2023-2024学年福建省泉州市泉港二中、泉州十一中、晋江陈埭中学高二下学期7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年福建省泉州市三校高二下学期7月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.为虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，向量，向量，若与共线，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，那么是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.“二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与二十四节气有关的古诗．他准备在春季的个节气与夏季的个节气中共选出个节气，若春季的节气和夏季的节气各至少选出个，则小明选取节气的不同情况的种数是( )
A. B. C. D.
7.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.六位评委给某选手的评分分别为：，，，，，去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是( )
A. 极差 B. 众数 C. 平均数 D. 第百分位数
10.若，则( )
A.
B.
C.
D.
11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量记表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则( )
A. 和互为对立事件 B. 事件和不互斥
C. 事件和相互独立 D. 事件和相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，在上的投影向量的坐标为 ．
13.有一批同一型号的产品，其中甲工厂生产的占，乙工厂生产的占已知甲、乙两工厂生产的该型号产品的次品率分别为，，则从这批产品中任取一件是次品的概率是 ．
14.如图，点是边长为的正六边形的中心，是过点的任一直线，将此正六边形沿着折叠至同一平面上，则折叠后所成图形的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，角，，的对边分别是，，，且，．
求
若面积为，求边上中线的长．
16.本小题分
如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，．
证明：平面；
若平面，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数，且图象在处的切线斜率为．
求的值；
令，求的最小值．
18.本小题分
为了迎接月日“世界图书日”，宁波市将组织中学生进行一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．

求的值；若现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率；
若我市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
若我市共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数结果四舍五入到整数；
若从所有参赛学生中参赛学生数大于随机抽取名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为，求随机变量的分布列．
附参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
19.本小题分
若实数集对，均有，则称具有型关系．
若集合，判断是否具有型关系，并说明理由；
设集合，若具有型关系，求非负实数的取值范围；
当时，证明：．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，由正弦定理，得，
，，，
又，，，
，且，．
依题意，
，，
，解得，
设边的中点为，，，
在中，由余弦定理知
，
边上中线的长为．
16.解：如图：
取中点，中点，连接，
一方面：因为，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，
又，
所以，即四边形是平行四边形，
因为，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又，，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面
若平面，又平面，
所以，
又，
所以以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设是平面的法向量，
则，即，令，解得，
即可取平面的一个法向量为，
设是平面的法向量，
则，即，令，解得，
即可取平面的一个法向量为，
设二面角的大小为，
则，
所以，即二面角的正弦值为．
17.解：因为，
所以，
因为图象在处的切线斜率为，
所以，即，
所以；
由知函数，定义域为，
，
则，
求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
故的最小值为．
18.由频率分布直方图性质可得：，
所以，由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有人，
获二等奖的有人，获三等奖的有人，
共有人获奖，人没有获奖，
从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，
设“抽取的两名学生中恰有一名学生获奖”为事件，
则事件包含的基本事件的个数为，因为每个基本事件出现的可能性都相等，
所以，
即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为．
由样本频率分布直方图得样本平均数的估计值，
，
则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，
因为，，
所以，
故参赛学生中成绩超过分的学生数约为．
由，得，
即从所有参赛学生中随机抽取名学生，该生竞赛成绩在分以上的概率为，
所以随机变量服从二项分布，
所以，，
，，
所以随机变量的分布列为：
19.解：依题意，是否具有型关系，
等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：
，，
，，，
具有型关系．
令，，，
则，
当时，显然有，成立；
当时，
若，则，即，
在 区间上单调递减，
若，则，即，
若，则，即，
在区间上单调递增，
的最小值为，，
，成立；
当时，
若，则，即，
在区间上单调递增，
若，则，即，
若，则，即，
在区间上单调递减，
的最大值为，，
，即
当，且时，不能恒成立，
综上所述，可知若具有型关系，则，
非负实数的取值范围为．
证明：，
因为为正整数，
所以且，
由中的结论：当时，，
可知，
当时，，
，，
当时，显然成立；
当时，
，
综上所述，当时，．
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