2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试数学试卷（含解析）

2023-2024学年辽宁省抚顺市六校协作体高二下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为实数，则“”成立的充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.定义行列式，若行列式，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则，，的大小关系( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.若对任意的，，且，都有，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 若，则
D. 若幂函数，且在上是增函数，则实数
10.已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则下列选项正确的是( )
A. 的图象关于点对称 B. 的最小正周期为
C. 为偶函数 D.
11.已知实数，满足，，且，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，且，则 ．
13.已知数列的首项为，是边所在直线上一点，且，则数列的前项和为 。
14.若关于的不等式在上恒成立，则 。
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性并证明
若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
16.本小题分
在生活中，喷漆房和烤漆房是重要的工业设备，它们在我们的生活中起着至关重要的作用。喷漆房的过滤系统主要作用是净化空气。能把喷漆过程中的有害物质过滤掉，过滤过程中有害物质含量单位：与时间单位：间的关系为，其中，为正常数，已知过滤消除了的有害物质．
过滤后还剩百分之几的有害物质
要使有害物质减少，大约需要过滤多少时间精确到
参考数据：
17.本小题分
已知数列满足，．
证明是等比数列，并求的通项公式
证明：
18.本小题分
已知函数
求证：当时，有两个零点
若在上恒成立，求实数的取值范围。
19.本小题分
柯西不等式是数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，其形式为：，等号成立条件为或，，，，，，至少有一方全为柯西不等式用处很广，高中阶段常用来计算或证明表达式的最值问题。
已知数列满足，
证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式
证明：．
答案解析
1.
【解析】解：由题可得 或 ，
，
则．
故选C．
2.
【解析】解：对于，当，时成立，但不能得到“”，故A不符合题意；
对于，当，时，成立，但不能得到“”，故B不符合题意；
对于，由得到，得到，不能得到“”，故B不符合题意；
对于，由得到，即，能推出“”，
但由“”不能推出，故是“”的充分不必要条件，
故选D．
3.
【解析】解：由题可知在 上单调递增，
因为，，
所以由零点存在性定理知，的零点所在的区间为．
故选：．
4.
【解析】解：因为，
所以，
即，即，解得或，
所以实数的取值范围为
故选D．
5.
【解析】解：因为 ，
，即，
所以．
6.
【解析】解：因为函数的定义域为关于原点对称，
并且，即，
所以为奇函数，图象关于原点对称．
又因为当时，，
所以这时，图象在轴下方，
所以ABD错误，C正确．
故选C．
7.
【解析】解：由题意，得，
，
，
，
，
令，则恒成立，
又，则在递减，
在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
又，
所以
8.
【解析】解：因为等差数列的公差为，
，，周期，
故只需考虑前项的值：，，，，
，，，，
由题意知，这个式子只能取到个不同的值，
借助三角函数的定义，即在单位圆上有个点均分圆周，
且这个点的纵坐标只能取到个不同的值，
如图所示，
于是集合，
所以中的所有元素之积为．
故选A．
9.
【解析】解：对于，函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为，故A错误
对于，因为函数，
又因为，所以，则，，所以函数的值域为，故B正确；
对于，若，则，
则，故C正确
对于幂函数，且在上是增函数，则
解得，舍去，故D不正确．
故选BC．
10.
【解析】解：对于，是定义在上的偶函数，
恒成立，则，，
的图象关于点对称，A正确；
对于，由，得，
因为，
所以的图象关于对称，即，
由联立可得，，即，，的最小正周期为，B错误；
对于，由得，
又，
所以，为偶函数，C正确；
对于，当时，，，
因为的图象关于点对称，关于对称，
所以， ， ，，，
，
，D正确；
故选项为．
11.
【解析】解：对于，，当且仅当，时取等号，
故A正确；
对于，的最小值可看成是原点到直线的距离的平方，
由点到直线的距离公式可得，故B错误；
对于，令，，则，所以函数，是增函数，又时，，
所以时，，所以，
由已知实数，满足，，且，得，所以，所以，故C正确；
对于，令，则，当时，，当时，，所以时取极大值，
也是最大值，，所以时取等号，
令，则，当时，，在上是增函数，又，
所以时，，所以当时，，故D正确．
12.
【解析】解：因为是定义在上的奇函数，且，
所以，解得，
所以，
所以．
故答案为．
13.
【解析】解：，
，
因为是边所在直线上一点，即，，三点共线，
所以，
整理得，
所以数列为等比数列，首相为，公比为，
，，
数列的前项和．
14.
【解析】解：令，，
，
当时，，在上递增，
，不符合题意，舍去，
当时，在上恒成立，符合题意
当时，设时，，即，
在上递减，在上递增，
，
由，得，即，
令， 在上递增，
，，
所以存在，使得 ，即，
当时，，
即时，，
由，得，，，
由于在上单调递增，
所以，
所以，
综上，实数的取值范围为
15.解：函数的定义域为，
所以定义域为，
所以，，在定义域上为减函数，
证明如下：
法一设任意，，且，
，
因为，且，
所以由，，知，即，
所以，因此，
所以函数在定义域上是减函数．
法二，
因为，
所以，所以函数在定义域上是减函数．
等价于即在上有解．
记，
因为，
所以在上为严格减函数，
所以，，，故的值域为，
因此，实数的取值范围为，经检验满足题意，
综上：实数的取值范围为．
【解析】依题意，求解即可，根据复合函数的单调性判断方法求解即可．
分离参数得，结合函数的单调性求解即可．
16.解：由可知，当时，，当时，，则有，解得，所以，
故当时，．，即过滤后还剩的有害物质．
要使有害物质减少，则有，，
因为，所以，，所以，
故要使有害物质减少大约需要过滤小时．
【解析】利用已知，首先求出的值，再求出，再将代入即可求出．
利用对数的运算，求出的值．
17.解：由得，
所以，
因为，所以，
所以是等比数列，首项为，公比为，
所以，解得，；
由知：，所以，
因为当时，，所以，
，
所以．
【解析】根据递推关系和等比数列的定义证明，再由等比数列通项公式可得的通项公式；
易得，所以，由等比数列求和即可得证．
18.证明：当时，，，所以，函数无零点；
当时，，
，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，
所以存在唯一，使得．
所以由知，当时，函数有两个零点为和．
解：若在上恒成立，即恒成立，
设，，即在恒成立，
，
，
而恒成立，
所以在上单调递增，所以，所以在单调递增，
当时，，所以在上单调递增，
所以在上恒成立，所以，
当时，，因为，，
所以，
于是存在，使得，
所以在单调递减，又因为，所以在时，，不合题意．
综上，实数的取值范围是．
【解析】利用导数研究单调性即可得证；
设，，即在恒成立，利用导数性质能求出的取值范围。
19.解：因为，
所以，
又因为，
故是以为首项，为公差的等差数列
所以，
所以，；
欲证，
即证左右同时乘，
即证，
因为，
由柯西不等式得：
令，即，
因为，得到：．
故原命题只需证，
即证：，，
构造函数，
则，
当时，，当时，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
则，即，
替换，即，
令得
不等式左边，右边分别求前项和，
即得，，得证．
【解析】由递推关系，结合等差数列的定义求得是以为首项，为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可求解
转化为求证，由柯西不等式，令，转化为求证，，构造函数，利用导数即可求证．
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