根据频率分布表求出，再求出样本平均数，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均数．
求出在和内抽取的人数，再用列举法求出概率即得．
18.（1），
，
平面平面，
又，
平面，
又在中，分别为中点，
故，
又，
又是中点，，
又
平面，平面，
平面平面．
（2）取的中点，连接，取的中点，连接，
由平面，可得平面，
又，可得，
因为是斜线在平面上的射影，
可得，
所以是二面角的平面角，
二面角的平面角与互补，
则在中，设，
由，
可得，
在直角三角形中，，
可得，
即有，
则二面角的大小为．
【解析】由可得，利用和，可证平面，进而可得，再结合中位线得到，再利用，可得，进而得证平面，利用面面垂直判定得出结果．
取的中点，连接，取的中点，连接，由题得平面，又，可得，进而是二面角的平面角，利用三角形中边长的关系即可得出结果．
19.（1）设选中参观单位恰好为“古建筑及历史纪念建筑物”为事件，
由题意知总共有个，“古建筑及历史纪念建筑物”有，
所以；
（2）设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件，由题意可知小王参观革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区，
所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，
所以；
（3）当抽到的个都是海淀区的概率为，
当抽到的个中有个是海淀区的概率为，
所以，
所以．
【解析】应用古典概型计算；
应用独立事件计算即可；
应用互斥事件及独立事件计算即可；
第1页，共1页